مولد تاس - تاس آنلاین. آیا فضا تصادفی است

روش آهنگسازیبا متن صوتی شل. به عنوان یک روش مستقل از آهنگسازی در قرن XX شکل گرفت. الف به معنای امتناع کامل یا جزئی آهنگساز از کنترل دقیق متن موسیقی یا حتی حذف همان دسته آهنگساز-نویسنده به معنای سنتی است. نوآوری A. در ارتباط دادن مؤلفه‌های ثابت شده یک متن موسیقایی با تصادفی بودن عمدی و تحرک دلخواه ماده موسیقی نهفته است. مفهوم A. می تواند هم به ترتیب کلی بخش های یک مقاله (به شکل) و هم به ساختار بافت آن اشاره داشته باشد. به گفته E. دنیسوف،برهمکنش بین پایداری و تحرک بافت و شکل، 4 نوع ترکیب اصلی را به دست می‌دهد که سه نوع از آنها - دوم، سوم و چهارم - نازک هستند: 1. بافت پایدار - شکل پایدار (ترکیب سنتی معمول، opus perfectum et absolutum؛ به عنوان، برای به عنوان مثال، 6 سمفونی چایکوفسکی)؛ 2. پارچه پایدار - شکل موبایل. با توجه به V. Lutoslavs، "A. فرم ها "(P. Boulez ، سومین سونات برای پیانو ، 1957)؛ 3. پارچه متحرک است - شکل پایدار است. یا به گفته لوتوسلاوسکی، «آ. بافت ها "(لوتوسلاوسکی، کوارتت زهی، 1964، جنبش اصلی)؛ 4. پارچه متحرک است - فرم متحرک است. یا "A. قفس "(با بداهه نوازی جمعی چند مجری). اینها نقاط گرهی روش A. هستند که در اطراف آنها انواع مختلف و موارد خاص ساختارها، درجات مختلف غوطه وری در A. قرار دارند. علاوه بر این، متابولول ها ("مدولاسیون") نیز طبیعی هستند - انتقال از یک نوع یا نوع به دیگری، همچنین به یک متن پایدار یا از آن.

A. از دهه 1950 گسترده شد و ظاهر شد (همراه با سونوریکس)به ویژه، واکنشی به بردگی شدید ساختار موسیقی در سریالیسم چند پارامتری (نگاه کنید به: دوازده صدایی).در این میان، اصل آزادی ساختار به هر شکلی ریشه‌ای کهن دارد. اساساً، موسیقی فولکلور جریانی از صدا است، و نه اثری با ساختار منحصر به فرد. از این رو بی ثباتی، «عدم پذیرش» موسیقی فولکلور، تنوع، تنوع و بداهه نوازی در آن است. فرم ناخواسته و قابل بهبود ویژگی موسیقی سنتی هند، مردم خاور دور، آفریقا است. بنابراین نمایندگان الف فعالانه و آگاهانه بر اصول اساسی موسیقی شرقی و محلی تکیه می کنند. عناصر A. نیز در اروپا وجود داشته است موسیقی کلاسیک... به عنوان مثال، در میان کلاسیک‌های وینی، که اصل بیس عمومی را حذف کردند و متن موسیقی را کاملاً ثابت کردند (سمفونی‌ها و کوارتت‌های ای. هایدن)، تضاد شدید «کادنزا» در قالب یک کنسرت دستگاهی - یک هنرپیشه بود. تکنوازی، بخشی که آهنگساز آن را نساخته است، اما به صلاحدید اجراکننده ارائه شده است (عنصر فرم A.). روش‌های معروف کمیک «الئاتوریک» برای ساخت قطعات ساده (مینوت) با ترکیب قطعات موسیقی روی تاس (Würfelspiel) در روزگار هایدن و موتسارت (رساله جی اف کرنبرگر «در هر زمان یک آهنگساز آماده از پولونز و مینوئت». 1757).

در قرن XX. اصل "پروژه انفرادی" در شکل شروع به نشان دادن قابل قبول بودن نسخه های متنی کار (یعنی الف) کرد. در سال 1907 چارلز آیوز، آهنگساز آمریکایی، یک کوئینتت پیانو "Hallwe" en (= "شب همه مقدسین") را ساخت که متن آن، هنگام اجرا در کنسرت، باید چهار بار متوالی متفاوت نواخته شود. قفسدر سال 1951 ساخته شده است. "موسیقی تغییرات" برای پیانو که متن آن را "با دستکاری تصادفات" (کلمات آهنگساز) با استفاده از "کتاب تغییرات" چینی برای این کار ساخته است. کلاسی-

نمونه ای از A. - "Piano Piece XI" توسط K. استوکهاوزن، 1957. روی یک ورق کاغذ، تقریبا. 0.5 متر مربع 19 قطعه موسیقی به ترتیب تصادفی تنظیم شده است. نوازنده پیانو با هر یک از آنها شروع می کند و آنها را به ترتیب تصادفی می نوازد. در پایان قسمت قبل نوشته شده است که قطعه بعدی با چه سرعتی و با چه صدایی پخش شود. وقتی برای پیانیست به نظر می رسد که او قبلاً تمام قطعات را نواخته است، آنها باید دوباره به همان ترتیب تصادفی، اما با صدایی روشن تر نواخته شوند. پس از دور دوم، نمایش به پایان می رسد. برای تأثیر بیشتر، توصیه می شود که کار aleatoric را در یک کنسرت تکرار کنید - به شنونده آهنگ دیگری از همان مواد ارائه می شود. روش A. به طور گسترده توسط آهنگسازان مدرن استفاده می شود. (بولز، استوکهاوزن،لوتوسلاوسکی، آ.ولکونسکی، دنیسوف، اشنیتکهو غیره.).

پیش نیاز A. در قرن XX. قوانین جدید ظاهر شد هماهنگیو گرایش های حاصل به جستجوی فرم های جدید مطابق با وضعیت جدید مواد موسیقی و ویژگی های آوانگاردبافت آلئاتوریک قبل از رهایی کاملاً غیرقابل تصور بود ناهماهنگی،توسعه موسیقی آتونال (نگاه کنید به: دوازده صدایی). A. Lutoslawski، از طرفداران "محدود و کنترل شده"، در آن یک ارزش غیرقابل انکار می بیند: "A. چشم اندازهای جدید و غیرمنتظره ای برای من باز کرد. اول از همه، ثروت عظیمی از ریتم وجود دارد که با کمک تکنیک های دیگر دست نیافتنی است. دنیسوف، با توجیه "معرفی عناصر تصادفی به موسیقی"، ادعا می کند که "آزادی بیشتری در کار با ماده موسیقی به ما می دهد و به ما امکان می دهد جلوه های صوتی جدیدی به دست آوریم.<...>، اما ایده های تحرک تنها در صورتی می توانند نتایج خوبی به همراه داشته باشند<... >اگر تمایلات مخرب نهفته در تحرک، سازنده بودن لازم برای وجود هر نوع هنری را از بین نبرد.»

برخی دیگر از روش ها و فرم های موسیقی با A تلاقی می کنند. اول از همه اینها عبارتند از: 1. ابتکار -اجرای قطعه ای که هنگام نواختن ساخته شده است. 2. موسیقی گرافیکی،که اجراکننده با توجه به تصاویر بصری نقاشی که در مقابل او قرار داده شده است (به عنوان مثال، I. Brown, Folio ", 1952) بداهه نوازی می کند و آنها را به تصاویر صوتی یا با توجه به گرافیک های موزیکال-الئاتوریک ایجاد شده توسط آهنگساز از قطعات متن موسیقی روی یک ورق کاغذ (S. Bussotti, Passion for the Garden, 1966); 3. اتفاق می افتد- کنش بداهه (از این نظر، الاتوریک). (ترویج)با مشارکت موسیقی با طرح دلخواه (شبه) (به عنوان مثال، اتفاق A. Volkonsky "Remark" توسط گروه "Madrigal" در فصل 1970/71). 4. اشکال باز موسیقی - یعنی آنهایی که متن آنها ثابت نیست، اما هر بار که در فرآیند اجرا به دست می آید. اینها انواعی از ترکیب بندی هستند که در اصل بسته نیستند و امکان ادامه بی پایان را فراهم می کنند (مثلاً با هر اجرای جدید)، مهندس. کار در حال انجام. برای پی.بولز، یکی از مشوق هایی که او را به شکل باز تبدیل کرد، کار جی. جویس("Ulysses") و S. Mallarmé ("Le Livre"). نمونه‌ای از یک ترکیب باز «فرم‌های موجود II» به معنای «فرم‌های بالقوه» توسط ایرل براون برای 98 ساز و دو رهبر ارکستر (1962) است. خود براون به ارتباط بین فرم باز خود و "موبایل" در هنرهای تجسمی اشاره می کند (نگاه کنید به: هنر جنبشی)به ویژه توسط A. Calder ("قطعه Calder" برای 4 درامر و Calder's mo-bil، 1965). در نهایت، کنش «گسمتکونست» با اصول الاتاتوریک آغشته شده است (نگاه کنید به: Gezamtkunstwerk). 5. چند رسانه ای که ویژگی آن همگام سازی است تاسیساتچندین هنر (مثلاً: کنسرت + نمایشگاه نقاشی و مجسمه سازی + شب شعر در هر ترکیبی از هنرها و ...). بنابراین، جوهر A. آشتی دادن نظم هنری به طور سنتی استقرار یافته و آنزیم شاداب کننده غیرقابل پیش بینی بودن، شانس - یک ویژگی گرایش است. فرهنگ هنری قرن XX.به طور کلی و زیبایی شناسی غیر کلاسیک

متن: دنیسوف E.V.عناصر پایدار و متحرک فرم موسیقی و تعامل آنها // مسائل نظری فرم ها و ژانرهای موسیقی. م.، 1971; Kogutek Ts.تکنیک آهنگسازی در موسیقی قرن بیستم. م.، 1976; لوتوسلاوسکی وی.مقالات، شماره

موهای خاکستری، خاطرات م.، 1995; بولز P. Alea // Darmstädter Beiträge zur Neuen Musik. L, Mainz, 1958; بولز آر. Zu meiner III Sonate // Ibid, III. 1960; شفر بی.نوا موزیکا (1958). کراکوف، 1969; شفر بی. Malý informátor muzyki XX wieku (1958). کراکوف، 1975; استوکهاوزن ک. Musik und Grafik (1960) // Texte, Bd. L, Köln, 1963; Böhmer K. Theorie der offenen Form in der Musik. دارمشتات، 1967.

هزاران سال است که انسان ها از تاس استفاده می کنند.

در قرن بیست و یکم، فناوری‌های جدید به شما این امکان را می‌دهند که تاس را در هر زمان مناسب و اگر به اینترنت دسترسی دارید، در مکانی مناسب بریزید. تاس همیشه با شما در خانه یا در جاده است.

مولد تاس به شما امکان می دهد از 1 تا 4 تاس آنلاین بیاندازید.

تاس را به صورت آنلاین پرتاب کنید

هنگام استفاده از تاس واقعی، می توان از مهارت دستی یا تاس های مخصوص ساخته شده با اضافه وزن در یک طرف استفاده کرد. به عنوان مثال، می توانید یک مکعب را در امتداد یکی از محورها بچرخانید و سپس توزیع احتمال تغییر می کند. یکی از ویژگی های مکعب های مجازی ما استفاده از یک شبه تولید کننده نرم افزار است اعداد تصادفی... این به شما امکان می دهد یک گزینه واقعاً تصادفی برای این یا آن نتیجه ارائه دهید.

و اگر این صفحه را به نشانک های خود اضافه کنید، تاس آنلاین شما در هیچ کجا گم نمی شود و همیشه در زمان مناسب در دسترس خواهد بود!

برخی از افراد با استفاده از تاس آنلاین برای فال گیری یا پیش بینی و طالع بینی سازگار شده اند.

خلق و خوی شاد روز خوبی داشته باشیدو موفق باشید

ادعای انیشتین مبنی بر اینکه خدا با جهان تاس بازی نمی کند تفسیر نادرستی شده است

تعداد کمی از عبارات را بگیرانیشتین به همان اندازه که گفته های او مبنی بر اینکه خدا با جهان تاس بازی نمی کند، نقل قول شد. مردم طبیعتاً این تفسیر شوخ‌آمیز از او را دلیلی بر مخالفت او با مکانیک کوانتومی می‌دانند که تصادفی بودن را یک ویژگی مشخص می‌داند. دنیای فیزیکی... هنگامی که هسته یک عنصر رادیواکتیو تجزیه می شود، خود به خود اتفاق می افتد، هیچ قانونی وجود ندارد که به شما بگوید دقیقاً چه زمانی یا چرا اتفاق می افتد. وقتی ذره ای نور به آینه نیمه شفاف برخورد می کند، یا از آن منعکس می شود یا از آن عبور می کند. نتیجه می تواند تا لحظه ای که این رویداد اتفاق افتاده باشد. و برای دیدن این نوع فرآیندها نیازی به رفتن به آزمایشگاه ندارید: بسیاری از سایت‌های اینترنتی جریان‌هایی از اعداد تصادفی تولید شده توسط شمارنده‌های گایگر یا اپتیک کوانتومی را نشان می‌دهند. اگرچه حتی در اصل غیر قابل پیش بینی است، اما چنین اعدادی برای رمزنگاری، آمار و مسابقات پوکر آنلاین ایده آل هستند.

