Generator de zaruri - zaruri online. Spațiul este accidental

Metoda de compoziție muzicală cu text sunet liber; ca un mod independent de a compune muzică a prins contur în secolul XX. A. înseamnă refuzul complet sau parțial al compozitorului de la un control strict asupra textului muzical sau chiar eliminarea chiar a categoriei de compozitor-autor în sens tradițional. Inovația lui A. constă în corelarea componentelor stabilite stabil ale unui text muzical cu o aleatorie introdusă în mod deliberat, o mobilitate arbitrară a materiei muzicale. Conceptul de A. se poate referi atât la dispunerea generală a părților unui eseu (la formă), cât și la structura țesăturii sale. Potrivit lui E. Denisov, interacțiunea dintre stabilitatea și mobilitatea țesutului și a formei dă 4 tipuri principale de combinație, dintre care trei - al 2-lea, al 3-lea și al 4-lea - sunt aleatorice: 1. țesut stabil - formă stabilă (compoziție tradițională obișnuită, opus perfectum et absolutum; ca, pentru exemplu, 6 simfonie a lui Ceaikovski); 2. Țesătură stabilă - formă mobilă; după V. Lutoslavs, „A. forme ”(P. Boulez, a treia sonată pentru pian, 1957); 3. Țesătura este mobilă - forma este stabilă; sau, conform lui Lutoslavsky, „A. texturi ”(Lutoslawski, Cvartet de coarde, 1964, Mișcarea principală); 4. Țesătura este mobilă - forma este mobilă; sau „A. Cușcă "(cu improvizație colectivă a mai multor interpreți). Acestea sunt punctele nodale ale metodei A., în jurul căreia se află multe tipuri și cazuri specifice diferite de structuri, diferite grade de imersiune în A .; în plus, metabolizii („modulații”) sunt și ei naturali - trecerea de la un tip sau tip la altul, de asemenea la un text stabil sau de la acesta.

A. a devenit răspândit încă din anii 1950, după ce a apărut (împreună cu sonorizare),în special, o reacție la înrobirea extremă a structurii muzicale în serialismul multi-parametru (vezi: Dodecafonie).Între timp, principiul libertății de structură într-un fel sau altul are rădăcini străvechi. În esență, muzica populară este un flux de sunet, nu un opus structurat unic. De aici instabilitatea, „neacceptarea” muzicii populare, variabilitatea, variabilitatea și improvizația în ea. Forma nesolicitată, îmbunătățită, este caracteristică muzicii tradiționale din India, popoarele din Orientul Îndepărtat, Africa. Prin urmare, reprezentanții lui A. se bazează activ și conștient pe principiile esențiale ale muzicii orientale și populare. Elementele lui A. existau și în muzica clasică europeană. De exemplu, printre clasicii vienezi, care au eliminat principiul basului general și au făcut textul muzical complet stabil (simfonii și cvartete de I. Haydn), un contrast puternic a fost „cadenza” sub forma unui concert instrumental - un virtuos solo, partea din care compozitorul nu a compus, ci a furnizat la discreția interpretului (A. element de formă). Metode „aleatorice” comice cunoscute de compunere a pieselor simple (minuete) prin combinarea pieselor muzicale pe zaruri (Würfelspiel) în zilele lui Haydn și Mozart (tratat de JF Kirnberger „În orice moment un compozitor gata de poloneze și minuete.” Berlin, 1757).

În secolul XX. principiul „proiectului individual” în formă a început să sugereze admisibilitatea versiunilor textuale ale operei (adică A.). În 1907. Compozitorul american Charles Ives a compus un cvintet pentru pian „Hallwe” en (= „All Saints’ Eve ”), al cărui text, atunci când este interpretat într-un concert, ar trebui interpretat diferit de patru ori la rând. Cuşcă compusă în 1951. „Muzica schimbărilor” pentru pian, al cărui text a compus „prin manipularea accidentelor” (cuvintele compozitorului), folosind pentru aceasta „Cartea schimbărilor” chineză. Clasă-

un exemplu de A. - "Piesa de pian XI" de K. Stockhausen, 1957. Pe o foaie de hârtie, aprox. 0,5 mp. 19 piese muzicale sunt aranjate în ordine aleatorie. Pianistul începe cu oricare dintre ele și le cântă în ordine aleatorie, urmărind o privire căzută la întâmplare; la sfârșitul pasajului precedent se scrie la ce tempo și la ce volum să se joace următorul. Când pianistului i se pare că a cântat deja toate fragmentele în acest fel, acestea ar trebui redate din nou în aceeași ordine aleatorie, dar într-o sonoritate mai strălucitoare. După a doua rundă, piesa se termină. Pentru un efect mai mare, se recomandă repetarea lucrării aleatorice într-un singur concert - ascultătorului i se va prezenta o altă compoziție din același material. Metoda A. este utilizată pe scară largă de compozitorii moderni. (Boulez, Stockhausen, Lutoslavsky, A. Volkonsky, Denisov, Schnittke si etc.).

Condiția prealabilă pentru A. în secolul XX. au apărut noi legi armonie iar tendințele rezultate spre căutarea de noi forme corespunzătoare noii stări de material muzical și caracteristică avangardist. Textura aleatorică era complet de neconceput înainte de emancipare disonanţă, dezvoltarea muzicii atonale (vezi: Dodecafonie). A. Lutoslawski, un susținător al „limitatului și controlului”, vede în el o valoare neîndoielnică: „A. mi-au deschis perspective noi și neașteptate. În primul rând, există o imensă bogăție de ritm, de neatins cu ajutorul altor tehnici. " Denisov, justificând „introducerea elementelor de întâmplare în muzică”, susține că „ne oferă mai multă libertate în operarea cu materia muzicală și ne permite să obținem noi efecte sonore.<...>, dar ideile de mobilitate pot da rezultate bune numai dacă<... >dacă tendințele distructive ascunse în mobilitate nu distrug constructivitatea necesară existenței oricărei forme de artă. "

Alte metode și forme de muzică se intersectează cu A. În primul rând, acestea sunt: ​​1. improvizație - interpretarea unei piese compuse în cursul jocului; 2. muzica grafica, pe care interpretul îl improvizează în funcție de imaginile vizuale ale desenului așezat în fața sa (de exemplu, I. Brown, Folio ", 1952), traducându-le în imagini sonore, sau după grafica muzical-aleatorică creată de compozitor din bucăți de text muzical pe o foaie de hârtie (S. Bussotti, Pasiunea pentru grădină, 1966); 3. se întâmplă- acțiune improvizată (în acest sens, aleatorică) (Stoc) cu participarea muzicii cu un complot arbitrar (cvasi) (de exemplu, A. Volkonsky se întâmplă „Remark” de ansamblul „Madrigal” în sezonul 1970/71); 4. forme deschise de muzică - adică cele al căror text nu este fix fix, dar de fiecare dată este obținut în procesul de interpretare. Acestea sunt tipuri de compoziție care nu sunt, în principiu, închise și permit continuarea nesfârșită (de exemplu, cu fiecare nouă performanță), Eng. Lucrare în curs. Pentru P. Boulez, unul dintre stimulentele care l-au transformat într-o formă deschisă a fost opera lui J. Joyce(„Ulise”) și S. Mallarmé („Le Livre”). Un exemplu de compoziție deschisă este „Available Forms II” de Irl Brown pentru 98 de instrumente și doi dirijori (1962). Brown însuși subliniază legătura dintre forma sa deschisă și „telefoanele mobile” în artele vizuale (vezi: Artă cinetică),în special de A. Calder ("Calder Piece" pentru 4 bateriști și Calder's mo-bil, 1965). În cele din urmă, acțiunea „Gesamtkunst” este pătrunsă cu principii aleatorice (vezi: Gezamtkunstwerk). 5. Multimedia, a cărei specificitate este sincronizarea instalații mai multe arte (de exemplu: un concert + o expoziție de pictură și sculptură + o seară de poezie în orice combinație de arte etc.). Astfel, esența lui A. este de a reconcilia ordinea artistică stabilită în mod tradițional și enzima răcoritoare a imprevizibilității, întâmplării - o tendință caracteristică cultura artistică a secolului XX.în general și estetică neclasică.

Lit.: Denisov E.V. Elemente stabile și mobile ale formei muzicale și interacțiunea lor // Probleme teoretice ale formelor și genurilor muzicale. M., 1971; Kogutek Ts. Tehnica compozițională în muzica secolului XX. M., 1976; Lutoslavsky V. Articole, nr

părul cărunt, amintiri. M., 1995; Boulez P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; Boulez R. Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; Schäffer B. Nowa muzyka (1958). Cracovia, 1969; Schäffer B. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). Cracovia, 1975; Stockhausen K. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd. L, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. Darmstadt, 1967.

Zarurile sunt folosite de oameni de mii de ani.

În secolul 21, noile tehnologii vă permit să aruncați zarurile în orice moment convenabil și, dacă aveți acces la Internet, într-un loc convenabil. Zarurile sunt întotdeauna cu tine acasă sau pe drum.

Generator zaruri vă permite să aruncați online de la 1 la 4 zaruri.

Aruncați zarurile online

Atunci când se folosesc zaruri reale, se poate folosi dexteritatea manuală sau zarurile supraponderale realizate special pe o parte. De exemplu, puteți roti un cub de-a lungul uneia dintre axe, iar apoi distribuția probabilității se va schimba. O caracteristică a cuburilor noastre virtuale este utilizarea unui pseudo generator de software numere aleatorii... Acest lucru vă permite să oferiți o opțiune cu adevărat aleatorie pentru acest rezultat.

Și dacă adăugați această pagină la marcajele dvs., zarurile dvs. online nu se vor pierde nicăieri și vor fi întotdeauna la îndemână la momentul potrivit!

Unii oameni s-au adaptat la utilizarea zarurilor online pentru preziceri sau pentru a face predicții și horoscop.

Dispoziție fericită, zi bună și noroc!

Afirmația lui Einstein că Dumnezeu nu joacă zaruri cu universul a fost interpretată greșit

Puține dintre cuvintele slabe ale lui Einstein au fost citate la fel de larg ca remarca sa că Dumnezeu nu joacă zaruri cu universul. Oamenii iau în mod firesc acest comentariu înțelept despre el ca dovadă că s-a opus dogmatic mecanicii cuantice, care consideră întâmplarea ca o trăsătură caracteristică. lume fizică... Când nucleul unui element radioactiv se descompune, se întâmplă spontan, nu există nicio regulă care să vă spună exact când sau de ce se va întâmpla. Când o particulă de lumină lovește o oglindă semitransparentă, aceasta este fie reflectată din ea, fie trece prin ea. Rezultatul poate fi orice până în momentul în care s-a întâmplat acest eveniment. Și nu este nevoie să mergeți la laborator pentru a vedea acest tip de procese: multe site-uri Internet prezintă fluxuri de numere aleatorii generate de contoare Geiger sau optică cuantică. Imprevizibil chiar și în principiu, astfel de numere sunt ideale pentru criptografie, statistici și turnee de poker online.

Einstein, așa cum spune legenda standard. a refuzat să accepte faptul că unele evenimente sunt nedeterministe prin natura lor. - pur și simplu se întâmplă și nu se poate face nimic pentru a afla de ce. Rămânând aproape într-o splendidă izolare, înconjurat de semenii săi, s-a agățat cu ambele mâini de universul mecanic al fizicii clasice, măsurând mecanic secundele, în care fiecare moment predetermină ce se va întâmpla în următorul. Linia de zaruri a indicat cealaltă parte a vieții sale: tragedia unui revoluționar transformat în reacționar care a revoluționat fizica cu teoria relativității sale, dar - așa cum a spus Niels Bohr diplomatic - atunci când s-a confruntat cu teoria cuantică, el „a mers la cină. "

Cu toate acestea, de-a lungul anilor, mulți istorici, filosofi și fizicieni au pus la îndoială această interpretare a poveștii. Pe măsură ce au plonjat în marea a tot ceea ce a spus Einstein, au descoperit că judecățile sale despre imprevizibilitate erau mai radicale și aveau o gamă mai largă de nuanțe decât pictează de obicei. „Încercări de excavare poveste adevarata să devină un fel de muncă misionară, este convins Don A. Howard. istoric de la Universitatea Notre Dame. „Este uimitor când săpezi mai adânc în arhive și vezi neconcordanța cu înțelepciunea convențională.” Este că indeterminismul este fundamental în natură. Toate acestea au indicat faptul că problema apare la un nivel mai profund al realității, pe care teoria nu l-a reflectat. Critica sa nu a fost mistică, ci s-a concentrat asupra specificului probleme științifice care rămân nerezolvate până în prezent.

Întrebarea dacă mecanismul de ceas este universul sau tabelul de zaruri distruge bazele a ceea ce credem că este fizica: căutarea unor reguli simple care stau la baza diversității uluitoare a naturii. Dacă se întâmplă ceva fără motiv, pune capăt cercetărilor raționale. „Indeterminismul fundamental ar însemna sfârșitul științei”, spune Andrew S. Friedman, cosmolog la Institutul de Tehnologie din Massachusetts. Cu toate acestea, filozofii de-a lungul istoriei au crezut că indeterminismul este o condiție necesară pentru liberul arbitru al omului. Ori suntem cu toții uneltele unui mecanism de ceas și, prin urmare, orice facem este predeterminat în prealabil, sau suntem forța acționară a propriului nostru destin, caz în care Universul încă nu ar trebui să fie determinist.

Această dihotomie a avut consecințe foarte reale, manifestate prin modul în care societatea îi responsabilizează pe oameni pentru acțiunile lor. Sistemul nostru juridic se bazează pe asumarea liberului arbitru; pentru ca acuzatul să fie găsit vinovat, el a trebuit să acționeze cu intenție. Instanțele își creează în mod constant creierul asupra întrebării: ce se întâmplă dacă o persoană este inocentă din cauza nebuniei, a impulsivității tinerești sau a unui mediu social putred?

Cu toate acestea, ori de câte ori oamenii vorbesc despre o dihotomie, tind să încerce să o expună ca o concepție greșită. Într-adevăr, mulți filozofi cred că este lipsit de sens să vorbim dacă universul este determinist sau nedeterminist. Poate fi ambele, în funcție de cât de mare sau de complex este subiectul cercetării: particule, atomi, molecule, celule, organisme, psihic, comunități. „Diferența dintre determinism și indeterminism este o diferență în funcție de nivelul de studiu al problemei”, spune Christian List, filosof la London School of Economics and Political Science. Cu indeterminism atât la nivelurile superioare, cât și la cele inferioare. ” Atomii din creierul nostru se pot comporta într-un mod absolut determinist, lăsându-ne în același timp liberi să acționăm, deoarece atomii și organele funcționează la diferite niveluri.

La fel, Einstein a căutat un nivel determinant de subcuantum, în același timp neagând că nivelul cuantic este probabilist.

La ce s-a opus Einstein

Modul în care Einstein a câștigat eticheta unui adversar al teoriei cuantice este un mister aproape la fel de mare ca și mecanica cuantică. Însuși conceptul de cuantă - o unitate discretă de energie - a fost rodul reflecțiilor sale din 1905 și timp de un deceniu și jumătate a rămas practic singur în apărarea sa. Einstein a sugerat că. ceea ce fizicienii consideră astăzi a fi principalele caracteristici ale fizicii cuantice, cum ar fi abilitatea ciudată a luminii de a acționa ca o particulă și ca o undă, și din reflecțiile sale asupra fizicii undelor, Erwin Schrödinger a dezvoltat cea mai larg acceptată formulare a cuanticului teoria din anii 1920. Nici Einstein nu a fost un adversar al întâmplării. În 1916, el a arătat că atunci când atomii emit fotoni, timpul și direcția radiației sunt cantități aleatorii.

„Acest lucru contravine portretizării populare a lui Einstein ca adversar al abordării probabilistice”, susține Jan von Plateau de la Universitatea din Helsinki. Dar Einstein și contemporanii săi s-au confruntat cu o problemă serioasă. Fenomenele cuantice sunt aleatorii, dar teoria cuantică în sine nu este. Ecuația lui Schrödinger este 100% deterministă. Descrie o particulă sau un sistem de particule utilizând așa-numita funcție de undă, care folosește natura undelor particulelor și explică modelul de undă pe care îl formează o colecție de particule. Ecuația prezice exact ce se va întâmpla cu funcția de undă la un moment dat. În multe privințe, această ecuație este mai deterministă decât legile mișcării lui Newton: nu duce la confuzii, cum ar fi singularitatea (unde cantitățile devin infinite și, prin urmare, imposibil de descris) sau haosul (unde mișcarea devine imprevizibilă).

Captura este că determinismul ecuației Schrödinger este determinismul funcției de undă, iar funcția de undă nu poate fi observată direct, spre deosebire de locația și viteza particulelor. În schimb, funcția de undă determină cantitățile care pot fi observate și probabilitatea fiecăreia dintre opțiunile posibile. Teoria lasă deschise întrebările care este funcția de undă în sine și dacă ar trebui considerată literalmente ca o undă reală în lumea noastră materială. În consecință, următoarea întrebare rămâne deschisă: este întâmplarea observată o proprietate intrinsecă a naturii sau este doar fațada sa? „Se susține că mecanica cuantică este nedeterministă, dar aceasta este o concluzie prea grăbită”, spune filosoful Christian Wuthrich de la Universitatea din Geneva din Elveția.

Werner Heisenberg, un alt pionier care a pus bazele teoriei cuantice, a imaginat funcția de undă ca o ceață a existenței potențiale. Dacă nu este posibil să se indice clar și fără echivoc unde este particula, acest lucru se datorează faptului că particula nu se găsește cu adevărat nicăieri într-un anumit loc. Numai când observați o particulă se materializează undeva în spațiu. Funcția de undă ar putea fi estompată într-o zonă imensă a spațiului, dar în momentul în care se face observația, ea se prăbușește instantaneu, se contractă într-un punct îngust situat într-un singur loc specific și dintr-o dată apare o particulă acolo. Dar chiar și atunci când te uiți la o particulă - bang! - ea încetează brusc să se comporte determinist și sare la starea finală, ca un copil care apucă un scaun în jocul „scaunelor muzicale”. (Jocul constă în faptul că copiii dansează într-un dans rotund în jurul scaunelor, al căror număr este cu unul mai mic decât numărul de jucători și încearcă să se așeze pe un loc gol imediat ce muzica se oprește).

Nu există nicio lege care să guverneze acest colaps. Nu există nicio ecuație pentru el. Se întâmplă doar - atât! Prăbușirea a devenit un element cheie al interpretării de la Copenhaga: o viziune asupra mecanicii cuantice numită după orașul în care Bohr și institutul său, împreună cu Heisenberg, au făcut cea mai mare parte a muncii fundamentale. (Paradoxal, Bohr însuși nu a recunoscut niciodată prăbușirea funcției de undă). Școala de la Copenhaga consideră că aleatoritatea observată a fizicii cuantice este caracteristica sa nominală, ceea ce sfidează explicații suplimentare. Majoritatea fizicienilor sunt de acord cu acest lucru, unul dintre motivele acestui fapt este așa-numitul efect de ancorare sau efect de ancorare, cunoscut din psihologie: aceasta este o explicație complet satisfăcătoare și a apărut mai întâi. Deși Einstein nu s-a opus mecanicii cuantice, el s-a opus cu siguranță interpretării sale de la Copenhaga. El a plecat de la ideea că actul de măsurare provoacă o ruptură în evoluția continuă a sistemului fizic și tocmai în acest context a început să-și exprime dezacordul cu aruncarea divină a oaselor. „Tocmai cu această ocazie Einstein deplânge în 1926 și nu din cauza pretenției metafizice atotcuprinzătoare a determinismului ca fiind absolut starea necesară, spune Howard. "El este implicat în special în dezbaterea aprinsă cu privire la faptul dacă prăbușirea funcției de undă duce la discontinuitate".

Pluralitatea realității.Și totuși - lumea este deterministă sau nu? Răspunsul la această întrebare depinde nu numai de legile de bază ale mișcării, ci și de nivelul la care descriem sistemul. Luați în considerare cinci atomi dintr-un gaz care se mișcă deterministic (diagrama de sus). Își încep călătoria din aproape aceeași locație și diverg treptat. Cu toate acestea, la nivel macroscopic (diagrama de jos), nu atomii individuali sunt vizibili, ci un flux amorf în gaz. După ceva timp, este probabil ca gazul să fie distribuit aleatoriu pe mai multe fluxuri. Această aleatorie la nivel macro este un produs secundar al ignoranței observatorului asupra legilor nivelului micro, este o proprietate obiectivă a naturii care reflectă modul în care atomii se reunesc. La fel, Einstein a sugerat că structura internă deterministă a universului duce la natura probabilistică a tărâmului cuantic.

Colapsul cu greu ar putea fi un proces real, a argumentat Einstein. Acest lucru ar necesita o acțiune instantanee la distanță - un mecanism misterios prin care, să zicem, atât partea stângă, cât și partea dreaptă a funcției de undă se prăbușesc în același punct minuscul, chiar și atunci când nicio forță nu se potrivește cu comportamentul lor. Nu numai Einstein, ci fiecare fizician din vremea sa credea că un astfel de proces este imposibil, ar trebui să se producă mai repede decât viteza luminii, ceea ce este în contradicție evidentă cu teoria relativității. De fapt, mecanica cuantică nu vă pune doar zaruri în mâini - vă oferă perechi de zaruri care cad întotdeauna pe aceeași față, chiar dacă aruncați una în Vegas și cealaltă în Vega. Einstein i se părea evident că oasele trebuie să înșele, permițând mod ascuns influențează în avans rezultatul aruncărilor. Însă școala din Copenhaga neagă orice astfel de posibilitate, sugerând că articulațiile se influențează instantaneu unul pe celălalt pe vastele întinderi ale spațiului. În plus, Einstein era îngrijorat de puterea pe care Copenhaga a atribuit-o actului de măsurare. La urma urmei, ce este o dimensiune? Ar putea fi ceva ce pot face doar ființele simțitoare, sau chiar numai profesorii cu normă întreagă? Heisenberg și alți reprezentanți ai școlii de la Copenhaga nu au specificat niciodată acest concept. Unii oameni sugerează să creăm realitatea înconjurătoare în mintea noastră în procesul de observare - o idee care pare poetică, poate chiar prea poetică. Einstein a considerat, de asemenea, apogeul nebuniei de la Copenhaga pentru a pretinde că mecanica cuantică era complet completă, că era teoria ultimă care nu va fi niciodată înlocuită de alta. El a considerat toate teoriile, inclusiv ale sale, ca poduri către ceva și mai mare.

De fapt. Howard susține că Einstein ar fi fericit să îmbrățișeze indeterminismul dacă ar avea răspunsuri la toate problemele sale care trebuiau rezolvate - dacă, de exemplu, cineva ar putea articula în mod clar ce este o măsurătoare și cum particulele pot rămâne sincronizate fără acțiuni pe termen lung. O indicație că Einstein a considerat indeterminismul ca o problemă secundară este că a făcut aceleași cereri și a respins alternativele deterministe la școala de la Copenhaga. Un alt istoric, Arthur Fine de la Universitatea din Washington. crede. Că Howard exagerează susceptibilitatea lui Einstein la indeterminism, dar este de acord că judecățile sale se bazează pe un teren mai solid decât au ajuns să creadă mai multe generații de fizicieni, pe baza unor resturi din zicalele sale despre zaruri.

Gânduri aleatorii

Dacă trageți de război pe partea școlii de la Copenhaga, credea Einstein, veți descoperi că tulburarea cuantică este ca toate celelalte tipuri de tulburări din fizică: este produsul unei perspective mai profunde. Dansul particulelor minuscule de praf dintr-un fascicul de lumină dezvăluie mișcarea complexă a moleculelor, iar emisia de fotoni sau degradarea radioactivă a nucleelor ​​este un proces similar, credea Einstein. În opinia sa, mecanica cuantică este o teorie evaluativă care exprimă comportamentul general al elementelor de bază ale naturii, dar nu are suficientă rezoluție pentru a capta detalii individuale.

O teorie mai profundă și mai completă va explica pe deplin mișcarea - fără sărituri misterioase. Din acest punct de vedere, funcția de undă este o descriere colectivă, ca o afirmație că matrița corectă, dacă este aruncată în mod repetat, va cădea aproximativ același număr de ori pe fiecare dintre laturile sale. Prăbușirea funcției de undă nu este un proces fizic, ci dobândirea de cunoștințe. Dacă aruncați o matriță cu șase fețe și veniți, să zicem, cu patru, gama de opțiuni de la unu la șase se micșorează sau puteți spune că se prăbușește la valoarea reală a patru. Un demon divin capabil să urmărească detaliile structurii atomice care afectează rezultatul căderii unui os (adică măsurând exact cum mâna ta împinge și învârte cubul înainte de a-l lăsa pe masă) nu va vorbi niciodată despre colaps.

Intuiția lui Einstein a fost întărită de lucrările sale timpurii asupra efectului colectiv al mișcării moleculare, studiate într-o ramură a fizicii numită mecanică statistică, în care a arătat că fizica poate fi probabilistică chiar și atunci când fenomenul se bazează pe realitatea deterministă. În 1935, Einstein i-a scris filosofului Karl Popper: „Nu cred că ai dreptate în afirmația ta că este imposibil să tragi concluzii statistice bazate pe teoria deterministă. Luați, de exemplu, mecanica statistică clasică (teoria gazelor sau teoria mișcării browniene) ”. Probabilitățile înțelegerii lui Einstein erau la fel de reale ca în interpretarea școlii de la Copenhaga. Manifestându-se în legile fundamentale ale mișcării, ele reflectă alte proprietăți ale lumii înconjurătoare, nu sunt doar artefacte ale ignoranței umane. Einstein i-a sugerat lui Popper, ca exemplu, să ia în considerare o particulă care se mișcă într-un cerc cu o viteză constantă; probabilitatea de a găsi o particulă într-o secțiune dată a unui arc circular reflectă simetria traiectoriei sale. La fel, probabilitatea ca o matriță să aterizeze pe o anumită față este de o șesime, deoarece are șase fațete egale. „El a înțeles mai bine decât majoritatea în acel moment că o entitate fizică importantă este conținută în detaliile probabilității statistico-mecanice”, spune Howard.

O altă lecție în mecanica statistică a fost că cantitățile pe care le observăm nu există neapărat la un nivel mai profund. De exemplu, un gaz are o temperatură, dar nu are sens să vorbim despre temperatura unei singure molecule de gaz. Prin analogie, Einstein a ajuns la convingerea că o teorie a subquantumului era necesară pentru a indica o ruptură radicală cu mecanica cuantică. În 1936 a scris: „Nu există nicio îndoială că mecanica cuantică a captat frumosul element al adevărului<...>Cu toate acestea, nu cred că mecanica cuantică va fi punctul de plecare în căutarea acestei fundații, la fel ca și invers, nu se poate trece de la termodinamică (respectiv mecanică statistică) la fundamentele mecanicii. ”Pentru a umple acest nivel mai profund, Einstein a urmărit o căutare către o teorie unificată, un câmp în care particulele sunt derivate ale structurilor care nu seamănă deloc cu particulele. Pe scurt, credința populară că Einstein a refuzat să recunoască natura probabilistică a fizicii cuantice este greșită. A încercat să explice întâmplarea. , mai degrabă decât să facă să pară că nu există deloc.