همانطور که افسانه استاندارد می گوید انیشتین. از پذیرش این واقعیت که برخی از رویدادها ماهیتشان غیر قطعی است، خودداری کردند. - آنها فقط اتفاق می افتند و هیچ کاری نمی توان برای فهمیدن علت آن انجام داد. تقریباً در انزوای باشکوه، محاصره شده توسط همتایان خود، با هر دو دست خود را به جهان مکانیکی فیزیک کلاسیک چسباند و به طور مکانیکی ثانیه‌ها را اندازه‌گیری کرد، که در آن هر لحظه از پیش تعیین می‌کند که در آینده چه اتفاقی خواهد افتاد. خط تاس نشان‌دهنده طرف دیگر زندگی او بود: تراژدی انقلابی ارتجاعی که با نظریه نسبیت خود فیزیک را متحول کرد، اما - همانطور که نیلز بور به طور دیپلماتیک بیان کرد - وقتی با نظریه کوانتومی روبرو شد، "به شام ​​رفت. "

با این حال، در طول سال ها، بسیاری از مورخان، فیلسوفان و فیزیکدانان این تفسیر از داستان را زیر سوال برده اند. همانطور که آنها در دریای همه چیزهایی که انیشتین واقعاً گفته بود فرو رفتند، دریافتند که قضاوت های او در مورد غیرقابل پیش بینی بودن رادیکال تر است و طیف وسیع تری از سایه ها نسبت به آنچه معمولاً نقاشی می کنند دارد. "تلاش برای حفاری داستان واقعیدان آ. هاوارد متقاعد شده است که به نوعی کار تبلیغی تبدیل شود. مورخ از دانشگاه نوتردام. شگفت‌انگیز است وقتی در بایگانی‌ها کاوش می‌کنید و ناسازگاری با خرد متعارف را می‌بینید.» این است که عدم تعین‌گرایی ماهیتی اساسی دارد. همه این‌ها نشان می‌دهد که مشکل در سطح عمیق‌تری از واقعیت به وجود می‌آید، که نظریه آن را منعکس نمی‌کند. نقد عرفانی نبود، بلکه معطوف به خاص بود مسائل علمیکه تا به امروز حل نشده باقی مانده اند.

این پرسش که آیا ساعت، جهان هستی است یا میز تاس، پایه های آنچه ما فکر می کنیم فیزیک است را در هم می شکند: جستجو برای قوانین ساده ای که زیربنای تنوع شگفت انگیز طبیعت است. اگر اتفاقی بی دلیل بیفتد، به تحقیقات عقلانی پایان می دهد. اندرو اس. فریدمن، کیهان شناس در موسسه فناوری ماساچوست می گوید: «عدم قطعیت بنیادین به معنای پایان علم است. با این حال فیلسوفان در طول تاریخ بر این باور بوده اند که عدم تعین گرایی شرط لازم برای اراده آزاد انسان است. یا همه ما چرخ دنده های یک ساعت هستیم، و بنابراین هر کاری که انجام می دهیم از قبل تعیین شده است، یا ما نیروی عمل کننده سرنوشت خود هستیم، در این صورت جهان هنوز هم نباید قطعی باشد.

این دوگانگی پیامدهای بسیار واقعی داشت که در روشی که جامعه افراد را در قبال اعمالشان مسئول می‌سازد، آشکار شد. نظام حقوقی ما مبتنی بر فرض اختیار است. برای اینکه متهم مجرم شناخته شود، باید با عمد عمل می کرد. دادگاه ها دائماً مغز خود را بر سر این سوال می کوبند که اگر فردی به دلیل جنون، تکانشگری جوانی یا محیط اجتماعی پوسیده بی گناه باشد چه؟

با این حال، هر زمان که مردم در مورد دوگانگی صحبت می کنند، سعی می کنند آن را به عنوان یک تصور غلط افشا کنند. در واقع، بسیاری از فیلسوفان معتقدند که صحبت در مورد قطعی یا غیر قطعی بودن جهان بی معنی است. بسته به اینکه موضوع تحقیق چقدر بزرگ یا پیچیده است، می تواند هر دو باشد: ذرات، اتم ها، مولکول ها، سلول ها، موجودات، روان، جوامع. کریستین لیست، فیلسوف دانشکده اقتصاد و علوم سیاسی لندن، می‌گوید: «تفاوت بین جبرگرایی و عدم تعین‌گرایی، بسته به سطح مطالعه مسئله، تفاوت است.» اتم‌های مغز ما می‌توانند به شیوه‌ای کاملاً قطعی رفتار کنند، در حالی که در عین حال ما را آزاد می‌گذارند تا مانند اتم‌ها و اندام‌ها در سطوح مختلف عمل کنیم.

به همین ترتیب، انیشتین به دنبال یک سطح زیرکوانتومی قطعی بود، در حالی که احتمالی بودن سطح کوانتومی را انکار نمی کرد.

چیزی که انیشتین به آن اعتراض داشت

این که چگونه انیشتین برچسب مخالف نظریه کوانتومی را به دست آورد تقریباً به اندازه خود مکانیک کوانتومی معمایی بزرگ است. مفهوم کوانتوم - واحد مجزای انرژی - ثمره تأملات او در سال 1905 بود و برای یک دهه و نیم او عملاً به تنهایی در دفاع از آن ایستاد. اینشتین پیشنهاد داد. آنچه فیزیکدانان امروزی آن را ویژگی های اصلی فیزیک کوانتومی می دانند، مانند توانایی عجیب نور برای عمل به عنوان یک ذره و به عنوان یک موج، و اروین شرودینگر از انعکاسات خود در فیزیک موج بود که پذیرفته شده ترین فرمول کوانتومی را توسعه داد. نظریه در دهه 1920 انیشتین هم مخالف شانس نبود. در سال 1916، او نشان داد که وقتی اتم ها فوتون ساطع می کنند، زمان و جهت تابش کمیت های تصادفی هستند.

یان فون پلاتو از دانشگاه هلسینکی استدلال می‌کند: «این برخلاف تصویر رایج از انیشتین به عنوان مخالف رویکرد احتمالی است. اما انیشتین و معاصرانش با مشکل جدی روبرو بودند. پدیده های کوانتومی تصادفی هستند، اما خود نظریه کوانتومی اینطور نیست. معادله شرودینگر 100% قطعی است. این یک ذره یا سیستمی از ذرات را با استفاده از تابع موجی توصیف می کند که از ماهیت موجی ذرات بهره می برد و الگوی موج مانندی را که مجموعه ای از ذرات تشکیل می دهد توضیح می دهد. این معادله دقیقاً پیش‌بینی می‌کند که در هر زمان معین چه اتفاقی برای تابع موج خواهد افتاد. از بسیاری جهات، این معادله قطعی تر از قوانین حرکت نیوتن است: منجر به سردرگمی نمی شود، مانند تکینگی (که در آن کمیت ها بی نهایت می شوند و بنابراین توصیف آنها غیرممکن می شود) یا هرج و مرج (جایی که حرکت غیرقابل پیش بینی می شود).

نکته مهم این است که جبر معادله شرودینگر، جبر تابع موج است و تابع موج برخلاف مکان و سرعت ذرات به طور مستقیم قابل مشاهده نیست. در عوض، تابع موج کمیت های قابل مشاهده و احتمال هر یک از گزینه های ممکن را تعیین می کند. این نظریه این سؤال را باز می گذارد که خود تابع موج چیست و آیا باید به معنای واقعی کلمه به عنوان یک موج واقعی در دنیای مادی ما در نظر گرفته شود. بر این اساس، سؤال زیر باز می ماند: آیا تصادفی بودن مشاهده شده یک ویژگی ذاتی جدایی ناپذیر طبیعت است یا فقط نمای آن است؟ کریستین واتریچ فیلسوف از دانشگاه ژنو در سوئیس می‌گوید: «ادعا می‌شود که مکانیک کوانتومی غیر قطعی است، اما این نتیجه‌گیری بسیار عجولانه است.

ورنر هایزنبرگ، یکی دیگر از پیشگامانی که پایه های نظریه کوانتومی را پایه ریزی کرد، تابع موج را به عنوان مه وجود بالقوه تصور کرد. اگر نمی توان به وضوح و بدون ابهام مشخص کرد که ذره کجاست، به این دلیل است که ذره واقعاً در جایی در یک مکان خاص یافت نمی شود. تنها زمانی که ذره‌ای را مشاهده می‌کنید، در جایی در فضا ظاهر می‌شود. تابع موج می تواند در یک منطقه بزرگ از فضا تار شود، اما در لحظه ای که مشاهده انجام می شود، فوراً فرو می ریزد، به یک نقطه باریک واقع در یک مکان خاص منقبض می شود و ناگهان ذره ای در آنجا ظاهر می شود. اما حتی وقتی به یک ذره نگاه می کنید - بنگ! - او ناگهان از رفتار جبرانه دست می کشد و به حالت نهایی می پرد، مانند کودکی که در بازی "صندلی های موسیقی" صندلی را می گیرد. (بازی به این صورت است که بچه ها در یک رقص گرد دور صندلی ها می رقصند که تعداد آنها یک نفر کمتر از تعداد بازیکنان است و سعی می کنند به محض قطع موسیقی روی صندلی خالی بنشینند).

هیچ قانونی برای کنترل این فروپاشی وجود ندارد. معادله ای برای او وجود ندارد. فقط اتفاق می افتد - همین! فروپاشی به عنصر کلیدی تفسیر کپنهاگ تبدیل شد: نمایی از مکانیک کوانتومی به نام شهری که بور و مؤسسه‌اش، همراه با هایزنبرگ، بیشتر کارهای اساسی را انجام دادند. (به طور متناقض، بور خود فروپاشی تابع موج را تشخیص نداد). مکتب کپنهاگ تصادفی بودن مشاهده شده فیزیک کوانتومی را مشخصه اسمی آن می داند که با توضیح بیشتر مخالفت می کند. اکثر فیزیکدانان با این موافق هستند، یکی از دلایل آن به اصطلاح اثر لنگر یا اثر لنگر است که از روانشناسی شناخته شده است: این توضیح کاملاً رضایت بخش است و ابتدا ظاهر شد. اگرچه انیشتین مخالف مکانیک کوانتومی نبود، اما قطعاً با تفسیر کپنهاگی آن مخالف بود. او از این ایده شروع کرد که عمل اندازه گیری باعث گسست در تکامل مداوم سیستم فیزیکی می شود و در این زمینه بود که شروع به ابراز مخالفت خود با پرتاب استخوان های الهی کرد. دقیقاً به همین مناسبت است که انیشتین در سال 1926 عزاداری می کند و نه به دلیل ادعای متافیزیکی فراگیر جبرگرایی به عنوان مطلقاً. شرط لازمهاوارد می گوید. او به ویژه درگیر بحث داغ در مورد اینکه آیا فروپاشی تابع موج منجر به ناپیوستگی می شود، شرکت می کند.

کثرت واقعیت.و با این حال - آیا جهان قطعی است یا خیر؟ پاسخ به این سوال نه تنها به قوانین اساسی حرکت، بلکه به سطحی که سیستم را در آن توصیف می کنیم نیز بستگی دارد. پنج اتم در گاز را در نظر بگیرید که به صورت قطعی حرکت می کنند (نمودار بالا). آنها سفر خود را تقریباً از همان مکان آغاز می کنند و به تدریج از هم جدا می شوند. با این حال، در سطح ماکروسکوپی (نمودار پایین)، اتم های منفرد قابل مشاهده نیستند، بلکه یک جریان آمورف در گاز هستند. پس از مدتی، گاز احتمالاً به طور تصادفی در چندین جریان توزیع می شود. این تصادفی بودن در سطح کلان محصول جانبی ناآگاهی ناظر از قوانین سطح خرد است، این یک ویژگی عینی طبیعت است که منعکس کننده روشی است که در آن اتم ها به هم می رسند. به همین ترتیب، انیشتین پیشنهاد کرد که ساختار درونی قطعی جهان منجر به ماهیت احتمالی قلمرو کوانتومی می شود.

انیشتین استدلال کرد که فروپاشی به سختی می تواند یک فرآیند واقعی باشد. این امر مستلزم اقدام آنی در فاصله است - مکانیزم مرموزی که به موجب آن، مثلاً، هر دو سمت چپ و راست تابع موج به یک نقطه کوچک فرو می‌روند، حتی زمانی که هیچ نیرویی با رفتار آنها مطابقت نداشته باشد. نه تنها انیشتین، بلکه هر فیزیکدانی در زمان خود معتقد بود که چنین فرآیندی غیرممکن است، باید سریعتر از سرعت نور رخ دهد، که در تضاد آشکار با نظریه نسبیت است. در واقع، مکانیک کوانتومی فقط تاس را در دستان شما قرار نمی دهد، بلکه به شما جفت تاس می دهد که همیشه روی یک لبه می افتند، حتی اگر یکی را در وگاس و دیگری را در وگا پرتاب کنید. برای انیشتین بدیهی به نظر می رسید که استخوان ها باید تقلب کنند راه پنهاناز قبل بر نتیجه پرتاب ها تأثیر می گذارد. اما مکتب کپنهاگ هرگونه چنین احتمالی را رد می‌کند و نشان می‌دهد که بند انگشت‌ها فوراً روی یکدیگر در وسعت وسیع فضا تأثیر می‌گذارند. علاوه بر این، انیشتین نگران قدرتی بود که کپنهاگی ها به عمل اندازه گیری نسبت می دادند. بالاخره بعد چیست؟ آیا این می تواند کاری باشد که فقط موجودات ذی شعور، یا حتی فقط اساتید صاحب مقام، می توانند انجام دهند؟ هایزنبرگ و دیگر نمایندگان مکتب کپنهاگ هرگز این مفهوم را مشخص نکردند. برخی از افراد پیشنهاد می‌کنند که در فرآیند مشاهده واقعیت پیرامون خود را در ذهن خود ایجاد کنیم - ایده‌ای که شاعرانه به نظر می‌رسد، شاید حتی بیش از حد شاعرانه. اینشتین همچنین اوج گستاخی کپنهاگ را در نظر گرفت تا ادعا کند که مکانیک کوانتومی کاملاً کامل است و این نظریه نهایی است که هرگز توسط نظریه دیگری جایگزین نخواهد شد. او همه نظریه ها، از جمله نظریات خود را، پل هایی برای رسیدن به چیزی حتی بزرگتر می دانست.

در حقیقت. هاوارد استدلال می‌کند که اگر انیشتین برای همه مشکلاتش که باید حل شوند، پاسخ‌هایی می‌داشت - اگر برای مثال، کسی بتواند به وضوح بیان کند که اندازه‌گیری چیست و چگونه ذرات می‌توانند بدون کنش دوربرد، هماهنگ باقی بمانند، خوشحال می‌شد که عدم قطعیت را پذیرفت. نشانه ای از اینکه انیشتین عدم تعین گرایی را یک مشکل ثانویه می دانست این است که او همان خواسته ها را مطرح کرد و جایگزین های جبرگرایانه مکتب کپنهاگ را رد کرد. مورخ دیگر، آرتور فاین از دانشگاه واشنگتن. معتقد است. هاوارد در مورد حساسیت انیشتین به عدم قطعیت مبالغه می‌کند، اما موافق است که قضاوت‌های او بر پایه‌ای محکم‌تر از آن چیزی است که چندین نسل از فیزیکدانان باور کرده‌اند، بر اساس تکه‌هایی از گفته‌های او درباره تاس.