Faceți-vă nivelul cel mai bun

Deși proiectul lui Einstein de a crea o teorie unificată a eșuat, principiile de bază ale abordării sale intuitive asupra întâmplării sunt încă valabile: indeterminismul poate apărea din determinism. Nivelurile cuantice și subcuantice - sau orice altă pereche de niveluri din ierarhia naturii - sunt compuse din tipuri de structuri diferite, deci respectă diferite tipuri de legi. Legea care guvernează un nivel poate permite în mod natural un element aleatoriu, chiar dacă legile nivelului inferior sunt pe deplin reglementate. „Microfizica deterministă nu generează macrofizică deterministă”, spune filosoful Jeremy Butterfield de la Universitatea Cambridge.

Imaginați-vă o moară la nivel atomic. Un cub poate consta dintr-un număr inimaginabil de mare de configurații de atomi care sunt complet nedistinguibile între ele cu ochiul liber. Dacă urmăriți oricare dintre aceste configurații în timp ce rotiți matrița, aceasta va duce la un rezultat specific - strict determinist. În unele configurații, matrița se va opri cu un punct pe marginea superioară, în altele se va opri cu două. etc. Prin urmare, o singură stare macroscopică (dacă faceți cubul să se rotească) poate duce la câteva rezultate macroscopice posibile (una dintre cele șase fețe va fi în partea de sus). „Dacă descriem zarurile la nivel macro, îl putem privi ca un sistem stochastic care permite aleatorizarea obiectivă”, spune List, care studiază conjugarea la nivel cu Marcus Pivato, matematician la Universitatea Cergy-Pontoise din Franța.

Deși nivelul superior se bazează pe nivelul inferior, este autonom. Pentru a descrie zarurile, trebuie să lucrați la nivelul la care zarurile există ca atare și, atunci când faceți acest lucru, nu puteți să nu neglijați atomii și dinamica lor. Dacă treceți un nivel cu altul, înșelați înlocuind o categorie: este ca și cum ați întreba despre afilierea politică cu un sandviș de somon (pentru a folosi exemplul filosofului David Albert de la Columbia University). „Când avem un fenomen care poate fi descris la diferite niveluri, trebuie să fim foarte atenți din punct de vedere conceptual să nu amestecăm nivelurile”, spune List. Din acest motiv, rezultatul aruncării zarurilor nu arată doar aleatoriu. Este cu adevărat aleatoriu. Demonul divin se poate lăuda că știe exact ce se va întâmpla, dar știe doar ce se va întâmpla cu atomii. El nici măcar nu bănuiește ce este un zar, deoarece este o informație de nivel superior. Demonul nu vede niciodată pădurea, ci doar copacii. El este ca. Personajul principal povestea scriitorului argentinian Jorge Luis Borges „Funes the Memorable” - un om care își amintește totul, dar nu înțelege nimic. „A gândi înseamnă a uita diferența, a generaliza, a abstrae”, scrie Borges. Demonului, pentru a ști pe ce parte va cădea zarurile, este necesar să îi explice ce să caute. „Demonul va putea înțelege ce se întâmplă la nivelul superior numai dacă i se dă descriere detaliata cum definim granița dintre niveluri ", spune List. Într-adevăr, după aceasta, demonul va deveni probabil gelos că suntem muritori.

Logica de nivel funcționează și în direcția opusă. Microfizica nedeterministă poate duce la macrofizică deterministă. Un baseball poate fi făcut din particule care prezintă un comportament haotic, dar zborul său este complet previzibil; aleatoritate cuantică, medie. dispare. La fel, gazele sunt compuse din molecule care fac mișcări extrem de complexe - și practic nedeterministe -, dar temperatura și alte proprietăți respectă legi la fel de simple ca două și două. Mai speculativ, unii fizicieni, precum Robert Laughlin de la Universitatea Stanford, sugerează că nivelul inferior este absolut irelevant. Elementele de bază pot fi orice și totuși comportamentul lor colectiv va fi același. La urma urmei, sistemele, chiar și sistemele la fel de diferite ca moleculele de apă, stelele din galaxie și mașinile de pe autostradă, respectă aceleași legi ale fluxului de fluide.

In sfarsit liber

Când gândiți în termeni de niveluri, dispare îngrijorarea că indeterminismul va marca sfârșitul științei. În jurul nostru nu există un zid înalt care să ne protejeze fragmentul universului care respectă legea de subiectul anarhiei și restul acestuia de neînțeles. De fapt, lumea este tort stratificat din determinism și indeterminism. Clima Pământului, de exemplu, este guvernată de legile deterministe ale mișcării lui Nyoton, dar prognoza meteo este probabilistică și, în același timp, tendințele climatice sezoniere și pe termen lung sunt din nou previzibile. Biologia derivă și din fizica deterministă, dar organismele și ecosistemele necesită alte metode de descriere, precum evoluția darwiniană. „Determinismul nu explică totul”, spune Daniel Dennett, filosof la Universitatea Tufts.

Oamenii sunt intercalați în interiorul acestei prăjituri cu puf. Avem un puternic sentiment de liber arbitru. Adesea luăm imprevizibile și, în cea mai mare parte, decizii vitale, ne dăm seama că am fi putut face altfel (și adesea regretăm că nu am luat-o). Timp de milenii, așa-numiții libertarieni, susținători ai doctrinei filosofice a liberului arbitru (nu trebuie confundat cu tendința politică!), Au susținut că libertatea umană necesită libertatea unei particule. Ceva ar trebui să distrugă cursul determinist al evenimentelor, de exemplu, aleatoritatea cuantică sau „abateri”, pe care, așa cum credeau unii filosofi antici, atomii le-ar putea experimenta în timpul mișcării lor (a fost introdus conceptul unei abateri accidentale imprevizibile a unui atom de la traiectoria sa inițială de Lucretius în filozofia antică pentru a proteja doctrina atomică a lui Epicur) ...

Principala problemă cu această linie de raționament este că eliberează particulele, dar ne lasă sclavi. Nu contează dacă decizia ta a fost predeterminată în timpul Big Bang-ului sau a unei particule mici, tot nu este decizia ta. Pentru a fi liberi, avem nevoie de indeterminism nu la nivel de particule, ci la nivel uman. Și acest lucru este posibil, deoarece nivelul uman și nivelul particulelor sunt independente unul de celălalt. Chiar dacă tot ceea ce faceți ar putea fi urmărit până la primii pași, sunteți stăpânul acțiunilor voastre, deoarece nici voi, nici acțiunile voastre nu existați la nivelul materiei, ci doar la nivelul macro al conștiinței. „Acest macroindeterminism bazat pe microdeterminism garantează probabil liberul arbitru”, a spus Butterfield. Macroindeterminismul nu este motivul deciziilor tale. Aceasta este decizia ta.

Unii oameni probabil vor obiecta și vă vor spune că sunteți încă o păpușă, iar legile naturii acționează ca păpușarul și că libertatea voastră nu este altceva decât o iluzie. Dar chiar cuvântul „iluzie” evocă în memoria mirajelor din deșert și a femeilor, tăiate în jumătate: nimic din toate acestea nu există în realitate. Macroindeterminismul nu este deloc același. Este destul de real, dar nu fundamental. Poate fi comparat cu viața. Atomii individuali sunt materie absolut neînsuflețită, dar masa lor imensă poate trăi și respira. „Tot ceea ce are legătură cu agenții, stările lor de intenție, deciziile și alegerile lor - niciuna dintre aceste entități nu are nimic de-a face cu setul de instrumente conceptuale ale fizicii fundamentale, dar acest lucru nu înseamnă că aceste fenomene nu sunt reale”, notează Liszt . înseamnă doar că toate acestea sunt fenomene de un nivel mult mai înalt. "

Ar fi o greșeală categorică, dacă nu chiar ignoranță completă, să descrieți deciziile umane de către mecanicul mișcării atomilor din capul vostru. În schimb, este necesar să se utilizeze toate conceptele de psihologie: dorință, oportunitate, intenție. De ce am băut apă și nu vin? Pentru că am vrut. Dorințele mele explică acțiunile mele. În majoritatea cazurilor, atunci când punem întrebarea „De ce?”, Căutăm motivația individului și nu originea sa fizică. Explicațiile psihologice permit un anumit tip de indeterminism despre care vorbește List. De exemplu, teoreticienii jocurilor modelează luarea deciziilor umane prin stabilirea unei game de opțiuni și explicarea pe care o veți alege dacă acționați în mod rațional. Libertatea dvs. de a alege o anumită opțiune vă determină alegerea, chiar dacă nu vă mulțumiți niciodată cu acea opțiune.

Desigur, argumentele List nu explică pe deplin liberul arbitru. Ierarhia nivelurilor deschide spațiu pentru liberul arbitru, separând psihologia de fizică și oferindu-ne posibilitatea de a face lucruri neașteptate. Dar trebuie să profităm de această ocazie. Dacă, de exemplu, am lua toate deciziile aruncând o monedă, aceasta ar fi totuși considerată macroindeterminism, dar cu greu ar fi posibil să o calificăm ca liber arbitru în orice sens semnificativ. Pe de altă parte, luarea deciziilor de către unii oameni poate fi atât de epuizantă încât nu se poate spune că acționează liber.

Această abordare a problemei determinismului dă sens și interpretare teoriei cuantice, care a fost propusă la câțiva ani după moartea lui Einstein, în 1955. Se numește interpretarea multor lumi sau interpretarea lui Everett. Susținătorii săi susțin că mecanica cuantică descrie o colecție de universuri paralele - un multivers care, în ansamblu, se comportă deterministic, dar ni se pare nedeterminist, deoarece nu putem vedea decât un singur univers. De exemplu, un atom poate emite un foton spre dreapta sau spre stânga; teoria cuantică lasă rezultatul acestui eveniment deschis. Conform interpretării multor lumi, o astfel de imagine este observată deoarece exact aceeași situație apare în nenumărate universuri paralele: în unele dintre ele fotonul zboară deterministic spre stânga, iar în altele - spre dreapta. Fără a putea spune cu exactitate în care dintre universuri ne aflăm, nu putem prezice ce se va întâmpla, așa că această situație pare inexplicabilă din interior. „Nu există o adevărată aleatorie în spațiu, dar evenimentele pot părea aleatorii observatorului", explică cosmologul MIT Max Tegmark, un cunoscut susținător al acestui punct de vedere. „Aleatorietatea reflectă incapacitatea ta de a determina unde te afli."

Este ca și cum ai spune că o moară sau un creier pot fi construite din oricare dintre configurațiile nenumărate de atomi. Această configurație în sine poate fi deterministă, dar din moment ce nu putem ști care dintre ele corespunde morții sau creierului nostru, suntem forțați să presupunem că rezultatul este nedeterminist. Astfel, universurile paralele nu sunt o idee exotică care planează într-o imaginație bolnavă. Corpul și creierul nostru sunt multiverse minuscule, diversitatea posibilităților ne oferă libertate.

Scris de designerul Tyler Sigman, pe Gamasutra. Îl numesc cu drag „articolul din părul din nările unui orc”, dar face o treabă destul de bună de a stabili elementele de bază ale probabilităților în jocuri.

Subiectul acestei săptămâni

Inainte de azi aproape tot ce am vorbit a fost determinist, iar săptămâna trecută ne-am uitat atent la mecanica tranzitivă și am rezolvat-o în cât mai multe detalii pe cât o pot explica. Dar până acum, nu am acordat atenție unui aspect imens al multor jocuri, și anume aspectele nedeterministe, cu alte cuvinte, întâmplarea. Înțelegerea naturii aleatoriei este foarte importantă pentru proiectanții de jocuri, deoarece creăm sisteme care afectează experiența jucătorului într-un anumit joc, deci trebuie să știm cum funcționează aceste sisteme. Dacă există aleatoriu în sistem, trebuie să înțelegeți natură această întâmplare și cum să o schimbăm pentru a obține rezultatele de care avem nevoie.

Zaruri

Să începem cu ceva simplu: aruncarea zarurilor. Când majoritatea oamenilor se gândesc la zaruri, se gândesc la o moară cu șase fețe cunoscută sub numele de d6. Dar majoritatea jucătorilor au văzut multe alte zaruri: tetraedric (d4), octaedric (d8), doisprezece (d12), douăzeci (d20) ... și dacă real geek, s-ar putea să ai undeva oase cu 30 de fețe sau 100 de fețe. Dacă nu sunteți familiarizați cu această terminologie, „d” înseamnă o matriță și numărul de după aceasta, câte fețe are. Dacă față„D” înseamnă un număr, apoi înseamnă număr zaruri când sunt aruncate. De exemplu, în Monopoly, rulezi 2d6.

Deci, în acest caz, sintagma „zaruri” este o denumire convențională. Există mulți alți generatori de numere aleatorii care nu au forma unui nod din plastic, dar îndeplinesc aceeași funcție de a genera un număr aleatoriu de la 1 la n. O monedă obișnuită poate fi considerată, de asemenea, ca un diedru d2. Am văzut două modele ale unui zar cu șapte fețe: unul arăta ca un zar, iar celălalt arăta mai degrabă ca un creion de lemn cu șapte fețe. Dreidelul tetraedric (cunoscut și sub numele de titot) este analog cu osul tetraedric. Terenul de joc cu o săgeată rotitoare în jocul „Chutes & Ladders”, unde rezultatul poate fi de la 1 la 6, corespunde unui zar hexagonal. Un generator de numere aleatorii dintr-un computer poate crea orice număr de la 1 la 19 dacă proiectantul cere o astfel de comandă, deși computerul nu are zaruri cu 19 fețe (în general, voi vorbi mai detaliat despre probabilitatea de a obține numere pe un computer la Următorul săptămână). Deși toate aceste articole arată diferit, ele sunt de fapt aceleași: aveți șanse egale de a obține unul dintre mai multe rezultate.

Zarurile au câteva proprietăți interesante despre care trebuie să știm. În primul rând, probabilitatea ca orice față să cadă este aceeași (presupun că rulezi matrița corectă, nu o formă geometrică neregulată). Astfel, dacă vrei să știi Rău aruncare (cunoscută și printre cei care sunt pasionați de subiectul probabilității ca „matematic așteptat”), suma valorilor tuturor muchiilor și împărțirea acestei sume la număr fețe. Lansarea medie pentru un zar hexagonal standard este 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, împărțiți la numărul de margini (6) pentru a obține media 21/6 = 3,5. Acesta este un caz special, deoarece presupunem că toate rezultatele sunt la fel de probabile.

Dacă ai zaruri speciale? De exemplu, am văzut un joc cu zaruri hexagonale cu autocolante speciale pe margini: 1, 1, 1, 2, 2, 3, deci se comportă ca un zar triunghiular ciudat cu șanse mai mari de a obține un număr 1 decât 2, și 2 decât 3. Care este valoarea medie a rulării pentru această matriță? Deci, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, împarte la 6, este egal cu 5/3, sau aproximativ 1,66. Deci, dacă aveți o matură atât de specială și jucătorii vor arunca trei zaruri și apoi vor aduna rezultatele, știți că totalul lor aproximativ va fi de aproximativ 5 și puteți echilibra jocul pe baza acestei presupuneri.

Zaruri și independență

După cum am spus, pornim de la presupunerea că fiecare față este la fel de probabil să cadă. Nu contează câte zaruri arunci. Fiecare aruncare a zarurilor tot ceea ce, aceasta înseamnă că aruncările anterioare nu afectează rezultatele celor ulterioare. Cu suficiente încercări, trebuie înștiințare O „serie” de numere, cum ar fi căderea din valori mai mari sau mai mici, sau alte caracteristici, și despre asta vom vorbi mai târziu, dar asta nu înseamnă că zarurile sunt „fierbinți” sau „reci”. Dacă arunci o matriță standard cu șase fețe și numărul 6 apare de două ori la rând, probabilitatea ca următoarea aruncare să aibă un 6 este, de asemenea, 1/6. Probabilitatea nu este mărită de faptul că cubul este „încălzit”. Probabilitatea nu scade, deoarece numărul 6 a renunțat deja de două ori la rând, ceea ce înseamnă că acum o altă față va cădea. (Desigur, dacă arunci zarurile de douăzeci de ori și de fiecare dată când apare numărul 6, șansele ca a douăzeci și prima oară să obții numărul 6 sunt destul de mari ... pentru că poate asta înseamnă că ai zarurile greșite!) Dar dacă aveți zarurile corecte, probabilitatea de a cădea din fiecare dintre fețe este aceeași, indiferent de rezultatele altor aruncări. Vă puteți imagina, de asemenea, că de fiecare dată când înlocuim matrița, deci dacă numărul 6 apare de două ori la rând, scoateți matrița „fierbinte” din joc și înlocuiți-o cu o matriță nouă cu șase fețe. Îmi cer scuze dacă vreunul dintre voi știa deja despre acest lucru, dar a trebuit să clarific acest lucru înainte de a continua.

Cum să faci zarurile să cadă mai mult sau mai puțin aleatoriu

Să vorbim despre cum să obțineți rezultate diferite pe zaruri diferite. Dacă arunci zarurile o singură dată sau de mai multe ori, jocul se va simți mai aleatoriu dacă zarurile au mai multe margini. Cu cât dai mai multe ori zarurile sau cu cât dai mai multe zaruri, cu atât rezultatele se apropie mai mult de medie. De exemplu, dacă arunci 1d6 + 4 (adică un zar hexagonal standard o dată și adaugi 4 la rezultat), media va fi de la 5 la 10. Dacă arunci 5d2, media va fi, de asemenea, de la 5 la 10. Dar când aruncând un zar cu șase fețe, probabilitatea de a obține numerele 5, 8 sau 10 este aceeași. Rezultatul aruncării 5d2 va fi în principal numerele 7 și 8, mai rar alte valori. Aceeași serie, chiar aceeași medie (7,5 în ambele cazuri), dar natura randomității este diferită.

Așteptați un minut. Nu am spus doar că zarurile nu se încălzesc sau nu se răcesc? Acum spun că, dacă arunci multe zaruri, aruncările se apropie de medie? De ce?

Lasă-mă să explic. Dacă arunci unu zaruri, probabilitatea de a cădea din fiecare dintre fețe este aceeași. Aceasta înseamnă că, dacă arunci multe zaruri, fiecare față va cădea aproximativ același număr de ori în timp. Cu cât aruncați mai multe zaruri, cu atât rezultatul cumulativ se va apropia de media. Acest lucru nu se datorează faptului că numărul abandonat „face” un alt număr, care încă nu a renunțat. Dar pentru că o serie mică de 6 (sau 20 sau un alt număr) nu va conta prea mult în cele din urmă dacă arunci zarurile încă de zece mii de ori și practic media va cădea ... poate că acum vei avea câteva numere cu o valoare ridicată, dar poate mai târziu câteva numere cu o valoare mică și în timp vor aborda valoarea medie. Nu pentru că aruncările anterioare afectează zarurile (serios, un zar este format din plastic, nu are creier să se gândească: „oh, nu a mai fost aruncat de mult timp”), ci pentru că așa se întâmplă de obicei cu un număr mare de aruncări de zaruri. O serie mică de numere repetate va fi aproape invizibilă într-un număr mare de rezultate.

Astfel, efectuarea de calcule pentru o lansare aleatorie a zarurilor este destul de simplă, cel puțin în ceea ce privește calcularea valorii medii a lansării. Există, de asemenea, modalități de a calcula „cât de aleatoriu” este ceva, un mod de a spune că rezultatele rulării 1d6 + 4 vor fi „mai aleatorii” decât 5d2, pentru 5d2 distribuția rezultatelor va fi mai uniformă, de obicei pentru aceasta calculați abaterea standard și cu cât este mai mare valoarea, cu atât rezultatele vor fi mai aleatorii, dar acest lucru necesită mai multe calcule decât aș vrea să dau astăzi (voi explica acest subiect mai târziu). Singurul lucru pe care vă rog să-l știți este că, de regulă generală, cu cât se dau mai puține zaruri, cu atât este mai mare randomitatea. Și încă o adăugire pe acest subiect: cu cât are mai multe fețe un zar, cu atât mai multă întâmplare, deoarece aveți mai multe opțiuni.

Cum se calculează probabilitatea prin numărare

Poate vă întrebați: cum putem calcula probabilitatea exactă de a obține un anumit rezultat? Acest lucru este de fapt destul de important pentru multe jocuri, deoarece dacă aruncați zarurile, este posibil să existe un rezultat optim inițial. Răspunsul este: trebuie să numărăm două valori. În primul rând, numărați numărul maxim de rezultate pe aruncarea zarurilor (indiferent care este rezultatul). Apoi, numărați numărul de rezultate favorabile. Împărțind a doua valoare la prima, obțineți probabilitatea dorită. Pentru a obține procentajul, înmulțiți rezultatul cu 100.

Exemple:

Iată un exemplu foarte simplu. Vrei ca 4 sau mai mult să arunce și să arunce zarurile hexagonale o dată. Numărul maxim de rezultate este de 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Dintre acestea, 3 rezultate (4, 5, 6) sunt favorabile. Deci, pentru a calcula probabilitatea, împărțiți 3 la 6 și obțineți 0,5 sau 50%.

Iată un exemplu puțin mai complicat. Doriți să aruncați un număr par pe rola 2d6. Numărul maxim de rezultate este de 36 (6 pentru fiecare moară și, din moment ce o moară nu o afectează pe cealaltă, înmulțim 6 rezultate cu 6 pentru a obține 36). Dificultatea cu acest tip de întrebare este că este ușor de numărat de două ori. De exemplu, există de fapt două opțiuni pentru rezultatul de 3 pe o rulare 2d6: 1 + 2 și 2 + 1. Arată la fel, dar diferența este ce număr este afișat pe prima matriță și care pe al doilea. Vă puteți imagina, de asemenea, că zarurile sunt de culori diferite, astfel încât, de exemplu, în acest caz, un zar este roșu și celălalt este albastru. Apoi, numărați numărul de opțiuni pentru un număr par: 2 (1 + 1), 4 (1 + 3), 4 (2 + 2), 4 (3 + 1), 6 (1 + 5), 6 (2 + 4), 6 (3 + 3), 6 (4 + 2), 6 (5 + 1), 8 (2 + 6), 8 (3 + 5), 8 (4 + 4), 8 (5 + 3) ), 8 (6 + 2), 10 (4 + 6), 10 (5 + 5), 10 (6 + 4), 12 (6 + 6). Se pare că există 18 opțiuni pentru un rezultat favorabil din 36, deoarece în cazul anterior, probabilitatea va fi de 0,5 sau 50%. Poate neașteptat, dar destul de precis.

Simulare Monte Carlo

Ce se întâmplă dacă ai prea multe zaruri de numărat? De exemplu, doriți să știți care este probabilitatea ca o cantitate de 15 sau mai mult să fie rulată pe o rolă 8d6. Pentru opt zaruri, există MULTE rezultate individuale diferite și numărarea manuală a acestora va dura foarte mult. Chiar dacă putem găsi o soluție bună pentru a grupa diferite serii de aruncări de zaruri, va dura totuși un timp foarte lung de numărat. În acest caz, cel mai mult într-un mod simplu calcularea probabilității nu se va face manual, ci va folosi un computer. Există două moduri de a calcula probabilitățile pe un computer.

Prima metodă poate fi utilizată pentru a obține răspunsul exact, dar implică puțină programare sau scriptare. Practic, computerul va analiza fiecare oportunitate, va estima și va număra numărul total de iterații și numărul de iterații care corespund rezultatului dorit, apoi va oferi răspunsuri. Codul dvs. ar putea arăta cam așa:

int wincount = 0, totalcount = 0;

pentru (int i = 1; i<=6; i++) {

pentru (int j = 1; j<=6; j++) {

pentru (int k = 1; k<=6; k++) {

... // introduceți mai multe bucle aici

dacă (i + j + k + ...> = 15) (

probabilitate float = wincount / totalcount;

Dacă nu sunteți familiarizați cu programarea și aveți nevoie doar de un răspuns imprecis, dar aproximativ, puteți simula această situație în Excel, unde aruncați 8d6 de câteva mii de ori și primiți un răspuns. Pentru a arunca 1d6 în Excel utilizați următoarea formulă:

ETAJ (RAND () * 6) +1

Există un nume pentru o situație în care nu știți răspunsul și pur și simplu încercați de multe ori - Simulare Monte Carloși aceasta este o soluție excelentă pentru a cădea înapoi atunci când încercați să calculați probabilitatea și este prea dificil. Marele lucru este că, în acest caz, nu trebuie să înțelegem cum funcționează calculul matematic și știm că răspunsul va fi „destul de bun”, deoarece, după cum știm deja, cu cât numărul de aruncări este mai mare, cu atât rezultatul se apropie de valoarea medie.

Cum se combină teste independente

Dacă întrebați mai multe provocări repetitive, dar independente, rezultatul unei aruncări nu afectează rezultatul celorlalte aruncări. Există o altă explicație mai simplă pentru această situație.

Cum se face distincția între ceva dependent și independent? Practic, dacă puteți distinge fiecare lansare a zarurilor (sau serie de aruncări) ca un eveniment separat, atunci este independentă. De exemplu, dacă vrem să rulăm un total de 15 pe 8d6, acest caz nu poate fi împărțit în mai multe aruncări de zaruri independente. Deoarece pentru rezultat se numără suma valorilor tuturor zarurilor, rezultatul care a căzut pe un zar afectează rezultatele care ar trebui să cadă pe celelalte zaruri, deoarece doar adăugând toate valorile veți obține rezultatul dorit .

Iată un exemplu de aruncări independente: jucați cu zaruri și aruncați zaruri hexagonale de mai multe ori. Pentru a rămâne în joc, prima aruncare trebuie să fie de 2 sau mai mare. Pentru a doua lansare, 3 sau mai mare. Al treilea necesită 4 sau mai mult, al patrulea necesită 5 sau mai mare, iar al cincilea necesită 6. Dacă toate cele cinci aruncări au succes, câștigi. În acest caz, toate rolele sunt independente. Da, dacă o aruncare nu reușește, aceasta va afecta rezultatul întregului joc, dar o aruncare nu afectează cealaltă aruncare. De exemplu, dacă a doua lansare a zarurilor este foarte reușită, acest lucru nu afectează în niciun fel probabilitatea ca următoarele aruncări să fie la fel de reușite. Prin urmare, putem lua în considerare probabilitatea fiecărei aruncări de zaruri separat.

Dacă aveți probabilități separate, independente și doriți să știți care este probabilitatea ca toate evenimentele vor veni, tu determini fiecare probabilitate individuală și le înmulțești. Un alt mod: dacă utilizați conjuncția „și” pentru a descrie mai multe condiții (de exemplu, care este probabilitatea ca un eveniment aleator să se producă și un alt eveniment aleatoriu independent?), numărați probabilitățile individuale și multiplicați-le.