افکار تصادفی

انیشتین معتقد بود که اگر طرف مکتب کپنهاگ را بکشید، متوجه خواهید شد که بی نظمی کوانتومی مانند سایر انواع بی نظمی در فیزیک است: محصول بینش عمیق تر است. انیشتین معتقد بود که رقص ذرات ریز غبار در یک پرتو نور، حرکت پیچیده مولکول‌ها را آشکار می‌کند، و گسیل فوتون‌ها یا فروپاشی رادیواکتیو هسته‌ها فرآیند مشابهی است. به نظر او، مکانیک کوانتومی نظریه‌ای ارزیابی‌کننده است که رفتار کلی اجزای سازنده طبیعت را بیان می‌کند، اما وضوح کافی برای ثبت جزئیات فردی را ندارد.

یک نظریه عمیق تر و کامل تر، حرکت را به طور کامل توضیح می دهد - بدون هیچ گونه پرش مرموز. از این منظر، تابع موج یک توصیف جمعی است، به عنوان بیانیه ای که نشان می دهد قالب صحیح، اگر به طور مکرر پرتاب شود، تقریباً به همان تعداد بار در هر یک از طرفین خود می افتد. فروپاشی تابع موج یک فرآیند فیزیکی نیست، بلکه کسب دانش است. اگر یک قالب شش وجهی بچرخانید و مثلاً یک چهار به دست آورید، دامنه انتخاب‌ها از یک تا شش کاهش می‌یابد، یا می‌توانید بگویید به مقدار واقعی چهار فرو می‌رود. یک دیو خداگونه که قادر به ردیابی جزئیات ساختار اتمی است که بر نتیجه افتادن استخوان تأثیر می گذارد (یعنی دقیقاً اندازه گیری چگونگی فشار دادن و چرخش دست شما به مکعب قبل از انداختن آن روی میز) هرگز در مورد فروپاشی صحبت نخواهد کرد.

شهود انیشتین با کار اولیه او در مورد اثر جمعی حرکت مولکولی، که در شاخه ای از فیزیک به نام مکانیک آماری مورد مطالعه قرار گرفت، تقویت شد، که در آن او نشان داد که فیزیک می تواند احتمالاتی باشد حتی زمانی که پدیده مبتنی بر واقعیت قطعی باشد. در سال 1935، انیشتین به فیلسوف کارل پوپر نوشت: «فکر نمی‌کنم که شما در این جمله که نمی‌توان بر اساس نظریه قطعی نتیجه‌گیری آماری کرد، درست نمی‌گویید. برای مثال، مکانیک آماری کلاسیک (نظریه گازها یا گازها) را در نظر بگیرید. نظریه حرکت براونی). احتمالات در درک اینشتین به اندازه تفسیر مکتب کپنهاگ واقعی بود. آنها که در قوانین اساسی حرکت تجلی می یابند، سایر ویژگی های جهان اطراف را منعکس می کنند، آنها فقط مصنوعات جهل بشر نیستند. انیشتین به عنوان مثال به پوپر پیشنهاد کرد که ذره ای را در نظر بگیرد که در یک دایره با سرعت ثابت حرکت می کند. احتمال یافتن یک ذره در یک بخش معین از قوس دایره ای نشان دهنده تقارن مسیر حرکت آن است. به همین ترتیب، احتمال فرود یک دای روی یک صورت معین یک ششم است، زیرا دارای شش وجه مساوی است. هاوارد می‌گوید: «او بهتر از بسیاری در آن زمان فهمید که یک موجود فیزیکی مهم در جزئیات احتمالات آماری-مکانیکی وجود دارد.

درس دیگر در مکانیک آماری این بود که کمیت هایی که مشاهده می کنیم لزوماً در سطح عمیق تری وجود ندارند. به عنوان مثال، یک گاز دارای دما است، اما صحبت در مورد دمای یک مولکول گاز منطقی نیست. بر اساس قیاس، انیشتین به این باور رسید که برای نشان دادن گسست رادیکال با مکانیک کوانتومی، یک نظریه زیر کوانتومی لازم است. او در سال 1936 نوشت: «شکی نیست که مکانیک کوانتومی عنصر زیبای حقیقت را به دست آورده است.<...>با این حال، من معتقد نیستم که مکانیک کوانتومی نقطه شروع در جستجوی این پایه باشد، همانطور که شما نمی توانید از ترمودینامیک (به ترتیب، مکانیک آماری) به پایه های مکانیک بروید. یک نظریه یکپارچه میدانی که در آن ذرات مشتقاتی از ساختارهایی هستند که به هیچ وجه شبیه ذرات نیستند. به طور خلاصه، این حکمت متعارف که انیشتین از تشخیص ماهیت احتمالی فیزیک کوانتوم امتناع کرد اشتباه است. او سعی کرد تصادفی بودن را توضیح دهد، نه اینکه آن را بسازد. به نظر می رسد که اصلا وجود ندارد.

سطح خود را به بهترین شکل بسازید

اگرچه پروژه انیشتین برای ایجاد یک نظریه یکپارچه با شکست مواجه شد، اصول اساسی رویکرد شهودی او به تصادفی بودن همچنان صادق است: عدم تعین گرایی می تواند از جبر گرایی ناشی شود. سطوح کوانتومی و زیرکوانتومی - یا هر جفت سطح دیگری در سلسله مراتب طبیعت - از انواع متفاوتی از ساختارها تشکیل شده اند، بنابراین از انواع مختلفی از قوانین تبعیت می کنند. قانون حاکم بر یک سطح به طور طبیعی ممکن است عنصر تصادفی را مجاز کند، حتی اگر قوانین سطح پایین به طور کامل تنظیم شده باشند. جرمی باترفیلد فیلسوف از دانشگاه کمبریج می‌گوید: «ریزفیزیک قطعی، ماکروفیزیک قطعی ایجاد نمی‌کند».

به تاس در سطح اتمی فکر کنید. یک مکعب می تواند از تعداد غیرقابل تصوری از پیکربندی اتم ها تشکیل شده باشد که با چشم غیر مسلح کاملاً از یکدیگر قابل تشخیص نیستند. اگر هر یک از این تنظیمات را در طول چرخش قالب ردیابی کنید، به یک نتیجه خاص منجر می شود - کاملاً قطعی. در برخی از تنظیمات، قالب با یک نقطه در لبه بالایی متوقف می شود، در برخی دیگر با دو نقطه. و غیره. بنابراین، یک حالت ماکروسکوپی واحد (اگر مکعب را بچرخانید) می‌تواند منجر به چندین نتیجه ماکروسکوپی شود (یکی از شش وجه در بالا خواهد بود). لیست، که با مارکوس پیواتو، ریاضیدان دانشگاه سرگی-پونتوا در فرانسه، در حال مطالعه تلفیق سطح است، می‌گوید: «اگر تاس را در سطح کلان توصیف کنیم، می‌توانیم آن را به عنوان یک سیستم تصادفی ببینیم که امکان تصادفی عینی را فراهم می‌کند.

اگرچه لایه بالاتر بر روی لایه پایینی ساخته می شود، اما مستقل است. برای توصیف تاس، باید در سطحی کار کنید که تاس ها وجود دارند، و وقتی این کار را انجام می دهید، نمی توانید از اتم ها و دینامیک آنها غافل شوید. اگر از یک سطح با سطح دیگری عبور کنید، با جایگزین کردن یک دسته تقلب می کنید: مانند این است که در مورد وابستگی سیاسی با ساندویچ ماهی قزل آلا بپرسید (برای استفاده از مثال فیلسوف دیوید آلبرت از دانشگاه کلمبیا). لیست می‌گوید: «وقتی پدیده‌ای داریم که می‌توان آن را در سطوح مختلف توصیف کرد، باید از نظر مفهومی بسیار مراقب باشیم که سطوح را با هم مخلوط نکنیم. به همین دلیل، نتیجه تاس انداختن فقط تصادفی به نظر نمی رسد. این واقعا تصادفی است. دیو خداگونه ممکن است به خود ببالد که دقیقاً می داند چه اتفاقی خواهد افتاد، اما او فقط می داند که برای اتم ها چه خواهد آمد. او حتی شک نمی کند که تاس چیست، زیرا اطلاعات سطح بالاتری است. دیو هرگز جنگل را نمی بیند، فقط درختان را می بیند. او شبیه به شخصیت اصلیداستان نویسنده آرژانتینی خورخه لوئیس بورخس "Funes به یاد ماندنی" - مردی که همه چیز را به یاد می آورد، اما چیزی را درک نمی کند. بورخس می نویسد: اندیشیدن به معنای فراموش کردن تفاوت، تعمیم، انتزاع است. به دیو، برای اینکه بداند تاس به کدام طرف می افتد، باید توضیح دهد که به دنبال چه چیزی باشد. "شیطان تنها در صورتی قادر به درک آنچه در سطح بالا اتفاق می افتد خواهد بود توصیف همراه با جزئیاتلیست می‌گوید که چگونه مرز بین سطوح را تعیین می‌کنیم. در واقع، پس از این، شیطان احتمالاً از اینکه ما فانی هستیم حسادت می‌کند.

منطق سطح نیز در جهت مخالف عمل می کند. میکروفیزیک غیر قطعی می تواند به ماکروفیزیک قطعی منجر شود. بیس بال را می توان از ذراتی ساخت که رفتار آشفته ای از خود نشان می دهند، اما پرواز آن کاملاً قابل پیش بینی است. تصادفی کوانتومی، میانگین گیری ناپدید می شود. به همین ترتیب، گازها از مولکول‌هایی تشکیل شده‌اند که حرکات بسیار پیچیده و عملا غیر قطعی انجام می‌دهند، اما دما و سایر خواص آن‌ها از قوانین ساده‌ای مانند دو و دو پیروی می‌کنند. به طور گمانه‌زنی‌تر، برخی از فیزیکدانان، مانند رابرت لافلین از دانشگاه استنفورد، پیشنهاد می‌کنند که سطح پایین کاملاً بی‌ربط است. بلوک های سازنده می توانند هر چیزی باشند، و همچنان رفتار جمعی آنها یکسان خواهد بود. به هر حال، سیستم‌ها، حتی سیستم‌هایی که متفاوت از مولکول‌های آب، ستارگان در کهکشان، و اتومبیل‌های موجود در بزرگراه هستند، از همان قوانین جریان سیال تبعیت می‌کنند.

بلاخره رایگان

وقتی به سطوح فکر می کنید، این نگرانی که احتمالاً عدم تعین گرایی منادی پایان علم باشد از بین می رود. در اطراف ما هیچ دیوار بلندی وجود ندارد که قطعه قانونمند ما از کیهان را از موضوع هرج و مرج و بقیه آن نامفهوم محافظت کند. در واقع، جهان است کیک لایه لایهاز جبر و عدم قطعیت. به عنوان مثال، آب و هوای زمین توسط قوانین حرکتی قطعی نیوتن کنترل می شود، اما پیش بینی آب و هوا احتمالی است و در عین حال، روندهای آب و هوایی فصلی و بلندمدت دوباره قابل پیش بینی است. زیست‌شناسی نیز از فیزیک قطعی ناشی می‌شود، اما موجودات و اکوسیستم‌ها به روش‌های توصیفی دیگری مانند تکامل داروینی نیاز دارند. دانیل دنت، فیلسوف دانشگاه تافتس می گوید: «جبرگرایی همه چیز را توضیح نمی دهد.

مردم در داخل این شیرینی پف دار پراکنده شده اند. ما یک حس قدرتمند اراده آزاد داریم. ما اغلب تصمیمات غیرقابل پیش بینی و عمدتاً حیاتی می گیریم، متوجه می شویم که می توانستیم طور دیگری انجام دهیم (و اغلب از انجام ندادن آن پشیمان می شویم). برای هزاران سال، به اصطلاح آزادی خواهان، حامیان دکترین فلسفی اراده آزاد (با روند سیاسی اشتباه نشود!)، استدلال می کردند که آزادی انسان مستلزم آزادی یک ذره است. چیزی باید روند قطعی وقایع را از بین ببرد، به عنوان مثال، تصادفی کوانتومی یا "انحرافات"، که، همانطور که برخی از فیلسوفان باستان معتقد بودند، اتم ها می توانند در طول حرکت خود تجربه کنند (مفهوم انحراف غیرقابل پیش بینی تصادفی یک اتم از مسیر اولیه اش معرفی شد. توسط لوکرتیوس وارد فلسفه باستان برای محافظت از دکترین اتمی اپیکور) ...

مشکل اصلی این خط استدلال این است که ذرات را آزاد می کند، اما ما را برده رها می کند. فرقی نمی کند تصمیم شما در طول انفجار بزرگ یا یک ذره کوچک از پیش تعیین شده باشد، باز هم تصمیم شما نیست. برای آزاد بودن، نه در سطح ذرات، بلکه در سطح انسانی به عدم تعین گرایی نیاز داریم. و این ممکن است زیرا سطح انسانی و سطح ذرات مستقل از یکدیگر هستند. حتی اگر هر کاری که انجام می‌دهید را بتوان در همان گام‌های اولیه جستجو کرد، شما استاد اعمال خود هستید، زیرا نه شما و نه اعمال شما در سطح ماده وجود دارند، بلکه فقط در سطح کلان آگاهی وجود دارند. باترفیلد می‌گوید: «این کلان تعین‌گرایی مبتنی بر خرد احتمالاً اراده آزاد را تضمین می‌کند. کلان جبرگرایی دلیل تصمیمات شما نیست. این تصمیم شماست.

احتمالاً برخی مخالفت می کنند و به شما می گویند که شما هنوز یک عروسک هستید و قوانین طبیعت نقش عروسک گردان را دارند و آزادی شما توهمی بیش نیست. اما خود کلمه "توهم" در خاطره سراب ها در صحرا و زنانی که نیمه اره شده اند را تداعی می کند: هیچ یک از اینها در واقعیت وجود ندارد. کلان جبرگرایی اصلاً یکسان نیست. این کاملا واقعی است، فقط اساسی نیست. می توان آن را با زندگی مقایسه کرد. اتم های منفرد ماده ای کاملا بی جان هستند، اما جرم عظیم آنها می تواند زندگی و تنفس کند. لیست می‌گوید: «هر چیزی که به عوامل، حالت‌های قصد، تصمیم‌گیری‌ها و انتخاب‌های آن‌ها مربوط می‌شود – هیچ یک از این موجودات هیچ ربطی به ابزار مفهومی فیزیک بنیادی ندارد، اما این بدان معنا نیست که این پدیده‌ها واقعی نیستند». فقط به این معنی است که همه آنها پدیده های سطح بسیار بالاتری هستند."

اگر نگوییم جهل کامل، یک اشتباه مطلق است که تصمیمات انسانی را با مکانیک حرکت اتم ها در سر خود توصیف کنید. در عوض، لازم است از تمام مفاهیم روانشناسی استفاده شود: میل، فرصت، قصد. چرا آب خوردم نه شراب؟ چون دلم می خواست. خواسته های من اعمال من را توضیح می دهد. در اغلب موارد وقتی سوال «چرا؟» را مطرح می کنیم، به دنبال انگیزه فرد هستیم و نه پیشینه فیزیکی او. تبیین‌های روان‌شناختی نوع خاصی از عدم تعین‌گرایی را که لیست از آن صحبت می‌کند اجازه می‌دهد. به عنوان مثال، نظریه پردازان بازی با طرح طیف وسیعی از گزینه ها و توضیح اینکه اگر منطقی عمل کنید، تصمیم گیری انسانی را مدل سازی می کنند. آزادی شما در انتخاب یک گزینه خاص، باعث انتخاب شما می‌شود، حتی اگر هرگز به آن گزینه رضایت ندهید.

البته، استدلال لیست به طور کامل اراده آزاد را توضیح نمی دهد. سلسله مراتب سطوح فضایی را برای اراده آزاد باز می کند، روانشناسی را از فیزیک جدا می کند و به ما فرصت انجام کارهای غیرمنتظره را می دهد. اما ما باید از این فرصت استفاده کنیم. به عنوان مثال، اگر همه تصمیم‌ها را با پرتاب کردن یک سکه می‌گرفتیم، این امر همچنان کلان‌تعین‌طلبی تلقی می‌شد، اما به سختی می‌توان آن را به‌عنوان اراده آزاد به معنای معنادار توصیف کرد. از سوی دیگر، تصمیم گیری توسط برخی افراد می تواند آنقدر طاقت فرسا باشد که نمی توان گفت آزادانه عمل می کنند.

این رویکرد به مسئله جبرگرایی به نظریه کوانتومی که چند سال پس از مرگ انیشتین در سال 1955 ارائه شد، معنا و تفسیر می‌دهد. به آن تفسیر جهان‌های متعدد یا تفسیر اورت می‌گویند. طرفداران آن استدلال می‌کنند که مکانیک کوانتومی مجموعه‌ای از جهان‌های موازی را توصیف می‌کند - چندجهانی که به طور کلی رفتار جبرگرایانه دارد، اما به نظر ما غیر قطعی می‌رسد، زیرا ما فقط می‌توانیم یک جهان واحد را ببینیم. به عنوان مثال، یک اتم می تواند یک فوتون را به سمت راست یا چپ ساطع کند. نظریه کوانتومی نتیجه این رویداد را باز می گذارد. بر اساس تفسیر جهان های متعدد، چنین تصویری مشاهده می شود زیرا دقیقاً همین وضعیت در تعداد نامتناهی از جهان های موازی رخ می دهد: در برخی از آنها فوتون به طور قطعی به سمت چپ و در بقیه به سمت راست پرواز می کند. بدون اینکه بتوانیم دقیقاً بگوییم در کدام یک از جهان ها هستیم، نمی توانیم پیش بینی کنیم که چه اتفاقی خواهد افتاد، بنابراین این وضعیت از درون غیرقابل توضیح به نظر می رسد. مکس تگمارک، کیهان شناس MIT، یکی از طرفداران مشهور این دیدگاه، توضیح می دهد: "در فضا تصادفی واقعی وجود ندارد، اما رویدادها می توانند به صورت تصادفی در چشم ناظر ظاهر شوند."

مثل این است که بگوییم یک قالب یا مغز را می توان از هر یک از بی شمار پیکربندی اتمی ساخت. این پیکربندی ممکن است قطعی باشد، اما از آنجایی که نمی‌توانیم بدانیم کدام یک با مرگ یا مغز ما مطابقت دارد، مجبور هستیم که نتیجه را غیر قطعی فرض کنیم. بنابراین، جهان های موازی ایده عجیبی نیستند که در یک تخیل بیمار شناور باشند. بدن و مغز ما چندجهانی کوچک هستند، این تنوع امکانات است که آزادی را برای ما فراهم می کند.

نوشته شده توسط طراح تایلر سیگمن در Gamasutra. من با علاقه آن را مقاله "موی در سوراخ های بینی اورک" می نامم، اما این مقاله در ارائه اصول اولیه احتمالات در بازی ها بسیار خوب عمل می کند.

موضوع این هفته

قبل از امروزتقریباً همه چیزهایی که ما در مورد آن صحبت کردیم قطعی بود، و هفته گذشته ما نگاهی دقیق به مکانیک انتقالی انداختیم و آن را با جزئیات تا آنجا که می توانم توضیح دهم مرتب کردیم. اما تاکنون به جنبه عظیم بسیاری از بازی ها یعنی جنبه های غیر قطعی و به عبارتی تصادفی بودن توجه نکرده ایم. درک ماهیت تصادفی بودن برای طراحان بازی بسیار مهم است زیرا ما سیستم هایی ایجاد می کنیم که بر تجربه بازیکن در یک بازی خاص تأثیر می گذارد، بنابراین باید بدانیم این سیستم ها چگونه کار می کنند. اگر تصادفی در سیستم وجود دارد، باید درک کنید طبیعتاین تصادفی بودن و نحوه تغییر آن برای به دست آوردن نتایج مورد نیاز.

تاس

بیایید با یک چیز ساده شروع کنیم: انداختن تاس. وقتی اکثر مردم به تاس فکر می کنند، به یک قالب شش طرفه معروف به d6 فکر می کنند. اما اکثر گیمرها تاس های دیگر را دیده اند: چهار وجهی (d4)، هشت وجهی (d8)، دوازده (d12)، بیست (d20) ... و اگر شما واقعیشما ممکن است استخوان های 30 یا 100 وجهی داشته باشید. اگر با این اصطلاح آشنایی ندارید، «د» به معنای یک قالب است و عدد بعد از آن، چند وجه دارد. اگر جلو"D" مخفف یک عدد است، یعنی عددتاس هنگام پرتاب مثلا در Monopoly شما 2d6 رول می کنید.

بنابراین، در این مورد، عبارت "تاس" یک نام گذاری متعارف است. بسیاری از مولدهای اعداد تصادفی دیگر وجود دارند که به شکل یک توده پلاستیکی نیستند، اما همان عملکرد تولید یک عدد تصادفی از 1 تا n را انجام می دهند. یک سکه معمولی را می توان به عنوان دو وجهی d2 نیز در نظر گرفت. دو طرح از استخوان هفت وجهی دیدم: یکی از آنها شبیه بود تاسو دومی بیشتر شبیه یک مداد چوبی هفت وجهی بود. دریدل چهار وجهی (همچنین به عنوان تیتوتوم شناخته می شود) مشابه استخوان چهار وجهی است. زمین بازی با یک فلش چرخان در بازی "Chutes & Ladders" که نتیجه آن می تواند از 1 تا 6 باشد، مربوط به یک تاس شش گوش است. یک مولد اعداد تصادفی در رایانه می تواند هر عددی را از 1 تا 19 ایجاد کند اگر طراح چنین دستوری را بخواهد ، اگرچه رایانه تاس 19 وجهی ندارد (به طور کلی ، من با جزئیات بیشتر در مورد احتمال بدست آوردن اعداد صحبت خواهم کرد. روی کامپیوتر در بعدهفته). در حالی که همه این موارد متفاوت به نظر می رسند، اما در واقع یکسان هستند: شما شانس یکسانی برای گرفتن یکی از چندین نتیجه دارید.

تاس ها خواص جالبی دارند که باید در مورد آنها بدانیم. اولاً، احتمال افتادن هر صورت یکسان است (من فرض می‌کنم که شما قالب درست را می‌چرخانید، نه شکل هندسی نامنظم). بنابراین، اگر می خواهید بدانید منظور داشتنپرتاب کنید (که در بین کسانی که به مبحث احتمالات علاقه دارند به عنوان "انتظار ریاضی" نیز شناخته می شود)، مقادیر تمام یال ها را جمع کنید و این مجموع را بر تقسیم کنید. عددچهره ها. میانگین چرخش یک تاس شش گوش استاندارد 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 است، با تقسیم بر تعداد لبه ها (6) به میانگین 21/6 = 3.5 می رسد. این یک مورد خاص است زیرا ما فرض می کنیم که همه نتایج به یک اندازه محتمل هستند.

اگر تاس خاصی داشته باشید چطور؟ به عنوان مثال، من یک بازی با یک تاس شش ضلعی با برچسب های مخصوص روی لبه ها دیدم: 1، 1، 1، 2، 2، 3، بنابراین مانند یک تاس مثلثی عجیب رفتار می کند که شانس بیشتری برای گرفتن عدد 1 دارد تا 2. و 2 از 3. میانگین ارزش رول برای این قالب چقدر است؟ بنابراین، 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10، تقسیم بر 6، برابر با 5/3 یا حدود 1.66 است. بنابراین اگر چنین قالب خاصی دارید و بازیکنان سه تاس می اندازند و سپس نتایج را جمع می کنند، می دانید که مجموع تقریبی آنها حدود 5 خواهد بود و می توانید بر اساس این فرض بازی را متعادل کنید.

تاس و استقلال

همانطور که گفتم، ما از این فرض پیش می‌رویم که احتمال افتادن هر چهره به یک اندازه است. مهم نیست چند تاس می اندازید. هر انداختن تاس هر چه، این بدان معنی است که پرتاب های قبلی بر نتایج بعدی تأثیر نمی گذارد. با آزمایش های کافی، باید اطلاعیک "سری" از اعداد، مانند خارج شدن از مقادیر بیشتر یا کوچکتر، یا ویژگی های دیگر، و بعداً در مورد آن صحبت خواهیم کرد، اما این به این معنی نیست که تاس ها "گرم" یا "سرد" هستند. اگر یک قالب استاندارد شش وجهی بچرخانید و عدد 6 دو بار متوالی بالا بیاید، احتمال اینکه رول بعدی به عدد 6 منجر شود نیز 1/6 است. با این واقعیت که مکعب "گرم شده" است، احتمال افزایش نمی یابد. احتمال کاهش نمی یابد، زیرا عدد 6 قبلاً دو بار متوالی حذف شده است، به این معنی که اکنون چهره دیگری بیرون خواهد افتاد. (البته، اگر تاس را بیست بار بیاندازید و هر بار که عدد 6 بالا بیاید، احتمال اینکه دفعه بیست و یکم عدد 6 را بگیرد بسیار زیاد است... زیرا شاید این بدان معناست که شما تاس اشتباهی دارید!) اگر تاس درستی داشته باشید، بدون توجه به نتایج پرتاب های دیگر، احتمال افتادن از هر یک از چهره ها یکسان است. شما همچنین می توانید تصور کنید که هر بار که قالب را تعویض می کنیم، بنابراین اگر عدد 6 دو بار پشت سر هم ظاهر شد، قالب "گرم" را از بازی حذف کنید و آن را با یک قالب شش وجهی جدید جایگزین کنید. من عذرخواهی می کنم اگر هر یک از شما قبلاً در این مورد می دانستید، اما لازم بود قبل از ادامه این موضوع توضیح دهم.

چگونه تاس ها را کم و بیش تصادفی کنیم

بیایید در مورد چگونگی به دست آوردن نتایج متفاوت در تاس های مختلف صحبت کنیم. اگر تاس را فقط یک یا چند بار بیاندازید، اگر تاس ها لبه های بیشتری داشته باشند، بازی تصادفی تر خواهد بود. هر چه تاس های بیشتری بیاندازید یا تاس های بیشتری بیاندازید، نتایج به میانگین نزدیک تر می شوند. مثلا اگر 1d6 + 4 بریزید (یعنی یک تاس هگز استاندارد یک بار و 4 به نتیجه اضافه کنید) میانگین می شود 5 به 10. اگر 5d2 بیاندازید میانگین هم 5 به 10 می شود. با پرتاب یک تاس شش وجهی، احتمال بدست آوردن اعداد 5، 8 یا 10 یکسان است. نتیجه پرتاب 5d2 عمدتاً اعداد 7 و 8 خواهد بود و کمتر مقادیر دیگر. همان سری، حتی مقدار میانگین یکسان (7.5 در هر دو مورد)، اما ماهیت تصادفی متفاوت است.

یک دقیقه صبر کن. فقط نگفتم تاس ها گرم و سرد نمی شوند؟ حالا میگم اگه زیاد تاس بزنی به میانگین نزدیک میشه؟ چرا؟

بگذار توضیح بدهم. اگر پرتاب کنید یکیتاس، احتمال افتادن از هر یک از صورت ها یکسان است. این بدان معنی است که اگر تاس های زیادی بیندازید، هر صورت تقریباً به همان تعداد بار در طول زمان می افتد. هرچه تاس بیشتری بیاندازید، نتیجه انباشته بیشتر به میانگین نزدیک می شود. دلیلش این نیست که عدد حذف شده عدد دیگری را می سازد که هنوز حذف نشده است. اما چون یک سری کوچک 6 (یا 20 یا یک عدد دیگر) اگر ده هزار بار دیگر تاس بیندازید در نهایت اهمیت زیادی نخواهد داشت و عمدتاً میانگین از بین می رود ... شاید اکنون چند عدد داشته باشید. با مقدار زیاد، اما شاید بعداً چند عدد با مقدار کم و به مرور زمان به مقدار متوسط ​​نزدیک شوند. نه به این دلیل که پرتاب های قبلی روی تاس ها تأثیر می گذارد (به طور جدی، تاس از آن ساخته شده است پلاستیک، او مغزی ندارد که فکر کند: "اوه، مدت زیادی است که ریخته نشده است")، اما به این دلیل است که معمولاً با تعداد زیادی تاس ریختن این اتفاق می افتد. یک سری کوچک از اعداد تکرار شونده در تعداد زیادی از نتایج تقریباً نامرئی خواهند بود.