Nu contează ce crezi nu nu adăugați probabilități independente. Aceasta este o greșeală obișnuită. Pentru a înțelege de ce acest lucru este greșit, imaginați-vă o situație în care întoarceți o monedă 50/50, doriți să știți care este probabilitatea ca de două ori la rând să „capete”. Probabilitatea ca fiecare parte să lovească este de 50%, deci dacă adăugați aceste două probabilități, aveți o șansă de 100% de a lovi capete, dar știm că acest lucru nu este adevărat, deoarece de două ori la rând ar putea obține capete. Dacă în schimb multiplicați aceste două probabilități, veți obține 50% * 50% = 25%, care este răspunsul corect pentru calcularea probabilității de a lovi capetele de două ori la rând.

Exemplu

Să revenim la joc cu zarurile hexagonale, unde trebuie să obțineți mai întâi un număr mai mare de 2, apoi mai mare de 3 și așa mai departe. până la 6. Care sunt șansele ca într-o serie dată de 5 aruncări, toate rezultatele să fie favorabile?

După cum sa menționat mai sus, acestea sunt teste independente și, prin urmare, calculăm probabilitățile pentru fiecare rol individual și apoi le înmulțim. Probabilitatea ca rezultatul primei aruncări să fie favorabil este de 5/6. Al doilea este 4/6. Al treilea este 3/6. Al patrulea - 2/6, al cincilea - 1/6. Înmulțim toate aceste rezultate și obținem aproximativ 1,5% ... Astfel, câștigarea în acest joc este destul de rară, deci dacă adăugați acest element la jocul dvs., veți avea nevoie de un jackpot destul de mare.

Negare

Iată un alt sfat util: uneori este dificil de calculat probabilitatea ca un eveniment să aibă loc, dar este mai ușor să stabiliți ce șanse sunt ca un eveniment să aibă loc. nu va veni.

De exemplu, să presupunem că avem un alt joc și aruncați 6d6 și dacă măcar o dată 6 este rulat, câștigi. Care este probabilitatea de a câștiga?

În acest caz, există multe opțiuni de calculat. Este posibil ca un număr 6 să fie eliminat, adică pe unul dintre zaruri numărul 6 va fi aruncat, iar pe celelalte numere de la 1 la 5 și există 6 opțiuni pentru care dintre zaruri va fi numărul 6. Apoi puteți obține numărul 6 pe două zaruri sau pe trei sau chiar mai multe, și de fiecare dată trebuie să facem un număr separat, deci este ușor să ne confundăm cu privire la acest lucru.

Dar există o altă modalitate de a rezolva această problemă, să o privim din cealaltă parte. Tu pierde dacă nici unul numărul 6 nu va cădea din zaruri. În acest caz, avem șase teste independente, probabilitatea fiecăruia dintre ele fiind de 5/6 (orice număr, altul decât 6 poate fi aruncat pe zaruri). Înmulțiți-le și obțineți aproximativ 33%. Astfel, probabilitatea de a pierde este 1 din 3.

Prin urmare, probabilitatea de a câștiga este de 67% (sau 2 la 3).

Este evident din acest exemplu că dacă luați în considerare probabilitatea ca evenimentul să nu aibă loc, trebuie să scădeți rezultatul de la 100%. Dacă probabilitatea de a câștiga este de 67%, atunci probabilitatea a pierde — 100% minus 67% sau 33%. Si invers. Dacă este dificil să calculați o probabilitate, dar este ușor să calculați opusul, calculați opusul și apoi scădeți din 100%.

Combinarea condițiilor pentru un test independent

Am spus chiar mai sus că nu trebuie să rezumați niciodată probabilitățile în studiile independente. Există cazuri în care poate saînsumăm probabilitățile? - Da, într-o situație specială.

Dacă doriți să calculați probabilitatea pentru mai multe rezultate favorabile fără legătură ale aceluiași proces, adăugați probabilitățile fiecărui rezultat favorabil. De exemplu, probabilitatea de a obține numerele 4, 5 sau 6 pe 1d6 este suma probabilitatea de a obține numărul 4, probabilitatea de a obține numărul 5 și probabilitatea de a obține numărul 6. De asemenea, vă puteți imagina această situație după cum urmează: dacă utilizați conjuncția „sau” în întrebarea despre probabilitate (de exemplu , care este probabilitatea ca sau un rezultat diferit al unui eveniment aleatoriu?), calculați probabilitățile individuale și rezumați-le.

Vă rugăm să rețineți că atunci când adăugați toate rezultatele posibile jocuri, suma tuturor probabilităților trebuie să fie egală cu 100%. Dacă suma nu este de 100%, calculul dvs. a fost făcut incorect. Acesta este un mod bun de a verifica din nou calculele. De exemplu, dacă ați analizat probabilitatea de a obține toate mâinile în poker, dacă adăugați toate rezultatele, ar trebui să obțineți exact 100% (sau cel puțin o valoare destul de apropiată de 100%, dacă utilizați un calculator, este posibil să aveți o mică eroare de rotunjire., dar dacă adăugați numerele exacte manual, ar trebui să funcționeze.) Dacă suma nu se adaugă, atunci cel mai probabil nu ați luat în considerare unele combinații sau nu ați calculat incorect probabilitățile unor combinații și atunci trebuie să vă verificați din nou calculele.

Probabilități inegale

Până acum, am presupus că fiecare față a zarurilor cade la aceeași frecvență, deoarece așa funcționează zarurile. Dar, uneori, vă confruntați cu o situație în care sunt posibile rezultate diferite și au variatșanse de a cădea. De exemplu, într-unul dintre suplimentele jocului de cărți „Războiul nuclear” există un teren de joc cu o săgeată, de care depinde rezultatul lansării rachetei: practic, provoacă daune normale, mai puternice sau mai slabe, dar uneori daunele sunt crescute de două sau de trei ori sau racheta explodează pe platforma de lansare și vă face rău sau se întâmplă un alt eveniment. Spre deosebire de câmpul de joc cu o săgeată în „Chutes & Ladders” sau „A Game of Life”, rezultatele câmpului de joc din „Războiul nuclear” sunt inegale. Unele secțiuni ale terenului de joc sunt mai mari, iar săgeata se oprește la ele mult mai des, în timp ce alte secțiuni sunt foarte mici, iar săgeata se oprește la ele rar.

Deci, la prima vedere, osul arată cam așa: 1, 1, 1, 2, 2, 3; am vorbit deja despre asta, este ceva de genul 1d3 ponderat, prin urmare, trebuie să împărțim toate aceste secțiuni în părți egale, să găsim cea mai mică unitate de măsură, care este un multiplu al tuturor, și apoi să reprezentăm situația sub forma d522 (sau altele), unde multe fețe ale zarurilor vor reprezenta aceeași situație, dar cu mai multe rezultate. Și aceasta este una dintre modalitățile de a rezolva problema și este fezabilă din punct de vedere tehnic, dar există o cale mai ușoară.

Să ne întoarcem la zarurile noastre hexagonale standard. Am spus că, pentru a calcula valoarea medie a rulării pentru o matriță normală, trebuie să însumați valorile de pe toate muchiile și să le împărțiți la numărul de muchii, dar cum exact calculul este în desfășurare? O poți spune diferit. Pentru un zar hexagonal, probabilitatea ca fiecare față să cadă este exact 1/6. Acum ne înmulțim Exod fiecare față pe probabilitate acest rezultat (în acest caz, 1/6 pentru fiecare față), apoi sumăm valorile rezultate. Deci însumând (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) , obținem același rezultat (3.5) ca în calculul de mai sus. De fapt, contăm acest lucru de fiecare dată: înmulțim fiecare rezultat cu probabilitatea acelui rezultat.

Putem face același calcul pentru un shooter pe terenul de joc în Nuclear War? Bineînțeles că putem. Și dacă adunăm toate rezultatele găsite, obținem media. Tot ce trebuie să facem este să calculăm probabilitatea fiecărui rezultat pentru săgeata de pe tablă și să înmulțim cu rezultatul.

Alt exemplu

Această metodă de calcul al mediei prin înmulțirea fiecărui rezultat cu probabilitatea sa individuală este, de asemenea, adecvată dacă rezultatele sunt la fel de probabile, dar prezintă avantaje diferite, de exemplu, dacă aruncați o matriță și câștigați mai mult pe unele margini decât pe altele. De exemplu, ia în considerare un joc de cazino: pariezi și rulezi 2d6. Dacă apar trei numere cu cea mai mică valoare (2, 3, 4) sau patru numere cu cea mai mare valoare (9, 10, 11, 12), câștigi o sumă egală cu miza ta. Numerele cu cele mai mici și cele mai mari valori sunt speciale: dacă dai 2 sau 12, câștigi de doua ori mai mult decât rata dvs. Dacă orice alt număr scade (5, 6, 7, 8), veți pierde pariul. Este un joc destul de simplu. Dar care este probabilitatea de a câștiga?

Să începem prin a număra de câte ori puteți câștiga:

• Numărul maxim de rezultate pe o listă 2d6 este de 36. Câte rezultate bune există?
• Există 1 opțiune pentru doi și 1 opțiune pentru doisprezece.
• Există 2 opțiuni pentru ceea ce iese trei și unsprezece.
• Există 3 opțiuni pentru patru și 3 opțiuni pentru zece.
• Există 4 opțiuni pentru nouă.
• Rezumând toate opțiunile, obținem numărul de rezultate favorabile 16 din 36.

Deci, în condiții normale, veți câștiga de 16 ori din 36 posibile ... probabilitatea de a câștiga este puțin mai mică de 50%.

Dar în două cazuri din aceste 16 veți câștiga de două ori mai mult, adică parcă ai câștiga de două ori! Dacă jucați acest joc de 36 de ori, pariând 1 $ de fiecare dată și fiecare dintre toate rezultatele posibile apare o singură dată, veți câștiga 18 $ (de fapt, veți câștiga de 16 ori, dar de două ori din ele vor fi numărate ca două câștiguri) . Dacă joci de 36 de ori și câștigi 18 USD, nu înseamnă că este o șansă egală?

Nu te grabi. Dacă numărați de câte ori puteți pierde, obțineți 20, nu 18. Dacă jucați de 36 de ori, mizând de 1 USD de fiecare dată, câștigați în total 18 USD pentru toate rezultatele bune ... dar pierdeți totalul suma de 20 USD cu toate cele 20 de rezultate nefavorabile! Drept urmare, veți fi puțin în urmă: pierdeți în medie 2 USD net pentru fiecare 36 de jocuri (puteți spune, de asemenea, că pierdeți în medie 1/18 USD pe zi). Acum puteți vedea cât de ușor este în acest caz să greșiți și să calculați incorect probabilitatea!

Permutare

Până acum, am presupus că ordinea numerelor la aruncarea zarurilor nu contează. O rolă de 2 + 4 este aceeași cu o rolă de 4 + 2. În majoritatea cazurilor, calculăm manual numărul de rezultate favorabile, dar uneori această metodă este impracticabilă și este mai bine să folosiți o formulă matematică.

Un exemplu al acestei situații este din jocul cu zaruri „Farkle”. Pentru fiecare rundă nouă, aruncați 6d6. Dacă ești norocos și toate rezultatele posibile sunt 1-2-3-4-5-6 („drept”), vei primi un bonus mare. Care este probabilitatea ca acest lucru să se întâmple? În acest caz, există multe opțiuni pentru această combinație!

Soluția arată astfel: unul dintre zaruri (și doar unul) ar trebui să aibă numărul 1! Câte variante ale numărului 1 care cade pe o singură moară? Șase, deoarece există 6 zaruri și oricare dintre ele poate avea numărul 1. În consecință, luați un zar și puneți-l deoparte. Acum, unul dintre zarurile rămase ar trebui să aibă numărul 2. Există cinci opțiuni pentru aceasta. Luați încă un zar și puneți-l deoparte. Apoi rezultă că pe patru dintre zarurile rămase numărul 3 poate cădea, pe trei dintre zarurile rămase numărul 4 poate cădea, pe două - numărul 5 și, ca rezultat, aveți un zar pe care ar trebui să fie numărul 6 toamna (în ultimul caz, matrița este una și nu există nicio alegere). Pentru a calcula numărul de rezultate favorabile pentru o combinație „dreaptă”, înmulțim toate opțiunile diferite, independente: 6x5x4x3x2x1 = 720 - se pare că există destul de multe opțiuni pentru ceea ce va veni această combinație.

Pentru a calcula probabilitatea de a obține o combinație dreaptă, trebuie să împărțim 720 la numărul tuturor rezultatelor posibile pentru rulajul 6d6. Care este numărul tuturor rezultatelor posibile? Fiecare matriță poate avea 6 fețe, deci înmulțim 6x6x6x6x6x6 = 46656 (numărul este mult mai mare!). Împărțim 720/46656 și obținem o probabilitate de aproximativ 1,5%. Dacă ați proiecta acest joc, ar fi util să știți, astfel încât să puteți crea un sistem de notare adecvat. Acum înțelegem de ce în jocul „Farkle” vei primi un bonus atât de mare dacă primești o combinație „directă”, deoarece această situație este destul de rară!

Rezultatul este, de asemenea, interesant din alt motiv. Exemplul arată cât de rar, într-o perioadă scurtă, scade un rezultat corespunzător probabilității. Desigur, dacă ar fi să aruncăm câteva mii de zaruri, fețele diferite ale zarurilor ar cădea destul de des. Dar când aruncăm doar șase zaruri, aproape nu nu se întâmplă să cadă fiecare față! Pornind de la acest lucru, devine clar că este o prostie să ne așteptăm că o altă față va cădea acum, ceea ce nu a renunțat încă „pentru că nu avem numărul 6 de mult timp, ceea ce înseamnă că va cădea acum” .