بنابراین، انجام محاسبات برای یک پرتاب تصادفی تاس تقریباً ساده است، حداقل تا آنجا که به محاسبه میانگین ارزش تاس مربوط می شود. همچنین روش‌هایی برای محاسبه «تصادفی بودن» چیزی وجود دارد، روشی برای گفتن اینکه نتایج چرخش 1d6 + 4 «تصادفی‌تر» از 5d2 خواهد بود، برای 5d2 توزیع نتایج یکنواخت‌تر خواهد بود، معمولاً برای شما انحراف معیار را محاسبه کنید، و هر چه مقدار بیشتر باشد، نتایج تصادفی‌تر خواهند بود، اما این به محاسبات بیشتری از آنچه امروز می‌خواهم بگویم نیاز دارد (این موضوع را بعداً توضیح خواهم داد). تنها چیزی که از شما می خواهم بدانید این است که به عنوان یک قاعده کلی، هرچه تاس کمتری ریخته شود، تصادفی بودن بیشتر است. و یک مورد دیگر در مورد این موضوع: هر چه تعداد وجه های یک تاس بیشتر باشد، تصادفی بودن بیشتر است، زیرا گزینه های بیشتری دارید.

نحوه محاسبه احتمال با شمارش

ممکن است از خود بپرسید: چگونه می توانیم احتمال دقیق به دست آوردن یک نتیجه خاص را محاسبه کنیم؟ این در واقع برای بسیاری از بازی‌ها بسیار مهم است، زیرا اگر تاس بیندازید، احتمالاً در ابتدا نتیجه مطلوبی حاصل می‌شود. پاسخ این است: ما باید دو مقدار را بشماریم. ابتدا، حداکثر تعداد نتایج را روی یک تاس بشمارید (بدون توجه به نتیجه). سپس تعداد نتایج مطلوب را بشمارید. با تقسیم مقدار دوم بر مقدار اول، احتمال مورد نظر خود را بدست می آورید. برای بدست آوردن درصد، نتیجه را در 100 ضرب کنید.

مثال ها:

در اینجا یک مثال بسیار ساده است. شما می خواهید یک عدد 4 یا بالاتر بالا بیاید و یک بار تاس هگزا را بیندازید. حداکثر تعداد پیامدها 6 (1، 2، 3، 4، 5، 6) است. از این میان، 3 پیامد (4، 5، 6) مطلوب است. بنابراین، برای محاسبه احتمال، 3 را بر 6 تقسیم کنید و 0.5 یا 50٪ بدست آورید.

در اینجا یک مثال است که کمی پیچیده تر است. شما می خواهید یک عدد زوج را روی رول 2d6 بچرخانید. حداکثر تعداد پیامدها 36 است (6 برای هر قالب، و از آنجایی که یک قالب بر دیگری تأثیر نمی گذارد، 6 نتیجه را در 6 ضرب می کنیم تا به 36 برسد). مشکل این نوع سوال این است که دوبار شمارش آسان است. برای مثال، در واقع دو گزینه برای نتیجه 3 در رول 2d6 وجود دارد: 1 + 2 و 2 + 1. آنها یکسان به نظر می رسند، اما تفاوت این است که کدام عدد در قالب اول و کدام عدد در قالب دوم نمایش داده می شود. همچنین می توانید تصور کنید که تاس ها رنگ های مختلفی دارند، به عنوان مثال، در این مورد، یک تاس قرمز و دیگری آبی است. سپس تعداد گزینه های یک عدد زوج را بشمارید: 2 (1 + 1)، 4 (1 + 3)، 4 (2 + 2)، 4 (3 + 1)، 6 (1 + 5)، 6 (2 + 4)، 6 (3 + 3)، 6 (4 + 2)، 6 (5 + 1)، 8 (2 + 6)، 8 (3 + 5)، 8 (4 + 4)، 8 (5 + 3) 8 (6 + 2)، 10 (4 + 6)، 10 (5 + 5)، 10 (6 + 4)، 12 (6 + 6). به نظر می رسد که 18 گزینه برای یک نتیجه مطلوب از 36 وجود دارد، همانطور که در مورد قبلی، احتمال 0.5 یا 50٪ خواهد بود. شاید غیرمنتظره، اما بسیار دقیق.

شبیه سازی مونت کارلو

اگر تعداد تاس های زیادی برای شمردن داشته باشید چه؟ به عنوان مثال، می خواهید بدانید که احتمال اینکه مقدار 15 یا بیشتر روی یک رول 8d6 رول شود چقدر است. برای هشت تاس، تعداد زیادی نتایج فردی متفاوت وجود دارد و شمارش دستی آنها زمان بسیار زیادی را می طلبد. حتی اگر بتوانیم راه‌حل خوبی برای گروه‌بندی سری‌های مختلف تاس‌های ریخته شده پیدا کنیم، باز هم شمارش آن زمان بسیار طولانی خواهد داشت. در این مورد، بیشترین به روشی سادهمحاسبه احتمال به صورت دستی انجام نمی شود، بلکه از رایانه استفاده می شود. دو روش برای محاسبه احتمالات در رایانه وجود دارد.

روش اول را می توان برای دریافت پاسخ دقیق استفاده کرد، اما شامل کمی برنامه نویسی یا اسکریپت است. اساساً رایانه به هر فرصتی نگاه می کند، تعداد کل تکرارها و تعداد تکرارهایی را که با نتیجه مورد نظر مطابقت دارد تخمین زده و شمارش می کند و سپس پاسخ هایی را ارائه می دهد. کد شما ممکن است چیزی شبیه به این باشد:

int wincount = 0، totalcount = 0;

برای (int i = 1; i<=6; i++) {

برای (int j = 1; j<=6; j++) {

برای (int k = 1; k<=6; k++) {

... // حلقه های بیشتری را در اینجا وارد کنید

اگر (i + j + k +…> = 15) (

احتمال شناور = wincount / totalcount;

اگر در برنامه نویسی مسلط نیستید و فقط به یک پاسخ غیر دقیق، اما تقریبی نیاز دارید، می توانید این وضعیت را در اکسل شبیه سازی کنید، جایی که 8d6 را چندین هزار بار پرتاب می کنید و پاسخ می گیرید. برای فرستادن 1d6 در اکسل از فرمول زیر استفاده کنید:

طبقه (رند () * 6) +1

یک نام برای موقعیتی وجود دارد که شما پاسخ آن را نمی دانید و فقط چندین بار آن را امتحان کنید - شبیه سازی مونت کارلوو این یک راه حل عالی برای بازگشت به هنگام تلاش برای محاسبه احتمال است و بسیار دشوار است. نکته مهم این است که در این مورد، ما نیازی به درک نحوه عملکرد محاسبات ریاضی نداریم و می دانیم که پاسخ "بسیار خوب" خواهد بود، زیرا همانطور که قبلاً می دانیم، هر چه تعداد پرتاب ها بیشتر باشد، بیشتر می شود. نتیجه به مقدار متوسط ​​نزدیک می شود.

نحوه ترکیب تست های مستقل

اگر در مورد چندین چالش تکراری اما مستقل بپرسید، نتیجه یک رول بر نتیجه رول های دیگر تأثیر نمی گذارد. توضیح ساده تری دیگر برای این وضعیت وجود دارد.

چگونه بین چیزی وابسته و مستقل تشخیص دهیم؟ اساساً، اگر بتوانید هر پرتاب تاس (یا سری پرتاب) را به عنوان یک رویداد جداگانه تشخیص دهید، آنگاه مستقل است. برای مثال، اگر بخواهیم در مجموع 15 عدد در 8d6 ریخته شود، این مورد را نمی توان به چند تاس مستقل تقسیم کرد. از آنجایی که برای نتیجه، مجموع مقادیر تمام تاس‌ها را می‌شمارید، نتیجه‌ای که روی یک تاس افتاد، روی نتایجی که باید روی تاس دیگر بیفتد تأثیر می‌گذارد، زیرا تنها با اضافه کردن همه مقادیر به نتیجه دلخواه می‌رسید. .

در اینجا نمونه ای از پرتاب های مستقل آورده شده است: شما در حال بازی با تاس هستید و چندین بار تاس هگزا پرتاب می کنید. برای ماندن در بازی، اولین رول شما باید 2 یا بیشتر باشد. برای رول دوم، 3 عدد یا بالاتر. سومی به 4 یا بالاتر نیاز دارد، چهارمی به 5 یا بالاتر نیاز دارد، و پنجمی به 6 نیاز دارد. اگر هر پنج رول موفقیت آمیز باشد، برنده می شوید. در این مورد، همه رول ها مستقل هستند. بله، اگر یک پرتاب ناموفق باشد، بر نتیجه کل بازی تأثیر می گذارد، اما یک پرتاب روی پرتاب دیگر تأثیری ندارد. به عنوان مثال، اگر تاس دوم شما بسیار موفقیت آمیز باشد، این به هیچ وجه بر احتمال موفقیت آمیز بودن تاس های بعدی تأثیر نمی گذارد. بنابراین، می توانیم احتمال ریختن هر تاس را جداگانه در نظر بگیریم.

اگر احتمالات جداگانه و مستقلی دارید و می خواهید بدانید که احتمال آن چقدر است همهوقایع می آیند، شما احتمالات فردی را تعیین می کنید و آنها را ضرب می کنید.راه دیگر: اگر از ربط "و" برای توصیف چندین شرط استفاده کنید (مثلاً احتمال وقوع یک رویداد تصادفی چقدر است. ویک رویداد تصادفی مستقل دیگر؟)، احتمالات فردی را بشمارید و آنها را ضرب کنید.

مهم نیست که شما چه فکر می کنید هرگزاحتمالات مستقل را جمع نکنید این یک اشتباه رایج است. برای درک اینکه چرا این اشتباه است، موقعیتی را تصور کنید که در آن یک سکه 50/50 را پرتاب می کنید و می خواهید بدانید که احتمال این که دو بار پشت سر هم به سر شما بخورد چقدر است. احتمال برخورد هر طرف 50 درصد است، بنابراین اگر این دو احتمال را اضافه کنید، 100 درصد شانس ضربه زدن به سر دارید، اما می دانیم که این درست نیست، زیرا می تواند دو بار پشت سر هم دم داشته باشد. اگر این دو احتمال را به جای آن ضرب کنید، 50% * 50% = 25% به دست می آید که پاسخ صحیح برای محاسبه احتمال دو بار ضربه زدن متوالی به سر است.

مثال

بیایید با یک تاس شش ضلعی به بازی برگردیم، جایی که باید ابتدا عددی بالاتر از 2 و سپس بالاتر از 3 و به همین ترتیب بدست آورید. تا 6. شانس اینکه در یک سری 5 پرتاب معین، همه نتایج مطلوب باشد چقدر است؟

همانطور که در بالا گفته شد، اینها تست های مستقلی هستند و بنابراین ما احتمالات را برای هر رول جداگانه محاسبه می کنیم و سپس آنها را ضرب می کنیم. احتمال اینکه نتیجه رول اول مطلوب باشد 5/6 است. دومی 4/6 است. سومی 3/6 است. چهارم - 2/6، پنجم - 1/6. با ضرب کردن همه این نتایج، حدود 1.5 درصد به دست می آید... بنابراین، برنده شدن در این بازی بسیار نادر است، بنابراین اگر این عنصر را به بازی خود اضافه کنید، به یک جکپات نسبتاً بزرگ نیاز خواهید داشت.

نفی

در اینجا یک نکته مفید دیگر وجود دارد: گاهی اوقات محاسبه احتمال وقوع یک رویداد دشوار است، اما تعیین احتمال وقوع یک رویداد آسان تر است. نخواهد آمد.

مثلا فرض کنید بازی دیگری داریم و شما 6d6 رول می کنید و اگر حد اقل یک بار 6 رول می شود، شما برنده می شوید. احتمال برنده شدن چقدر است؟

در این مورد، گزینه های زیادی برای محاسبه وجود دارد. این امکان وجود دارد که یک عدد 6 حذف شود، یعنی. روی یکی از تاس ها عدد 6 می افتد و روی اعداد دیگر از 1 تا 5، و 6 گزینه وجود دارد که کدام یک از تاس ها عدد 6 خواهد بود. سپس می توانید عدد 6 را روی دو تاس بگیرید، یا در سه، یا حتی بیشتر، و هر بار باید یک شمارش جداگانه انجام دهیم، بنابراین به راحتی در این مورد گیج می‌شویم.

اما راه دیگری برای حل این مشکل وجود دارد، بیایید از طرف دیگر به آن نگاه کنیم. شما از دست دادناگر نه روی یکیعدد 6 از تاس نمی افتد در این صورت 6 تست مستقل داریم که احتمال هر کدام 5/6 است (هر عددی غیر از 6 را می توان روی تاس انداخت). آنها را ضرب کنید و حدود 33 درصد بدست می آورید. بنابراین، احتمال باخت 1 در 3 است.

بنابراین، احتمال برنده شدن 67 درصد (یا 2 به 3) است.

از این مثال مشخص است که اگر احتمال رخ ندادن رویداد را در نظر بگیرید، باید نتیجه را از 100٪ کم کنید.اگر احتمال برنده شدن 67 درصد باشد، پس احتمال آن از دست دادن — 100% منهای 67 درصد یا 33 درصد. و بالعکس. اگر محاسبه یک احتمال دشوار است، اما محاسبه عکس آن آسان است، عکس آن را محاسبه کنید و سپس از 100٪ کم کنید.

ترکیب شرایط برای یک آزمون مستقل

همین بالا گفتم که هرگز احتمالات را در تست های مستقل خلاصه نکنید. آیا مواردی وجود دارد که می توانمجموع احتمالات؟ - بله، در یک موقعیت خاص.