Ascultă, generatorul tău de numere aleatorii este rupt ...

Acest lucru ne conduce la o concepție greșită obișnuită despre probabilitate: presupunerea că toate rezultatele vin cu aceeași frecvență. pentru o perioadă scurtă de timp ceea ce de fapt nu este cazul. Dacă aruncăm zarurile de mai multe ori, frecvența fiecărei margini nu va fi aceeași.

Dacă ați mai lucrat vreodată la un joc online cu un generator de numere aleatorii, cel mai probabil ați dat peste o situație în care un jucător scrie asistenței tehnice pentru a spune că generatorul dvs. de numere aleatoare este rupt și nu afișează numere aleatorii. Și el a ajuns la această concluzie, deoarece tocmai ucisese 4 monștri la rând și primise 4 recompense complet identice, iar aceste recompense ar trebui să cadă doar în 10% din cazuri, deci Aproape niciodată nu ar trebui avea loc, ceea ce înseamnă asta evident că generatorul dvs. de numere aleatorii este rupt.

Faceți un calcul matematic. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 este egal cu 1 din 10.000, ceea ce înseamnă că acesta este un caz destul de rar. Și asta încearcă să vă spună jucătorul. Există vreo problemă în acest caz?

Totul depinde de circumstanțe. Câți jucători sunt acum pe serverul dvs.? Să presupunem că aveți un joc destul de popular și 100.000 de oameni îl joacă în fiecare zi. Câți jucători vor ucide patru monștri la rând? Totul este posibil, de mai multe ori pe zi, dar să presupunem că jumătate dintre aceștia schimbă pur și simplu diferite articole la licitații sau rescriu pe servere RP sau efectuează alte acțiuni de joc, așa că, de fapt, doar jumătate dintre ei sunt monștri de vânătoare. Care este probabilitatea ca catre cineva Se va renunța la aceeași recompensă? În această situație, vă puteți aștepta ca aceeași recompensă să renunțe de câteva ori pe zi, cel puțin!

Apropo, deci se pare că cel puțin la fiecare câteva săptămâni cineva câștigă la loterie, chiar dacă cineva nu nu tu sau prietenii tăi. Dacă în fiecare săptămână se joacă destui oameni, este posibil să existe cel puțin unu norocos ... dar dacă tu jucând la loterie, este mai puțin probabil să câștigi un loc de muncă la Infinity Ward.

Hărți și dependență

Am discutat evenimente independente precum aruncarea unui zar și acum cunoaștem multe instrumente puternice pentru a analiza întâmplarea în multe jocuri. Probabilitatea de calcul este puțin mai dificilă atunci când vine vorba de scoaterea cărților din pachet, deoarece fiecare carte pe care o scoatem afectează cărțile rămase în pachet. Dacă aveți un pachet standard de 52 de cărți și desenați, de exemplu, 10 inimi și doriți să știți probabilitatea ca următoarea carte să fie de aceeași culoare, probabilitatea s-a schimbat deoarece ați eliminat deja o carte din costumul inimilor de pe punte. Fiecare carte pe care o eliminați schimbă probabilitatea următoarei cărți din pachet. Deoarece în acest caz evenimentul anterior îl afectează pe următorul, numim această probabilitate dependent.

Vă rugăm să rețineți că atunci când spun cărți, vreau să spun orice mecanica jocului, în care există un set de obiecte și scoateți unul dintre obiecte fără a-l înlocui, un „pachet de cărți” în acest caz este analog cu o pungă de jetoane din care scoateți un jeton și nu îl înlocuiți , sau o urnă din care scoți bile colorate (de fapt, nu am văzut niciodată un joc în care să existe o urnă din care să scoți bile colorate, dar se pare că profesorii teoriei probabilității preferă acest exemplu pentru un motiv).

Proprietăți de dependență

Aș dori să clarific că, atunci când vine vorba de cărți, presupun că trageți cărți, le priviți și le scoateți de pe pachet. Fiecare dintre aceste acțiuni este o proprietate importantă.

Dacă aș avea un pachet de, să zicem, șase cărți cu numere de la 1 la 6 și le-am amestecat și am scos o carte și apoi am amestecat din nou toate cele șase cărți, ar fi ca și cum ar fi aruncat o matriță cu șase fețe; un rezultat nu afectează următoarele. Doar dacă trag cărți și nu le înlocuiesc, rezultatul faptului că trag o carte cu numărul 1 va crește probabilitatea ca data viitoare când trag o carte cu numărul 6 (probabilitatea va crește până când voi lua în cele din urmă afară această carte sau până când amestec cărțile).

Faptul că noi uite pe cărți este, de asemenea, important. Dacă scot o carte din pachet și nu mă uit la ea, nu am informații suplimentare și, de fapt, probabilitatea nu se schimbă. Acest lucru poate suna contraintuitiv. Cum poate o simplă întoarcere a unei cărți să schimbe magic o probabilitate? Dar acest lucru este posibil, deoarece puteți calcula probabilitatea pentru obiecte necunoscute numai pe baza faptului că dvs. tu stii... De exemplu, dacă amesteci un pachet standard de cărți, dezvăluie 51 de cărți și niciuna dintre ele nu este regină a cluburilor, vei ști cu 100% certitudine că cartea rămasă este o regină a cluburilor. Dacă amesteci pachetul standard de cărți și tragi 51 de cărți, în ciuda pe ele, atunci probabilitatea ca cartea rămasă să fie o regină a cluburilor va fi în continuare 1/52. Deschizând fiecare carte, veți obține mai multe informații.

Calculul probabilității pentru evenimentele dependente urmează aceleași principii ca și pentru evenimentele independente, cu excepția faptului că este puțin mai complicat, deoarece probabilitățile se schimbă atunci când deschideți cărțile. Astfel, trebuie să înmulțiți multe valori diferite în loc să înmulțiți aceeași valoare. De fapt, acest lucru înseamnă că trebuie să combinăm toate calculele pe care le-am făcut într-o singură combinație.

Exemplu

Amesteci un pachet standard de 52 de cărți și tragi două cărți. Care este probabilitatea ca tu să scoți o pereche? Există mai multe moduri de a calcula această probabilitate, dar poate cea mai simplă este următoarea: Care este probabilitatea ca atunci când scoți o carte să nu poți extrage o pereche? Această probabilitate este zero, deci nu contează ce carte ați extras, atâta timp cât se potrivește cu a doua. Nu contează ce carte scoatem prima, avem totuși șansa de a scoate o pereche, deci probabilitatea că putem scoate o pereche după ce scoatem prima carte este de 100%.

Care este probabilitatea ca a doua carte să fie aceeași cu prima? Au rămas 51 de cărți în pachet și 3 dintre ele coincid cu prima carte (de fapt ar fi 4 din 52, dar ați eliminat deja una dintre cărțile potrivite când ați scos prima carte!), Deci probabilitatea este 1/17. (Așadar, data viitoare când tipul de la masă de la tine, jucând Texas Hold'em, spune: „Super, încă o pereche? Am noroc în seara asta”, vei ști că există șanse destul de mari să blufeze.)

Ce se întâmplă dacă adăugăm doi jokeri și acum avem 54 de cărți în pachet și vrem să știm care este probabilitatea de a scoate o pereche? Prima carte poate fi un joker, apoi va fi doar unu card, nu trei, care se va potrivi. Cum găsiți probabilitatea în acest caz? Vom împărți probabilitățile și vom înmulți fiecare posibilitate.

Prima noastră carte ar putea fi un joker sau o altă carte. Probabilitatea de a extrage un joker este 2/54, probabilitatea de a extrage orice altă carte este 52/54.

Dacă prima carte este un joker (2/54), atunci probabilitatea ca a doua carte să coincidă cu prima este 1/53. Înmulțiți valorile (le putem înmulți, deoarece acestea sunt evenimente separate și vrem ambii evenimentele s-au întâmplat) și obținem 1/1431 - mai puțin de o zecime din procent.

Dacă trageți mai întâi o altă carte (52/54), probabilitatea de coincidență cu a doua carte este 3/53. Înmulțiți valorile și obțineți 78/1431 (puțin mai mult de 5,5%).

Ce facem cu aceste două rezultate? Ele nu se intersectează și vrem să știm probabilitatea de fiecare dintre ele, deci rezumăm valorile! Obținem rezultatul final 79/1431 (încă aproximativ 5,5%).

Dacă am fi vrut să fim siguri de acuratețea răspunsului, am putea calcula probabilitatea tuturor celorlalte rezultate posibile: scoaterea jokerului și nepotrivirea celei de-a doua cărți sau extragerea vreunei alte cărți și nepotrivirea celei de-a doua cărți și însumarea tuturor cu probabilitatea de a câștiga a obținut exact 100%. Nu voi face un calcul matematic aici, dar puteți încerca să-l calculați pentru a verifica dublu.

Paradoxul lui Monty Hall

Acest lucru ne conduce la un paradox destul de cunoscut care deseori îi încurcă pe mulți - paradoxul Monty Hall. Paradoxul poartă numele gazdei „Let’s Make a Deal” Monty Hall. Dacă nu ați văzut niciodată această emisiune, a fost opusul emisiunii TV The Price Is Right. În „Prețul este corect”, gazda (fostul Bob Barker, acum ... Drew Carey? Oricum ...) este prietenul tău. El vrea astfel încât să puteți câștiga bani sau premii grozave. El încearcă să vă ofere toate oportunitățile de a câștiga, cu condiția să puteți ghici cât costă efectiv articolele cumpărate de sponsori.

Monty Hall s-a comportat diferit. Era ca geamănul rău al lui Bob Barker. Scopul lui a fost să te facă să arăți ca un idiot la televiziunea națională. Dacă ai participat la spectacol, el ți-a fost adversar, ai jucat împotriva lui și șansele de a câștiga erau în favoarea lui. S-ar putea să fiu prea dur, dar când șansa de a fi ales ca rival pare direct proporțională cu faptul că purtați un costum ridicol, ajung la acest tip de concluzii.

Dar una dintre cele mai faimoase meme ale emisiunii a fost aceasta: erau trei uși în fața ta și erau numite ușa numărul 1, ușa numărul 2 și ușa numărul 3. Ai putea alege orice ușă ... gratuit! În spatele uneia dintre aceste uși, se afla un premiu grozav, cum ar fi un autoturism nou. Nu existau premii în spatele celorlalte uși, aceste două uși nu aveau valoare. Scopul lor era să te umilească și, prin urmare, nu era nimic în spatele lor, era ceva în spatele lor care părea prost, de exemplu, în spatele lor era o capră sau un tub imens de pastă de dinți sau ceva ... ceva, ce exact a fost nu un autoturism nou.

Ați ales una dintre uși și Monty era pe cale să o deschidă, astfel încât să știți dacă ați câștigat sau nu ... dar așteptați, înainte să știm, să aruncăm o privire la una dintre acesteaîți deschide nu ales... Din moment ce Monty știe care ușă se află premiul în spate și există un singur premiu și Două ușile pe care nu le-ai ales, indiferent de ce, el poate deschide oricând o ușă pentru care nu există niciun premiu. „Alegeți ușa numărul 3? Atunci să deschidem ușa 1 pentru a arăta că nu există niciun premiu în spatele ei. ” Și acum, din generozitate, el vă oferă șansa de a schimba ușa selectată numărul 3 cu cea din spatele ușii numărul 2. În acest moment apare problema probabilității: posibilitatea de a alege o altă ușă vă crește șansa de a câștigând-o sau coborând-o sau rămâne aceeași? Ce crezi?

Răspuns corect: capacitatea de a alege o altă ușă crește probabilitatea de a câștiga de la 1/3 la 2/3. Acest lucru este ilogic. Dacă nu ați mai întâlnit acest paradox înainte, cel mai probabil vă gândiți: așteptați, deschizând o ușă, am schimbat magic probabilitatea? Dar așa cum am văzut deja în exemplul cu hărțile de mai sus, acesta este exact ce se întâmplă când primim mai multe informații. Este evident că probabilitatea de a câștiga prima dată când alegeți este 1/3 și cred că toată lumea va fi de acord cu asta. Când o ușă se deschide, nu schimbă deloc probabilitatea de a câștiga pentru prima alegere, are încă o probabilitate de 1/3, dar asta înseamnă că probabilitatea ca celălalt ușa corectă este acum 2/3.

Să privim acest exemplu dintr-o perspectivă diferită. Tu alegi ușa. Probabilitatea de a câștiga este 1/3. Vă sugerez să vă schimbați Două alte uși, pe care Monty Hall își propune să le facă. Desigur, deschide una dintre uși pentru a arăta că nu există niciun premiu în spatele ei, dar el mereu poate face asta, deci nu prea schimbă nimic. Desigur, veți dori să alegeți o altă ușă!

Dacă nu sunteți foarte clar cu privire la această întrebare și aveți nevoie de o explicație mai convingătoare, faceți clic pe acest link pentru a naviga la o aplicație Flash minunată care vă va permite să studiați acest paradox în detaliu. Puteți juca începând cu aproximativ 10 uși și apoi treceți treptat la un joc cu trei uși; există, de asemenea, un simulator în care puteți alege orice număr de uși de la 3 la 50 și puteți juca sau rula câteva mii de simulări și puteți vedea de câte ori ați câștigat dacă ați jucat.