اگر می‌خواهید احتمال را برای چندین نتیجه مطلوب نامرتبط از یک آزمایش محاسبه کنید، احتمالات هر نتیجه مطلوب را اضافه کنید. به عنوان مثال، احتمال به دست آوردن اعداد 4، 5 یا 6 در 1d6 است مجموعاحتمال به دست آوردن عدد 4، احتمال به دست آوردن عدد 5 و احتمال به دست آوردن عدد 6. همچنین می توانید این وضعیت را به صورت زیر تصور کنید: اگر از حرف ربط "یا" در سؤال در مورد احتمال استفاده کنید (مثلاً ، احتمال آن چقدر است یانتیجه دیگر یک رویداد تصادفی؟)، احتمالات فردی را محاسبه کرده و آنها را جمع آوری کنید.

توجه داشته باشید که وقتی جمع می کنید تمام نتایج ممکنبازی ها، مجموع همه احتمالات باید برابر با 100٪ باشد. اگر مبلغ 100% نباشد، محاسبه شما اشتباه انجام شده است. این یک راه خوب برای بررسی مجدد محاسبات است. به عنوان مثال، اگر احتمال به دست آوردن همه دست ها در پوکر را تجزیه و تحلیل کنید، اگر همه نتایج را جمع کنید، باید دقیقاً 100٪ (یا حداقل مقدار تقریباً نزدیک به 100٪) به دست آورید، اگر از ماشین حساب استفاده می کنید، ممکن است یک خطای کوچک گرد کردن، اما اگر اعداد دقیق را با دست جمع کنید، باید حل شود.) اگر مجموع جمع نشد، به احتمال زیاد برخی از ترکیب ها را در نظر نگرفته اید، یا احتمالات برخی ترکیب ها را اشتباه محاسبه کرده اید، و سپس باید محاسبات خود را دوباره بررسی کنید.

احتمالات نابرابر

تا به حال، ما فرض می‌کردیم که هر وجه تاس با یک فرکانس می‌افتد، زیرا تاس به این ترتیب کار می‌کند. اما گاهی اوقات شما با موقعیتی مواجه می شوید که نتایج متفاوتی ممکن است و ممکن است ناهمساناحتمال افتادن به عنوان مثال، در یکی از افزودنی های بازی کارتی "جنگ هسته ای" یک زمین بازی با یک فلش وجود دارد که نتیجه پرتاب موشک به آن بستگی دارد: اساساً آسیب معمولی، قوی تر یا ضعیف تر وارد می کند. اما گاهی اوقات خسارت دو یا سه برابر افزایش می یابد یا موشک در سکوی پرتاب منفجر می شود و به شما آسیب می رساند یا اتفاق دیگری رخ می دهد. بر خلاف زمین بازی با فلش در "Chutes & Ladders" یا "A Game of Life"، نتایج زمین بازی در "جنگ هسته ای" ناهموار است. برخی از بخش‌های زمین بازی بزرگ‌تر هستند و پیکان بیشتر در آنها متوقف می‌شود، در حالی که بخش‌های دیگر بسیار کوچک هستند و فلش به ندرت روی آنها متوقف می‌شود.

بنابراین، در نگاه اول، استخوان به این شکل به نظر می رسد: 1، 1، 1، 2، 2، 3. قبلاً در مورد آن صحبت کردیم ، چیزی شبیه به 1d3 وزنی است ، بنابراین ، باید همه این بخش ها را به قسمت های مساوی تقسیم کنیم ، کوچکترین واحد اندازه گیری را که مضربی از همه چیز است پیدا کنیم و سپس وضعیت را به شکل نشان دهیم. d522 (یا برخی دیگر)، که در آن بسیاری از چهره‌های تاس، وضعیت مشابهی را نشان می‌دهند، اما با نتایج بیشتری. و این یکی از راه های حل مشکل است و از نظر فنی امکان پذیر است اما راه آسان تری هم وجود دارد.

بیایید به تاس هگز استاندارد خود برگردیم. گفتیم که برای محاسبه میانگین مقدار رول برای یک قالب معمولی، باید مقادیر تمام لبه ها را جمع کرده و آنها را بر تعداد لبه ها تقسیم کنید، اما چگونه دقیقاتسویه حساب در حال انجام است؟ شما می توانید آن را متفاوت بیان کنید. برای یک تاس شش ضلعی، احتمال افتادن هر صورت دقیقاً 1/6 است. حالا ضرب می کنیم خروجهر صورت احتمالاین نتیجه (در این مورد، 1/6 برای هر چهره)، سپس مقادیر به دست آمده را خلاصه می کنیم. بنابراین جمع بندی (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ، ما همان نتیجه (3.5) را در محاسبه بالا بدست می آوریم. در واقع، ما هر بار این را حساب می کنیم: هر نتیجه را در احتمال آن نتیجه ضرب می کنیم.

آیا می توانیم برای یک تیرانداز در زمین بازی در جنگ هسته ای همین محاسبه را انجام دهیم؟ البته که میتونیم. و اگر تمام نتایج یافت شده را با هم جمع کنیم، میانگین را بدست می آوریم. تنها کاری که باید انجام دهیم این است که احتمال هر نتیجه را برای فلش روی تخته محاسبه کرده و در نتیجه ضرب کنیم.

مثالی دیگر

این روش محاسبه میانگین با ضرب هر نتیجه در احتمال فردی آن نیز در صورتی مناسب است که نتایج به یک اندازه محتمل باشند اما مزایای متفاوتی داشته باشند، به عنوان مثال اگر یک قالب را بچرخانید و در برخی از لبه ها بیشتر از بقیه برنده شوید. به عنوان مثال، یک بازی کازینو را در نظر بگیرید: شما 2d6 شرط بندی می کنید و رول می کنید. اگر سه عدد با کمترین مقدار (2، 3، 4) یا چهار عدد با بالاترین ارزش (9، 10، 11، 12) بیایند، مبلغی برابر با شرط خود برنده می شوید. اعدادی که کمترین و بالاترین مقدار را دارند خاص هستند: اگر 2 یا 12 بیاید، برنده می شوید دو برابر بیشتراز نرخ شما اگر هر عدد دیگری بیفتد (5، 6، 7، 8)، شرط خود را از دست خواهید داد. این یک بازی بسیار ساده است. اما احتمال برنده شدن چقدر است؟

بیایید با محاسبه چند بار برنده شدن شروع کنیم:

• حداکثر تعداد نتایج در یک رول 2d6 36 است. چند نتیجه موفق وجود دارد؟
• 1 گزینه برای دو و 1 گزینه برای دوازده وجود دارد.
• 2 گزینه برای آنچه بیرون می آید سه و یازده وجود دارد.
• 3 گزینه برای چهار و 3 گزینه برای ده وجود دارد.
• 4 گزینه برای نه وجود دارد.
• با جمع بندی همه گزینه ها، تعداد نتایج مطلوب 16 از 36 را به دست می آوریم.

بنابراین در شرایط عادی 16 بار از 36 مورد ممکن برنده خواهید شد ... احتمال برنده شدن کمی کمتر از 50 درصد است.

اما در دو مورد از این 16 مورد، شما دوبرابر برنده خواهید شد، یعنی. مثل دوبار بردن است اگر این بازی را 36 بار انجام دهید، هر بار 1 دلار شرط بندی کنید، و هر یک از نتایج ممکن یک بار به دست بیاید، 18 دلار برنده می شوید (در واقع، 16 بار برنده می شوید، اما دو بار از آنها به عنوان دو برنده محسوب می شود). اگر 36 بار بازی کنید و 18 دلار برنده شوید، به این معنی نیست که شانس برابر است؟

عجله نکن. اگر تعداد دفعاتی را که می توانید ببازید بشمارید، 20 می گیرید نه 18. اگر 36 بار بازی کنید و هر بار 1 دلار شرط بندی کنید، در مجموع 18 دلار بابت همه نتایج مطلوب برنده خواهید شد ... اما بازنده خواهید شد. مجموع مبلغ 20 دلار با هر 20 پیامد نامطلوب! در نتیجه، کمی عقب خواهید بود: به ازای هر 36 بازی به طور متوسط ​​2 دلار خالص از دست می دهید (همچنین می توانید بگویید که به طور متوسط ​​1/18 دلار در روز ضرر می کنید). حالا می بینید که در این حالت چقدر راحت می شود اشتباه کرد و احتمال را اشتباه محاسبه کرد!

جایگشت

تا به حال فرض می کردیم که ترتیب اعداد هنگام پرتاب تاس مهم نیست. رول 2 + 4 همان رول 4 + 2 است. در بیشتر موارد، تعداد نتایج مطلوب را به صورت دستی محاسبه می کنیم، اما گاهی اوقات این روش غیرعملی است و بهتر است از یک فرمول ریاضی استفاده شود.

نمونه ای از این وضعیت از بازی با تاس "فارکل" است. برای هر دور جدید، 6d6 رول می کنید. اگر خوش شانس باشید و همه نتایج ممکن 1-2-3-4-5-6 ("مستقیم") باشد، پاداش بزرگی دریافت خواهید کرد. احتمال اینکه این اتفاق بیفتد چقدر است؟ در این صورت گزینه های زیادی برای این ترکیب وجود دارد!

راه حل به این صورت است: یکی از تاس ها (و تنها یکی) باید عدد 1 را داشته باشد! چند نوع از افتادن از عدد 1 در یک قالب؟ شش، چون 6 تاس وجود دارد و هر کدام از آنها می تواند عدد 1 را داشته باشد. بر این اساس، یک تاس بردارید و کنار بگذارید. حالا یکی از تاس های باقی مانده باید عدد 2 داشته باشد. پنج گزینه برای این کار وجود دارد. یک تاس دیگر بردارید و کنار بگذارید. سپس نتیجه می شود که روی چهار تاس باقیمانده عدد 3 می تواند بیفتد، در سه تاس باقی مانده عدد 4 می تواند بیفتد، روی دو تاس - عدد 5، و در نتیجه شما یک تاس دارید که روی آن عدد 6 است. باید سقوط کند (در مورد دوم قالب یکی است و چاره ای نیست). برای محاسبه تعداد نتایج مطلوب برای ترکیب "مستقیم"، ما همه گزینه های مختلف و مستقل را ضرب می کنیم: 6x5x4x3x2x1 = 720 - به نظر می رسد گزینه های بسیار زیادی برای آنچه این ترکیب به دست می آورد وجود دارد.

برای محاسبه احتمال مستقیم، باید 720 را بر تعداد تمام نتایج ممکن برای رول 6d6 تقسیم کنیم. تعداد تمام نتایج ممکن چقدر است؟ هر قالب می تواند 6 وجه داشته باشد، بنابراین 6x6x6x6x6x6 = 46656 را ضرب می کنیم (تعداد بسیار بزرگتر است!). 720/46656 را تقسیم می کنیم و احتمالی در حدود 1.5 درصد به دست می آید. اگر قصد طراحی این بازی را داشتید، دانستن آن برای شما مفید خواهد بود تا بتوانید یک سیستم امتیازدهی مناسب ایجاد کنید. اکنون می دانیم که چرا در بازی "Farkle" اگر ترکیبی "مستقیم" دریافت کنید چنین پاداش بزرگی دریافت خواهید کرد، زیرا این وضعیت بسیار نادر است!

نتیجه به دلیل دیگری نیز جالب است. مثال نشان می دهد که چگونه به ندرت، در یک دوره کوتاه، یک نتیجه مربوط به احتمال سقوط می کند. البته اگر بخواهیم چندین هزار تاس بیندازیم، صورت های مختلف تاس اغلب می افتد. اما وقتی فقط شش تاس می اندازیم، تقریباً هرگزاین اتفاق نمی افتد که هر صورت بیفتد! با توجه به این امر، مشخص می شود که احمقانه است که انتظار داشته باشیم اکنون چهره دیگری بیرون بیفتد، که هنوز حذف نشده است "زیرا ما مدت زیادی است که شماره 6 را نداریم ، یعنی اکنون از بین خواهد رفت" .

گوش کن، مولد اعداد تصادفی شما خراب است...

این ما را به یک تصور غلط رایج در مورد احتمال سوق می دهد: این فرض که همه نتایج با فرکانس یکسان به دست می آیند. برای مدت کوتاهیکه در واقع اینطور نیست. اگر چند بار تاس بیندازیم فرکانس هر یک از لبه ها یکسان نمی شود.

اگر تا به حال روی یک بازی آنلاین با نوعی مولد اعداد تصادفی کار کرده باشید، به احتمال زیاد با موقعیتی مواجه شده اید که در آن بازیکن به پشتیبانی فنی می نویسد که مولد اعداد تصادفی شما خراب است و اعداد تصادفی را نشان نمی دهد. و او به این نتیجه رسید، زیرا او به تازگی 4 هیولا را پشت سر هم کشته و 4 جایزه دقیقاً مشابه دریافت کرده است و این پاداش ها فقط در 10٪ موارد باید از بین بروند، بنابراین این تقریبا هرگزنباید اتفاق افتادن، که به معنای آن است به طور مشخصکه مولد اعداد تصادفی شما خراب است.

شما در حال انجام یک محاسبات ریاضی هستید. 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 برابر است با 1 در 10000، به این معنی که این یک مورد نسبتاً نادر است. و این چیزی است که بازیکن سعی دارد به شما بگوید. آیا در این مورد مشکلی وجود دارد؟

همه چیز به شرایط بستگی دارد. الان چند بازیکن روی سرور شما هستند؟ فرض کنید یک بازی نسبتاً محبوب دارید و هر روز 100000 نفر آن را بازی می کنند. چند بازیکن چهار هیولا را پشت سر هم می کشند؟ همه چیز ممکن است، چندین بار در روز، اما فرض کنیم که نیمی از آنها به سادگی در حال رد و بدل کردن آیتم های مختلف در حراجی ها یا بازنویسی در سرورهای RP یا انجام سایر اقدامات بازی هستند، بنابراین در واقع فقط نیمی از آنها در حال شکار هیولا هستند. احتمالش چقدره به شخصیآیا همان پاداش حذف می شود؟ در این شرایط، شما می توانید انتظار داشته باشید که یک پاداش می تواند چندین بار در روز، حداقل!

به هر حال، بنابراین به نظر می رسد که حداقل هر چند هفته یکبار کسیبرنده لاتاری می شود، حتی اگر آن کسی هرگزنه شما یا دوستانتان اگر هر هفته تعداد زیادی نفر بازی کنند، حداقل شانس وجود دارد یکیخوش شانس ... اما اگر شمابا بازی در لاتاری، احتمال برنده شدن شغلی در اینفینیتی وارد کمتر است.