O remarcă a profesorului de matematică superioară și specialist în echilibrul jocului Maxim Soldatov, pe care, desigur, Schreiber nu o avea, dar fără de care este destul de dificil să înțelegem această transformare magică:

Alegeți o ușă, una din trei, probabilitatea de a „câștiga” este 1/3. Acum aveți 2 strategii: schimbați alegerea după ce deschideți ușa greșită sau nu. Dacă nu vă schimbați alegerea, atunci probabilitatea va rămâne 1/3, deoarece alegerea este doar în prima etapă și trebuie să ghiciți imediat, dacă vă schimbați, atunci puteți câștiga dacă alegeți mai întâi ușa greșită (apoi deschid altul greșit, vor rămâne fideli, vă răzgândiți și pur și simplu o luați)
Probabilitatea de a alege ușa greșită la început este de 2/3, deci se dovedește că prin schimbarea deciziei faceți probabilitatea de a câștiga de 2 ori mai mare

Și din nou despre paradoxul Monty Hall

În ceea ce privește spectacolul în sine, Monty Hall știa acest lucru, deoarece chiar dacă rivalii săi nu erau buni la matematică, el o înțelege bine. Iată ce a făcut pentru a schimba puțin jocul. Dacă ați ales ușa în spatele căreia a fost situat premiul, a cărui probabilitate este 1/3, acesta mereu v-a oferit posibilitatea de a alege o altă ușă. La urma urmei, ai ales o mașină de călători și apoi o schimbi într-o capră și vei arăta destul de prost, exact de asta are nevoie, pentru că este un fel de tip rău. Dar dacă alegeți ușa din spatele căreia nu va exista niciun premiu, numai la jumătateÎn astfel de cazuri, el vă va oferi să alegeți o altă ușă și, în alte cazuri, vă va arăta pur și simplu noua dvs. capră și veți părăsi scena. Să analizăm acest nou joc în care poate Monty Hall Selectați vă oferă șansa de a alege o altă ușă sau nu.

Să presupunem că urmează acest algoritm: dacă alegeți o ușă cu un premiu, el vă oferă întotdeauna posibilitatea de a alege o altă ușă, altfel probabilitatea că vă va oferi să alegeți o altă ușă sau să dați o capră este de 50/50. Care este probabilitatea de a câștiga?

Într-una dintre cele trei opțiuni, alegeți imediat ușa din spatele căreia se află premiul, iar gazda vă invită să alegeți o altă ușă.

Dintre cele două opțiuni rămase din trei (alegeți inițial o ușă fără premiu), în jumătate din cazuri, gazda vă va oferi să alegeți o altă ușă, iar în cealaltă jumătate a cazurilor, nu. Jumătate din 2/3 este 1/3, adică într-un caz din trei veți obține o capră, într-un caz din trei veți alege ușa greșită și gazda vă va oferi să alegeți alta și într-un caz din trei veți alege ușa potrivităși vă va cere să alegeți o altă ușă.

Dacă liderul se oferă să aleagă o altă ușă, știm deja că acel caz din trei, când ne dă o capră și plecăm, nu s-a întâmplat. Aceasta este o informație utilă, deoarece înseamnă că șansele noastre de a câștiga s-au schimbat. În două cazuri din trei, când avem posibilitatea de a alege, într-un caz înseamnă că am ghicit corect, iar în celălalt am ghicit incorect, deci dacă ni s-a oferit posibilitatea de a alege, înseamnă că probabilitatea de a câștiga este de 50/50 și nu există matematic beneficii, rămâneți la alegere sau alegeți o altă ușă.

La fel ca pokerul, acum este un joc psihologic, nu unul matematic. Monty ți-a oferit o alegere pentru că el crede că ești un simplet care nu știe că alegerea unei uși diferite este decizia „corectă” și că vei ține cu încăpățânare alegerea ta, deoarece psihologic situația când ai ales o mașină, și apoi l-a pierdut, mai greu? Sau crede că ești deștept și alege o altă ușă și îți oferă această șansă pentru că știe că ai ghicit inițial și că vei fi prins și prins? Sau poate că este atipic amabil cu el însuși și te împinge să faci ceva în interesul tău personal, pentru că nu a dat o mașină de mult timp, iar producătorii săi îi spun că publicul se plictisește și ar fi mai bine dacă ar da un premiu mare în curând pentru a împiedica scăderea ratingurilor?

Astfel, Monty reușește să ofere o alegere (uneori), iar probabilitatea generală de a câștiga rămâne egală cu 1/3. Amintiți-vă că probabilitatea de a pierde imediat este 1/3. Probabilitatea să o obțineți imediat este 1/3, iar în 50% din aceste cazuri veți câștiga (1/3 x 1/2 = 1/6). Probabilitatea că veți ghici greșit la început, dar apoi veți avea șansa de a alege o altă ușă, este 1/3, iar în 50% din aceste cazuri veți câștiga (de asemenea 1/6). Adăugați două șanse independente de câștig și veți obține o probabilitate egală cu 1/3, deci nu contează dacă rămâneți la alegere sau alegeți o altă ușă, probabilitatea generală de a câștiga pe tot parcursul jocului este egală cu 1/3. .. probabilitatea nu devine mai mare decât într-o situație în care ați fi ghicit ușa și prezentatorul v-ar arăta ce se află în spatele acestei uși, fără posibilitatea de a alege o altă ușă! Deci, scopul de a oferi posibilitatea de a alege o altă ușă nu este de a schimba probabilitatea, ci de a face procesul de luare a deciziilor mai distractiv pentru vizionarea TV.

Apropo, acesta este unul dintre motivele pentru care pokerul poate fi atât de interesant: în majoritatea formatelor dintre runde, când se fac pariuri (de exemplu, flop, turn și river în Texas Hold'em), cărțile sunt dezvăluite treptat, iar dacă la începutul jocului aveți una probabilitatea de a câștiga, atunci după fiecare rundă de pariuri, când mai multe cărți sunt deschise, această probabilitate se schimbă.

Paradoxul Băiatului și Fetei

Acest lucru ne aduce la un alt paradox bine cunoscut, care, de regulă, încurcă pe toată lumea - paradoxul băiatului și al fetei. Singurul lucru despre care scriu astăzi care nu are legătură directă cu jocurile (deși presupun că asta înseamnă pur și simplu că ar trebui să te împing să creezi mecanica de joc adecvată). Acesta este mai mult un puzzle, dar interesant și, pentru a-l rezolva, trebuie să înțelegeți probabilitatea condițională, despre care am vorbit mai sus.

Provocare: Am un prieten cu doi copii, cel puțin unul copilul este o fată. Care este probabilitatea ca al doilea copil de asemenea fată? Să presupunem că în orice familie șansa de a avea o fată sau un băiat este de 50/50 și acest lucru este valabil pentru fiecare copil (de fapt, unii bărbați au mai mulți spermatozoizi cu un cromozom X sau un cromozom Y, deci probabilitatea se schimbă ușor dacă știți că un copil este o fată, probabilitatea de a avea o fată este puțin mai mare, în plus, există și alte condiții, de exemplu, hermafroditism, dar pentru a rezolva această problemă, nu vom lua în considerare acest lucru și vom presupune că nașterea un copil este un eveniment independent și probabilitatea ca un băiat să se nască sau fetele să fie aceleași).

Deoarece vorbim despre o șansă de 1/2, intuitiv ne așteptăm ca răspunsul să fie cel mai probabil 1/2 sau 1/4, sau un alt număr rotund care este multiplu de două. Dar răspunsul este: 1/3 ... Stai de ce?

Dificultatea în acest caz este că informațiile pe care le avem reduce numărul de posibilități. Să presupunem că părinții sunt fani ai Sesame Street și, indiferent dacă s-a născut un băiat sau o fată, și-au numit copiii A și B. În condiții normale, există patru posibilități la fel de probabile: A și B sunt doi băieți, A și B sunt două fete, A este un băiat, iar B este o fată, A este o fată și B este un băiat. Din moment ce știm asta cel puțin unul copilul este o fată, putem exclude posibilitatea ca A și B să fie doi băieți, așa că rămânem cu trei posibilități (încă la fel de probabile). Dacă toate posibilitățile sunt la fel de probabile și există trei, știm că probabilitatea fiecăreia dintre ele este 1/3. În doar una dintre aceste trei opțiuni, ambii copii sunt două fete, deci răspunsul este 1/3.

Și din nou despre paradoxul unui băiat și a unei fete

Soluția problemei devine și mai ilogică. Imaginați-vă dacă vă spun că prietenul meu are doi copii și un copil - fata care s-a născut marți... Să presupunem că, în condiții normale, probabilitatea de a avea un copil într-una din cele șapte zile ale săptămânii este aceeași. Care este probabilitatea ca al doilea copil să fie și fată? Ai putea crede că răspunsul ar fi tot 1/3; ce inseamna marti? Dar chiar și în acest caz, intuiția ne dă greș. Răspuns: 13/27 ceea ce nu este doar nu intuitiv, ci este foarte ciudat. Ce s-a întâmplat în acest caz?

De fapt, marți schimbă probabilitatea pentru că nu știm care copilul s-a născut într-o marți sau eventual doi copii s-au născut marți. În acest caz, folosim aceeași logică ca mai sus, numărăm toate combinațiile posibile atunci când cel puțin un copil este o fată care s-a născut marți. Ca și în exemplul anterior, să presupunem că copiii sunt numiți A și B, combinațiile sunt după cum urmează:

• A - o fată care s-a născut marți, B - un băiat (în această situație există 7 posibilități, una pentru fiecare zi a săptămânii în care s-ar putea naște un băiat).
• B - o fată care s-a născut marți, A - un băiat (de asemenea, 7 posibilități).
• A - o fată care s-a născut marți, B - o fată care s-a născut pe o alta ziua săptămânii (6 posibilități).
• B - o fată care s-a născut marți, A - o fată care s-a născut într-o zi care nu este marți (de asemenea, 6 probabilități).
• A și B - două fete care s-au născut marți (1 posibilitate, trebuie să fiți atenți la acest lucru, pentru a nu număra de două ori).

Rezumăm și obținem 27 de combinații diferite la fel de posibile ale nașterii copiilor și zile cu cel puțin o posibilitate de a avea o fată marți. Dintre acestea, 13 sunt oportunități când se nasc două fete. De asemenea, arată complet ilogic și se pare că această sarcină a fost creată numai pentru a provoca dureri de cap. Dacă sunteți încă nedumerit de acest exemplu, teoreticianul de jocuri Jesper Yule are o bună explicație a problemei pe site-ul său.

Dacă lucrați în prezent la un joc ...

Dacă există aleatoriu în jocul pe care îl proiectați, acesta este un prilej extraordinar de a-l analiza. Selectați un element pe care doriți să îl analizați. În primul rând, întrebați-vă care este probabilitatea pentru un anumit element pe care îl așteptați să fie, care credeți că ar trebui să fie în contextul jocului. De exemplu, dacă creați un RPG și vă întrebați care ar fi probabilitatea ca un jucător să poată învinge un monstru în luptă, întrebați-vă ce procent de câștiguri vi se pare potrivit. De obicei, atunci când joacă jocuri RPG pe consolă, jucătorii sunt foarte frustrați când pierd, așa că cel mai bine este să nu piardă des ... poate 10% din timp sau mai puțin? Dacă sunteți un designer RPG, probabil că știți mai bine decât mine, dar trebuie să aveți o idee de bază despre probabilitatea care ar trebui să fie.

Atunci întreabă-te dacă asta este ceva dependent(cum ar fi cărțile) sau independent(ca zarurile). Analizează toate rezultatele posibile și probabilitățile acestora. Asigurați-vă că suma tuturor probabilităților este de 100%. În cele din urmă, desigur, comparați rezultatele obținute cu așteptările dvs. Indiferent dacă arunci zaruri sau desenezi cărți așa cum ți-ai propus, sau vezi că trebuie să ajustezi valorile. Și, desigur, dacă tu găsi ceea ce trebuie ajustat, puteți utiliza aceleași calcule pentru a determina cât de mult aveți nevoie pentru a regla ceva!

Teme pentru acasă

„Temele” din această săptămână vă vor ajuta să vă perfecționați abilitățile probabile. Iată două jocuri de zaruri și un joc de cărți pe care le veți analiza folosind probabilitatea, precum și un mecanic de joc ciudat pe care l-am dezvoltat odată pe care îl puteți folosi pentru a testa metoda Monte Carlo.

Jocul numărul 1 - Oase de dragon

Acesta este un joc de zaruri pe care l-am inventat odată cu colegii (datorită lui Jeb Havens și Jesse King!) Și care aduce în mod deliberat creierul oamenilor cu probabilitățile sale. Acesta este un joc de cazinou simplu numit Dragon Bones și este o competiție de zaruri între jucător și casă. Vi se dă morul obișnuit 1d6. Obiectivul jocului este de a arunca un număr mai mare decât casa. Tom primește un 1d6 non-standard - același cu al tău, dar în loc de unul pe o singură față - imaginea Dragonului (astfel, cazinoul are un cub Dragon-2-3-4-5-6). Dacă casa primește un Dragon, câștigă automat și pierzi. Dacă ambii obțineți același număr, este o remiză și aruncați din nou zarurile. Câștigă cel care aruncă cel mai mare număr.

Desigur, totul nu merge în întregime în favoarea jucătorului, deoarece cazinoul are un avantaj sub forma Dragon's Edge. Dar chiar este așa? Trebuie să-ți dai seama. Dar înainte de asta, verifică-ți intuiția. Să presupunem că câștigurile sunt de la 2 la 1. Deci, dacă câștigi, îți păstrezi pariul și te dublezi. De exemplu, dacă pariați 1 $ și câștigați, păstrați acel dolar și primiți încă 2 în plus pentru un total de 3 $. Dacă pierzi, îți pierzi doar pariul. Ai juca? Deci, simțiți intuitiv că probabilitatea este mai mare de 2 la 1 sau credeți în continuare că este mai mică? Cu alte cuvinte, în medie în 3 jocuri, te aștepți să câștigi de mai multe ori, sau mai puțin, sau o dată?