نقشه ها و اعتیاد

ما درباره رویدادهای مستقل مانند انداختن تاس بحث کرده‌ایم و اکنون ابزارهای قدرتمند زیادی برای تجزیه و تحلیل تصادفی بودن در بسیاری از بازی‌ها می‌دانیم. محاسبه احتمال در مورد بیرون آوردن کارت ها از عرشه کمی پیچیده تر است، زیرا هر کارتی که بیرون می آوریم روی کارت های باقی مانده در عرشه تأثیر می گذارد. اگر یک عرشه استاندارد 52 کارتی دارید و مثلاً 10 قلب می کشید و می خواهید بدانید که احتمال دارد کارت بعدی با همان لباس باشد، احتمال تغییر کرده است زیرا قبلاً یک کارت از کت و شلوار قلب ها را حذف کرده اید. از عرشه هر کارتی که حذف می کنید، احتمال کارت بعدی در عرشه را تغییر می دهد. از آنجایی که در این مورد رویداد قبلی روی رویداد بعدی تأثیر می گذارد، این احتمال را می نامیم وابسته.

توجه داشته باشید که وقتی می گویم کارت، منظورم است هرمکانیک بازی، که در آن مجموعه ای از اشیاء وجود دارد و شما یکی از اشیاء را بدون تعویض آن حذف می کنید، یک "عرشه کارت" در این مورد مشابه کیسه ای از نشانه ها است که از آن یک ژتون بیرون می آورید و آن را جایگزین نمی کنید. یا کوزه ای که توپ های رنگی را از آن بیرون بیاورید (در واقع من تا به حال بازی ندیده ام که گلدانی داشته باشد که از آن توپ های رنگی بیرون بیاورند، اما به نظر می رسد معلمان نظریه احتمال به دلایلی این مثال را ترجیح می دهند) .

ویژگی های وابستگی

من می خواهم توضیح دهم که وقتی صحبت از کارت می شود، فرض می کنم که شما کارت ها را می کشید، به آنها نگاه می کنید و آنها را از عرشه حذف می کنید. هر یک از این اقدامات یک خاصیت مهم است.

اگر یک دسته از مثلاً شش کارت با اعداد از 1 تا 6 داشتم و آنها را به هم می زدم و یک کارت را بیرون می آوردم و سپس دوباره هر شش کارت را به هم می زدم، مانند پرتاب یک قالب شش وجهی بود. یک نتیجه بر موارد زیر تأثیر نمی گذارد. فقط اگر کارت بکشم و آنها را جایگزین نکنم، نتیجه این که کارتی با عدد 1 بکشم، احتمال اینکه دفعه بعد کارتی با عدد 6 بکشم افزایش می یابد (احتمال زیاد می شود تا اینکه در نهایت کارت را بگیرم. این کارت را بیرون بیاورم یا تا زمانی که کارت ها را به هم بزنم).

این واقعیت که ما نگاه کنروی کارت نیز مهم است. اگر کارتی را از عرشه خارج کنم و به آن نگاه نکنم، هیچ اطلاعات اضافی ندارم و در واقع احتمال آن تغییر نمی کند. این ممکن است خلاف واقع به نظر برسد. چگونه یک ورق زدن ساده یک کارت می تواند به طور جادویی یک احتمال را تغییر دهد؟ اما این امکان پذیر است زیرا شما فقط می توانید احتمال اشیاء ناشناخته را بر اساس این واقعیت محاسبه کنید میدونی... به عنوان مثال، اگر یک دسته استاندارد از کارت ها را به هم بزنید، 51 کارت را نشان دهید و هیچ کدام ملکه کلاب ها نیستند، با اطمینان 100% خواهید فهمید که کارت باقی مانده ملکه کلوپ ها است. اگر دسته استاندارد کارت ها را به هم بزنید و 51 کارت بکشید، با وجوددر مورد آنها، احتمال اینکه کارت باقی مانده ملکه کلوپ ها باشد، همچنان 1/52 خواهد بود. با باز کردن هر کارت اطلاعات بیشتری به دست می آورید.

محاسبه احتمال رویدادهای وابسته از همان اصولی پیروی می کند که برای رویدادهای مستقل انجام می شود، با این تفاوت که کمی پیچیده تر است، زیرا با باز کردن کارت ها، احتمالات تغییر می کند. بنابراین، به جای ضرب کردن یک مقدار، باید مقادیر مختلف زیادی را ضرب کنید. در واقع، این بدان معنی است که ما باید تمام محاسباتی را که انجام دادیم در یک ترکیب ترکیب کنیم.

مثال

شما یک عرشه استاندارد 52 کارتی را به هم می زنید و دو کارت می کشید. احتمال اینکه یک جفت را بیرون بیاورید چقدر است؟ روش های مختلفی برای محاسبه این احتمال وجود دارد، اما شاید ساده ترین آنها به شرح زیر باشد: احتمال اینکه وقتی یک کارت را بیرون می آورید، نتوانید یک جفت را بیرون بیاورید چقدر است؟ این احتمال صفر است، بنابراین مهم نیست که کدام کارت اول را می کشید، تا زمانی که با کارت دوم مطابقت داشته باشد. فرقی نمی کند که کدام کارت را اول بیرون بیاوریم، باز هم شانس برداشتن یک جفت را داریم، بنابراین احتمال اینکه بتوانیم بعد از برداشتن اولین کارت، یک جفت را برداریم 100 درصد است.

احتمال اینکه کارت دوم با کارت اول مطابقت داشته باشد چقدر است؟ 51 کارت در عرشه باقی مانده است و 3 تای آنها با کارت اول منطبق است (در واقع 4 کارت از 52 کارت وجود دارد، اما شما قبلاً یکی از کارت های منطبق را با برداشتن اولین کارت حذف کرده اید!)، بنابراین احتمال این است که 1/17. (بنابراین دفعه بعد که مرد مقابل شما در حال بازی تگزاس هولدم می گوید: "باحال، یک جفت دیگر؟ من امشب خوش شانس هستم"، می دانید که احتمال بلوف زدن او بسیار زیاد است.)

اگر دو جوکر اضافه کنیم و حالا 54 کارت در عرشه داشته باشیم و بخواهیم بدانیم که احتمال بیرون آوردن یک جفت چقدر است؟ کارت اول ممکن است یک جوکر باشد، و سپس عرشه فقط شامل یکیکارت، نه سه، که مطابقت دارد. چگونه احتمال را در این مورد پیدا می کنید؟ ما احتمالات را تقسیم می کنیم و هر احتمال را ضرب می کنیم.

اولین کارت ما می تواند جوکر یا کارت دیگری باشد. احتمال کشیدن جوکر 2/54 و احتمال کشیدن هر کارت دیگری 52/54 است.

اگر کارت اول جوکر باشد (2/54)، احتمال اینکه کارت دوم با کارت اول منطبق باشد 1/53 است. مقادیر را ضرب کنید (می توانیم آنها را ضرب کنیم زیرا اینها رویدادهای جداگانه ای هستند و ما می خواهیم هر دورویدادها اتفاق افتاد) و ما 1/1431 - کمتر از یک دهم درصد را دریافت می کنیم.

اگر ابتدا کارت دیگری بکشید (52/54)، احتمال انطباق با کارت دوم 3/53 است. مقادیر را ضرب کنید و 78/1431 (کمی بیشتر از 5.5٪) را بدست آورید.

با این دو نتیجه چه کنیم؟ آنها متقاطع نیستند و ما می خواهیم احتمال آن را بدانیم از هراز آنها، بنابراین ما مقادیر را خلاصه می کنیم! ما نتیجه نهایی 79/1431 را می گیریم (هنوز حدود 5.5٪).

اگر می‌خواستیم از صحت پاسخ مطمئن شویم، می‌توانستیم احتمال تمام نتایج ممکن دیگر را محاسبه کنیم: بیرون آوردن جوکر و عدم تطابق کارت دوم، یا بیرون آوردن کارت دیگری و عدم تطابق کارت دوم، و جمع کردن همه آنها. تا با احتمال برنده شدن، ما دقیقاً 100٪ را بدست می آوریم. من در اینجا یک محاسبه ریاضی ارائه نمی دهم، اما می توانید برای بررسی مجدد آن را محاسبه کنید.

پارادوکس مونتی هال

این ما را به یک پارادوکس نسبتاً شناخته شده می رساند که اغلب بسیاری را گیج می کند - پارادوکس مونتی هال. این پارادوکس از نام مونتی هال میزبان «Let’s Make a Deal» نامگذاری شده است. اگر تا به حال این برنامه را ندیده اید، برخلاف برنامه تلویزیونی The Price Is Right بوده است. در «قیمت مناسب است»، میزبان (باب بارکر سابق، اکنون… درو کری؟ به هر حال…) دوست شماست. او می خواهدبنابراین می توانید برنده پول یا جوایز بزرگ شوید. او سعی می کند هر فرصتی را برای برنده شدن در اختیار شما قرار دهد، مشروط بر اینکه بتوانید حدس بزنید که اقلام خریداری شده توسط حامیان مالی واقعا چقدر هزینه دارند.

مونتی هال رفتار متفاوتی داشت. او مانند همزاد شیطانی باب بارکر بود. هدف او این بود که شما را در تلویزیون ملی شبیه یک احمق جلوه دهد. اگر در برنامه حضور داشتید، او حریف شما بود، در مقابل او بازی می کردید و شانس برد به نفع او بود. ممکن است خیلی خشن باشم، اما وقتی شانس انتخاب شدن به عنوان رقیب به نظر می رسد نسبت مستقیمی با پوشیدن کت و شلوار مسخره داشته باشید، به این نتیجه می رسم.

اما یکی از معروف‌ترین میم‌های نمایش این بود: سه در جلوی شما بود که به آنها درب شماره 1، در شماره 2 و درب شماره 3 می‌گفتند. شما می‌توانید هر دری را به صورت رایگان انتخاب کنید! پشت یکی از این درها یک جایزه بزرگ مانند یک ماشین سواری نو وجود داشت. هیچ جایزه ای پشت درهای دیگر نبود، این دو در هیچ ارزشی نداشتند. هدف آنها تحقیر شما بود و بنابراین اینطور نبود که چیزی پشت سر آنها نبود، چیزی پشت سر آنها بود که احمقانه به نظر می رسید، مثلاً پشت آنها یک بز یا یک لوله بزرگ خمیر دندان یا چیزی ... چیزی بود، دقیقا بود نهیک ماشین سواری نو

تو یکی از درها را انتخاب کردی و مونتی می خواست آن را باز کند تا بدانی برنده ای یا نه... اما صبر کن، قبل از اینکه بدانیم، بیایید نگاهی به یکی از آنها بیندازیم آن هادرهای شما انتخاب نشده است... از آنجایی که مونتی می داند که جایزه پشت کدام در قرار دارد و فقط یک جایزه وجود دارد و دودرهایی را که شما انتخاب نکرده اید، هر چه باشد، او همیشه می تواند دری را باز کند که جایزه ای برای آن وجود ندارد. "آیا درب شماره 3 را انتخاب می کنید؟ سپس بیایید در 1 را باز کنیم تا نشان دهیم که هیچ جایزه ای پشت آن نیست. و اکنون، از روی سخاوت، او به شما این شانس را می دهد که درب شماره 3 انتخابی را با درب پشت در 2 مبادله کنید. در این لحظه است که سؤال احتمال مطرح می شود: آیا امکان انتخاب درب متفاوت باعث افزایش یا کاهش در شما می شود. احتمال برنده شدن، یا بدون تغییر باقی می ماند؟ شما چی فکر میکنید؟

پاسخ صحیح: امکان انتخاب درب متفاوت افزایشاحتمال برنده شدن از 1/3 تا 2/3. این غیر منطقی است. اگر قبلاً با این پارادوکس مواجه نشده اید، به احتمال زیاد فکر می کنید: صبر کنید، با باز کردن یک در، ما به طرز جادویی احتمال را تغییر دادیم؟ اما همانطور که قبلاً در مثال با نقشه های بالا دیدیم، این است دقیقاوقتی اطلاعات بیشتری دریافت می کنیم چه اتفاقی می افتد بدیهی است که احتمال برنده شدن در اولین باری که انتخاب می کنید 1/3 است و فکر می کنم همه با آن موافق باشند. وقتی یک در باز می شود، به هیچ وجه احتمال برنده شدن برای انتخاب اول را تغییر نمی دهد، باز هم احتمال 1/3 است، اما این به این معنی است که احتمال اینکه دیگریدرب صحیح اکنون 2/3 است.

بیایید از منظر دیگری به این مثال نگاه کنیم. شما در را انتخاب کنید. احتمال برنده شدن 1/3 است. بهت پیشنهاد میکنم عوض کنی دودرهای دیگر، که مونتی هال در واقع پیشنهاد انجام آن را دارد. البته یکی از درها را باز می کند تا نشان دهد که هیچ جایزه ای پشت آن نیست اما او همیشهمی تواند این کار را انجام دهد، بنابراین واقعاً چیزی را تغییر نمی دهد. البته، شما می خواهید درب متفاوتی را انتخاب کنید!

اگر در مورد این سوال کاملاً واضح نیستید و به توضیح قانع‌کننده‌تری نیاز دارید، روی این پیوند کلیک کنید تا به یک برنامه فلش کوچک شگفت‌انگیز بروید که به شما امکان می‌دهد این پارادوکس را با جزئیات بیشتری مطالعه کنید. می توانید با حدود 10 در شروع کنید و سپس به تدریج به بازی با سه در بروید. همچنین یک شبیه ساز وجود دارد که در آن می توانید هر تعداد در را از 3 تا 50 انتخاب کنید و چندین هزار شبیه سازی را بازی یا اجرا کنید و ببینید اگر بازی کردید چند بار برنده شدید.