Odată ce intuiția dvs. este sortată, aplicați matematica. Există doar 36 de poziții posibile pentru ambele zaruri, astfel încât să le puteți calcula fără probleme. Dacă nu sunteți sigur cu privire la această 2 la 1 propoziție, gândiți-vă la acest lucru: Să presupunem că ați jucat jocul de 36 de ori (pariând 1 $ de fiecare dată). Pentru fiecare victorie primești 2 USD, pentru fiecare pierdere pierzi 1 USD, iar o remiză nu schimbă nimic. Calculați toate câștigurile și pierderile probabile și decideți dacă veți pierde o sumă de dolari sau câștig. Atunci întreabă-te cât de corectă a fost intuiția ta. Și apoi - realizează ce ticălos sunt.

Și, da, dacă v-ați gândit deja la această întrebare - vă confund în mod deliberat distorsionând mecanica reală a jocurilor de zaruri, dar sunt sigur că puteți depăși acest obstacol doar cu multă gândire. Încearcă să rezolvi singur această problemă. Voi posta toate răspunsurile aici săptămâna viitoare.

Jocul nr. 2 - Aruncarea norocului

Este un joc de noroc cu zaruri numit Luck Roll (de asemenea, Birdcage, deoarece uneori zarurile nu sunt aruncate, ci plasate într-o cușcă mare de sârmă, care amintește de cușca Bingo). Este un joc simplu care se rezumă la așa ceva: pariați, să zicem, $ 1 pe un număr între 1 și 6. Apoi aruncați 3d6. Pentru fiecare matriță care vă atinge numărul, primiți 1 USD (și păstrați miza inițială). Dacă numărul tău nu apare pe niciunul dintre zaruri, cazinoul primește dolarul tău, iar tu - nimic. Deci, dacă pariați pe 1 și obțineți un 1 pe margini de trei ori, primiți 3 $.

Intuitiv, acest joc pare să aibă șanse egale. Fiecare matriță are o șansă individuală de 1 la 6 de câștig, așadar, pe suma tuturor celor trei, șansa de a câștiga este de 3 la 6. Cu toate acestea, desigur, amintiți-vă că compuneți trei zaruri separate și aveți voie să adăugați doar dacă vorbim despre combinații câștigătoare separate ale aceluiași zar. Ceva pe care va trebui să îl înmulțiți.

Odată ce vă dați seama de toate rezultatele posibile (probabil va fi mai ușor să o faceți în Excel decât manual, deoarece există 216 dintre ele), jocul pare încă ciudat și chiar la prima vedere. De fapt, cazinoul are încă mai multe șanse de a câștiga - cu cât mai mult? În special, câți bani în medie te aștepți să pierzi pentru fiecare rundă a jocului? Tot ce trebuie să faceți este să adunați câștigurile și pierderile tuturor celor 216 de rezultate și apoi să împărțiți la 216, ceea ce ar trebui să fie destul de simplu ... Dar, după cum puteți vedea, există câteva capcane în care puteți cădea, motiv pentru care Îți spun: dacă crezi că există șanse egale de a câștiga în acest joc, ai greșit totul.

Joc # 3 - 5 Card Stud Poker

Dacă v-ați încălzit în jocurile anterioare, să verificăm ce știm despre probabilitatea condiționată cu acest joc de cărți. În special, să ne imaginăm pokerul cu un pachet de 52 de cărți. Să ne imaginăm și un Stud de 5 cărți, în care fiecare jucător primește doar 5 cărți. Nu puteți arunca o carte, nu puteți extrage una nouă, nici un pachet comun - primiți doar 5 cărți.

Un Royal Flush este 10-J-Q-K-A într-o mână, sunt patru în total, deci există patru modalități posibile de a obține un Royal Flush. Calculați probabilitatea ca veți obține o astfel de combinație.

Trebuie să vă avertizez despre un singur lucru: amintiți-vă că puteți extrage aceste cinci cărți în orice ordine. Adică, la început poți desena un as sau un zece, nu contează. Deci, în timp ce calculați acest lucru, rețineți că există de fapt mai mult de patru moduri de a obține o culoare roșie presupunând că cărțile au fost distribuite în ordine!

Jocul # 4 - Loteria FMI

A patra problemă nu poate fi rezolvată atât de ușor prin metodele despre care am vorbit astăzi, dar puteți simula cu ușurință situația folosind programarea sau Excel. Pe exemplul acestei probleme, puteți elabora metoda Monte Carlo.

Am menționat mai devreme jocul „Chron X”, la care am lucrat, și a existat o carte foarte interesantă - loteria FMI. Iată cum a funcționat: l-ați folosit în joc. După încheierea rundei, cărțile au fost redistribuite și exista o posibilitate de 10% ca cartea să părăsească jocul și ca un jucător aleator să primească 5 unități din fiecare tip de resursă al cărui jeton era prezent pe această carte. Cartea a fost pusă în joc fără un singur jeton, dar de fiecare dată când a rămas în joc la începutul rundei următoare, a primit un jeton. Așadar, există o șansă de 10% ca tu să o pui în joc, runda să se încheie, cartea să părăsească jocul și nimeni să nu primească nimic. Dacă acest lucru nu se întâmplă (cu o probabilitate de 90%), există o șansă de 10% (de fapt 9%, deoarece aceasta este 10% din 90%) ca în runda următoare să părăsească jocul și cineva să primească 5 unități de resurse. Dacă cartea părăsește jocul după o rundă (10% din 81% disponibile, deci probabilitatea este de 8,1%), cineva va primi 10 unități, după o altă rundă - 15, alte 20 și așa mai departe. Întrebare: Care este valoarea generală așteptată a numărului de resurse pe care le veți primi de pe această carte atunci când va părăsi jocul?

De obicei, am încerca să rezolvăm această problemă găsind posibilitatea fiecărui rezultat și înmulțind cu numărul tuturor rezultatelor. Deci, există 10% șanse să obțineți 0 (0,1 * 0 = 0). 9% că veți primi 5 unități de resurse (9% * 5 = 0,45 resurse). 8,1% din ceea ce obțineți 10 (8,1% * 10 = 0,81 resurse totale, valoarea așteptată). Etc. Și apoi am adăuga totul.

Și acum problema vă este evidentă: există întotdeauna șansa ca cardul nu va părăsi jocul, astfel încât să poată rămâne în joc pentru totdeauna, pentru un număr infinit de runde, astfel încât posibilitățile de calcul fiecare șansă nu exista. Metodele pe care le-am învățat astăzi nu ne oferă capacitatea de a calcula recursivitatea infinită, așa că va trebui să o creăm artificial.

Dacă sunteți suficient de bun cu programarea, scrieți un program care simulează acest card. Ar trebui să aveți o buclă de timp care să readucă variabila în poziția sa inițială zero, afișează un număr aleator și, cu o șansă de 10%, variabila părăsește bucla. În caz contrar, adaugă 5 variabilei, iar bucla se repetă. Când în sfârșit iese din buclă, creșteți numărul total de testări cu 1 și numărul total de resurse (cu cât depinde de unde a rămas variabila). Apoi resetați variabila și începeți din nou. Rulați programul de câteva mii de ori. În cele din urmă, împărțiți resursele totale la numărul total de curse - aceasta va fi valoarea dvs. Monte Carlo așteptată. Rulați programul de mai multe ori pentru a vă asigura că numerele obținute sunt aproximativ aceleași; dacă răspândirea este încă mare, creșteți numărul de repetări în bucla exterioară până când începeți să obțineți meciuri. Puteți fi sigur că orice numere cu care veți ajunge va fi aproximativ corectă.

Dacă nu sunteți familiarizați cu programarea (sau chiar dacă sunteți), iată un mic exercițiu pentru a vă încălzi abilitățile Excel. Dacă sunteți designer de jocuri, abilitățile Excel nu sunt niciodată inutile.

Deocamdată, funcțiile IF și RAND vor fi utile. RAND nu necesită o valoare, ci doar scoate un număr zecimal aleatoriu între 0 și 1. De obicei, îl combinăm cu FLOOR și argumentele pro și contra pentru a simula rulajul matriței, pe care l-am menționat mai devreme. Cu toate acestea, în acest caz, lăsăm doar 10% șanse ca cartea să părăsească jocul, deci putem verifica doar dacă valoarea RAND este mai mică de 0,1 și să nu ne mai deranjăm cu ea.

IF are trei semnificații. În ordine, o condiție care este fie adevărată sau nu, atunci o valoare care este returnată dacă condiția este adevărată și o valoare care este returnată dacă condiția nu este adevărată. Deci următoarea funcție va returna 5% din timp, iar 0 celelalte 90% din timp:
= IF (RAND ()<0.1,5,0)

Există multe modalități de a seta această comandă, dar aș folosi o formulă ca aceasta pentru celula care reprezintă prima rundă, să presupunem că este celula A1:

DACĂ (RAND ()<0.1,0,-1)

Aici folosesc o variabilă negativă pentru a însemna „această carte nu a părăsit jocul și nu a donat încă resurse”. Deci, dacă prima rundă s-a terminat și cartea este în afara jocului, A1 este 0; altfel este -1.

Pentru următoarea celulă care reprezintă a doua rundă:

IF (A1> -1, A1, IF (RAND ()<0.1,5,-1))

Deci, dacă prima rundă s-a terminat și cartea părăsește jocul imediat, A1 este 0 (numărul de resurse) și această celulă va copia pur și simplu acea valoare. În caz contrar, A1 este -1 (cartea nu a părăsit încă jocul), iar această celulă continuă să se miște în mod aleatoriu: 10% din timp va returna 5 unități de resurse, restul timpului valoarea ei va continua fie -1. Dacă aplicăm această formulă pentru celulele suplimentare, vom obține runde suplimentare și oricare dintre celule ți se încadrează la final, vei primi rezultatul final (sau -1 dacă cartea nu a părăsit jocul după toate rundele pe care le-ai jucat) .

Luați acest rând de celule, care este singura rundă cu acest card, și copiați și lipiți câteva sute (sau mii) de rânduri. Este posibil să nu putem face asta fără sfârşit test pentru Excel (există un număr limitat de celule în tabel), dar cel puțin putem acoperi majoritatea cazurilor. Apoi selectați o celulă în care veți plasa media rezultatelor tuturor rundelor (Excel oferă cu amabilitate funcția MEDIE () pentru aceasta).

Pe Windows, puteți apăsa cel puțin F9 pentru a relata toate numerele aleatorii. Ca și înainte, faceți acest lucru de mai multe ori și vedeți dacă valorile pe care le obțineți sunt aceleași. Dacă răspândirea este prea largă, dublați numărul de rulări și încercați din nou.

Sarcini nerezolvate

Dacă ți se întâmplă să ai o diplomă în probabilitate și problemele de mai sus ți se par prea ușoare, iată două probleme pe care le-am descurcat de ani de zile, dar din păcate, nu sunt atât de bun la matematică pentru a le rezolva. Dacă știți brusc o soluție, vă rugăm să o postați aici în comentarii, o voi citi cu plăcere.

Problema nerezolvată numărul 1: LoterieFMI

Prima problemă nerezolvată este repartizarea temelor anterioare. Pot aplica cu ușurință metoda Monte Carlo (folosind C ++ sau Excel) și voi fi încrezător în răspunsul la întrebarea „cât de multe resurse va obține jucătorul”, dar nu știu exact cum să ofer o dovadă exactă răspunde matematic (aceasta este o serie interminabilă). Dacă știți răspunsul, postați-l aici ... după ce îl verificați cu Monte Carlo, desigur.

Problema nerezolvată # 2: Secvențe de forme

Această problemă (și din nou depășește sarcinile rezolvate în acest blog) mi-a fost aruncată de un jucător familiar acum mai bine de 10 ani. El a observat o caracteristică interesantă când juca blackjack în Vegas: când a scos cărți de pe pantof pentru 8 punți, a văzut zece bucăți la rând (o bucată sau o bucată de carte - 10, Joker, Rege sau Regină, deci există 16 dintre ele într-un pachet standard de 52 de cărți, deci sunt 128 dintre ele într-un pantof de 416 cărți). Care este probabilitatea ca în acest pantof macar o secvență zece sau mai mult cifre? Să presupunem că au fost amestecate sincer, în ordine aleatorie. (Sau, dacă vă place mai bine, care este probabilitatea ca nu se găsește nicăieri o secvență de zece sau mai multe forme?)

Putem simplifica sarcina. Iată o secvență de 416 părți. Fiecare piesă este 0 sau 1. Există 128 de unități și 288 de zerouri împrăștiate aleator pe tot parcursul secvenței. Câte modalități există de a intercala în mod aleatoriu 128 cu 288 de zerouri și de câte ori aceste metode au cel puțin un grup de zece sau mai multe?

De fiecare dată când am început să rezolv această problemă, mi s-a părut ușor și evident, dar de îndată ce am intrat în detalii, s-a destrămat brusc și mi s-a părut imposibil. Așadar, nu vă grăbiți să estompați răspunsul: așezați-vă, gândiți-vă bine, studiați condițiile problemei, încercați să înlocuiți numerele reale, deoarece toți oamenii cu care am vorbit despre această problemă (inclusiv mai mulți studenți absolvenți care lucrează în acest domeniu) a reacționat cam la fel "Este destul de evident ... oh, nu, așteaptă, nu este deloc evident." Acesta este cazul pentru care nu am o metodă de calcul a tuturor opțiunilor. Aș putea cu siguranță forța brută a problemei printr-un algoritm computerizat, dar ar fi mult mai curios să știu modul matematic de rezolvare a acestei probleme.

Traducere - Y. Tkachenko, I. Mikheeva