نکته ای از معلم ریاضیات عالی و متخصص تعادل بازی ماکسیم سولداتوف که البته شریبر آن را نداشت اما بدون آن درک این تحول جادویی بسیار دشوار است:

یک در را انتخاب کنید، یکی از سه، احتمال "برنده شدن" 1/3 است. اکنون شما 2 استراتژی دارید: پس از باز کردن درب اشتباه انتخاب را تغییر دهید یا خیر. اگر انتخاب خود را تغییر ندهید، احتمال 1/3 باقی می ماند، زیرا انتخاب فقط در مرحله اول است و باید بلافاصله حدس بزنید، اگر تغییر کردید، اگر ابتدا درب اشتباه را انتخاب کنید، می توانید برنده شوید ( سپس آنها اشتباه دیگری را باز می کنند، درست می ماند، شما نظر خود را تغییر می دهید و فقط آن را قبول می کنید)
احتمال انتخاب درب اشتباه در ابتدا 2/3 است، بنابراین معلوم می شود که با تغییر تصمیم خود احتمال برنده شدن را 2 برابر بیشتر می کنید.

و دوباره در مورد پارادوکس مونتی هال

در مورد خود نمایش، مونتی هال این را می دانست زیرا حتی اگر رقبای او در ریاضیات خوب نبودند، اوخوب آن را درک می کند در اینجا کاری است که او انجام داد تا کمی بازی را تغییر دهد. اگر دری را که جایزه پشت آن قرار داشت را انتخاب کردید که احتمال آن 1/3 است، همیشهبه شما این فرصت را داد تا درب متفاوتی را انتخاب کنید. به هر حال، شما یک ماشین سواری را انتخاب کرده اید و سپس آن را به یک بز تغییر می دهید و بسیار احمق به نظر می رسید، این دقیقا همان چیزی است که او به آن نیاز دارد، زیرا او یک جور آدم شیطانی است. اما اگر دری که پشت آن است را انتخاب کنید هیچ جایزه ای وجود نخواهد داشت، فقط در نیمهدر چنین مواقعی به شما پیشنهاد می دهد که در دیگری را انتخاب کنید و در موارد دیگر به سادگی بز جدیدتان را به شما نشان می دهد و شما صحنه را ترک می کنید. بیایید این بازی جدید را که مونتی هال می تواند در آن تحلیل کنیم انتخاب کنیدبه شما فرصتی می دهد که درب دیگری را انتخاب کنید یا نه.

فرض کنید او از این الگوریتم پیروی می کند: اگر یک در را با جایزه انتخاب کنید، همیشه به شما این فرصت را می دهد که در دیگری را انتخاب کنید، در غیر این صورت احتمال اینکه او به شما پیشنهاد انتخاب در دیگری یا دادن یک بز را بدهد 50/50 است. احتمال برنده شدن شما چقدر است؟

در یکی از سه گزینه، بلافاصله دری که جایزه پشت آن قرار دارد را انتخاب می کنید و میزبان شما را به انتخاب در دیگری دعوت می کند.

از بین دو گزینه باقی مانده از سه گزینه (در ابتدا درب را بدون جایزه انتخاب می کنید) در نیمی از موارد میزبان به شما پیشنهاد می دهد که درب دیگری را انتخاب کنید و در نیمی دیگر نه. نیمی از 2/3 1/3 است، یعنی. در یک مورد از سه مورد، شما یک بز خواهید داشت، در یک مورد از سه مورد، در را اشتباه انتخاب می کنید و میزبان به شما پیشنهاد می دهد که یکی دیگر را انتخاب کنید و در یک مورد از سه مورد، شما انتخاب می کنید. درب سمت راست،و از شما می خواهد که در دیگری را انتخاب کنید.

اگر رهبر پیشنهاد انتخاب در دیگری را بدهد، از قبل می دانیم که از هر سه مورد، وقتی یک بز به ما می دهد و ما می رویم، آن یک مورد اتفاق نیفتاده است. این اطلاعات مفیدی است زیرا به این معنی است که شانس ما برای برنده شدن تغییر کرده است. در دو مورد از سه مورد که فرصت انتخاب داریم، در یک مورد به این معنی است که درست حدس زده ایم و در مورد دیگر اشتباه حدس زده ایم، بنابراین اگر اصلاً به ما فرصت انتخاب داده شود، به این معنی است که احتمال برنده شدن ما 50/50 است و هیچ وجود ندارد ریاضیمزایا، با انتخاب خود بمانید یا در دیگری را انتخاب کنید.

مانند پوکر، اکنون یک بازی روانی است، نه یک بازی ریاضی. مونتی به شما پیشنهاد انتخاب داد زیرا فکر می‌کند شما احمقی هستید که نمی‌دانید انتخاب درب متفاوت تصمیم «درست» است و سرسختانه به انتخاب خود ادامه می‌دهید، زیرا از نظر روان‌شناختی شرایط زمانی که ماشین را انتخاب می‌کنید، اما بعد آن را از دست داد، سخت تر؟ یا فکر می‌کند شما باهوش هستید و در دیگری را انتخاب می‌کند و این فرصت را به شما پیشنهاد می‌کند زیرا می‌داند که در ابتدا درست حدس زده‌اید و قلاب و به دام خواهید افتاد؟ یا شاید او به طور غیرمعمولی با خودش مهربان است و شما را مجبور می کند تا کاری را به نفع شخصی خود انجام دهید، زیرا مدت زیادی است که ماشین نداده است و تهیه کنندگانش به او می گویند که حوصله تماشاگر دارد و بهتر است او بدهد. به زودی یک جایزه بزرگ برای جلوگیری از سقوط رتبه ها؟

بنابراین، مونتی موفق می شود (گاهی اوقات) یک انتخاب ارائه دهد و احتمال کلی برنده شدن برابر با 1/3 باقی می ماند. به یاد داشته باشید که 1/3 احتمال دارد که فوراً ببازید. احتمال اینکه بلافاصله آن را دریافت کنید 1/3 است و در 50٪ از این موارد شما برنده خواهید شد (1/3 x 1/2 = 1/6). احتمال اینکه ابتدا اشتباه حدس بزنید، اما بعد شانس انتخاب در دیگری را داشته باشید، 1/3 است و در 50 درصد این موارد برنده خواهید شد (همچنین 1/6). دو شانس برنده شدن مستقل را اضافه کنید و احتمالی برابر با 1/3 بدست می آورید، بنابراین مهم نیست که در انتخاب خود بمانید یا در دیگری را انتخاب کنید، احتمال کلی برنده شدن شما در طول بازی برابر با 1/3 است. .. احتمال بیشتر از شرایطی نمی شود که در را حدس بزنید و مجری به شما نشان دهد پشت این در چه چیزی وجود دارد، بدون اینکه امکان انتخاب در دیگری وجود داشته باشد! بنابراین هدف از ارائه فرصت برای انتخاب دری دیگر تغییر احتمال نیست، بلکه سرگرمی بیشتر فرآیند تصمیم گیری برای تماشای تلویزیون است.

به هر حال، این یکی از دلایلی است که پوکر می تواند بسیار جالب باشد: در اکثر فرمت ها بین راندها، زمانی که شرط بندی می شود (به عنوان مثال، فلاپ، ترن و ریور در تگزاس هولدم)، کارت ها به تدریج آشکار می شوند. و اگر در ابتدای بازی یک احتمال برنده شدن دارید، پس از هر دور شرط بندی، زمانی که کارت های بیشتری باز می شود، این احتمال تغییر می کند.

پارادوکس پسر و دختر

این ما را به پارادوکس شناخته شده دیگری می رساند که به طور معمول همه را متحیر می کند - پارادوکس پسر و دختر. تنها چیزی که امروز در مورد آن می نویسم که مستقیماً به بازی ها مربوط نمی شود (اگرچه فرض می کنم که این به سادگی به این معنی است که باید شما را تشویق کنم تا مکانیک بازی مناسب را ایجاد کنید). این بیشتر یک معما است، اما جالب است، و برای حل آن، باید احتمال شرطی را که در بالا در مورد آن صحبت کردیم، درک کنید.

چالش: من یک دوست با دو فرزند دارم، حداقل یکیبچه دختر است احتمال اینکه فرزند دوم چقدر است همدختر؟ فرض کنید در هر خانواده ای شانس داشتن دختر یا پسر 50/50 است و این برای هر کودک صادق است (در واقع برخی از مردان دارای اسپرم بیشتری با یک کروموزوم X یا یک کروموزوم Y هستند، بنابراین احتمال کمی تغییر می کند اگر می دانید که یک فرزند دختر است، احتمال به دنیا آوردن دختر کمی بیشتر است، علاوه بر این، شرایط دیگری نیز وجود دارد، مثلاً هرمافرودیتیسم، اما برای حل این مشکل، این را در نظر نمی گیریم و فرض می کنیم که تولد فرزند یک رویداد مستقل است و احتمال پسر یا دختر داشتن یکسان است).

از آنجایی که ما در مورد شانس 1/2 صحبت می کنیم، به طور شهودی انتظار داریم که پاسخ به احتمال زیاد 1/2 یا 1/4 یا یک عدد گرد دیگر باشد که مضرب دو باشد. اما پاسخ این است: 1/3 ... صبر کن چرا

مشکل در این مورد این است که اطلاعاتی که داریم تعداد احتمالات را کاهش می دهد. فرض کنید پدر و مادر از طرفداران خیابان سیسمونی هستند و فارغ از اینکه پسر یا دختر به دنیا آمده اند، نام فرزندان خود را A و B گذاشته اند. در شرایط عادی، چهار احتمال به یک اندازه وجود دارد: A و B دو پسر A و B هستند. دو دختر هستند، الف یک پسر، و ب یک دختر، الف یک دختر و ب یک پسر است. از آنجایی که ما می دانیم حداقل یکیبچه دختر است، می‌توانیم این احتمال را که الف و ب دو پسر هستند، از بین ببریم، بنابراین با سه احتمال (هنوز به همان اندازه محتمل) باقی می‌مانیم. اگر همه احتمالات به یک اندازه احتمال داشته باشند و سه مورد از آنها وجود داشته باشد، می دانیم که احتمال هر یک از آنها 1/3 است. تنها در یکی از این سه گزینه، هر دو فرزند دو دختر هستند، بنابراین پاسخ 1/3 است.

و دوباره در مورد پارادوکس یک پسر و یک دختر

راه حل مشکل حتی غیر منطقی تر می شود. تصور کنید اگر به شما بگویم دوست من دو فرزند و یک فرزند دارد - دختری که روز سه شنبه به دنیا آمد... فرض کنید در شرایط عادی احتمال بچه دار شدن در یکی از هفت روز هفته یکسان باشد. احتمال اینکه فرزند دوم هم دختر باشد چقدر است؟ ممکن است فکر کنید که پاسخ همچنان 1/3 خواهد بود. سه شنبه یعنی چی اما حتی در این مورد، شهود ما را شکست می دهد. پاسخ: 13/27 که نه تنها شهودی نیست، بلکه بسیار عجیب است. موضوع چیه در این مورد?

در واقع سه شنبه احتمال را تغییر می دهد زیرا ما نمی دانیم کهکودک در روز سه شنبه یا احتمالاً متولد شد دو بچهروز سه شنبه به دنیا آمدند در این مورد، از همان منطق بالا استفاده می کنیم، همه ترکیبات ممکن را زمانی می شماریم که حداقل یک فرزند دختر باشد که در روز سه شنبه به دنیا آمده است. مانند مثال قبل، فرض کنید نام فرزندان A و B باشد، ترکیبات به شرح زیر است:

• الف - دختری که در روز سه‌شنبه به دنیا آمده است، ب - یک پسر (در این شرایط 7 احتمال وجود دارد، یکی برای هر روز از هفته که می‌تواند پسری به دنیا بیاید).
• ب - دختری که روز سه شنبه به دنیا آمد، الف - پسر (همچنین 7 احتمال).
• الف - دختری که روز سه شنبه به دنیا آمد، ب - دختری که در روز متولد شد یکی دیگرروز هفته (6 احتمال).
• ب - دختری که در روز سه شنبه متولد شده است، الف - دختری که در غیر سه شنبه متولد شده است (همچنین 6 احتمال).
• الف و ب - دو دختری که در روز سه شنبه به دنیا آمدند (1 احتمال، باید به این توجه کنید تا دو بار حساب نکنید).

ما جمع بندی می کنیم و 27 ترکیب متفاوت به همان اندازه ممکن از تولد فرزندان و روزهای با حداقل یک امکان دختر در روز سه شنبه را بدست می آوریم. از این تعداد، 13 فرصت برای تولد دو دختر است. همچنین کاملا غیر منطقی به نظر می رسد و به نظر می رسد که این کار فقط برای ایجاد سردرد ایجاد شده است. اگر هنوز از این مثال گیج هستید، نظریه پرداز بازی جسپر یول توضیح خوبی در مورد این موضوع در وب سایت خود دارد.

اگر در حال حاضر روی یک بازی کار می کنید ...

اگر در بازی که طراحی می کنید تصادفی وجود دارد، این یک فرصت عالی برای تجزیه و تحلیل آن است. عنصری را که می خواهید تحلیل کنید انتخاب کنید. ابتدا، از خود بپرسید که انتظار دارید احتمال یک عنصر معین چقدر باشد، فکر می کنید در چارچوب بازی باید چه باشد. به عنوان مثال، اگر در حال ساختن یک RPG هستید و به این فکر می کنید که احتمال اینکه یک بازیکن بتواند یک هیولا را در نبرد شکست دهد چقدر باید باشد، از خود بپرسید که درصد برد به نظر شما چقدر است. معمولاً هنگام بازی RPG های کنسولی، بازیکنان هنگام باخت بسیار ناامید می شوند، بنابراین بهتر است غالباً ... شاید 10٪ یا کمتر؟ اگر شما یک طراح RPG هستید، احتمالا بهتر از من می دانید، اما باید یک ایده اولیه از میزان احتمالی داشته باشید.

سپس از خود بپرسید که آیا این چیزی است؟ معتاد(مانند کارت) یا مستقل(مثل تاس). تمام نتایج ممکن و احتمالات آنها را بررسی کنید. مطمئن شوید که مجموع همه احتمالات 100٪ است. در نهایت، البته، نتایجی را که به دست می آورید با انتظارات خود مقایسه کنید. چه در حال پرتاب تاس یا کشیدن کارت به روش مورد نظر خود باشید، چه می بینید که باید مقادیر را تنظیم کنید. و البته اگر شما پیدا کردنآنچه باید تنظیم شود، می توانید از همان محاسبات برای تعیین میزان تنظیم چیزی استفاده کنید!

مشق شب

"تکالیف" شما در این هفته به شما کمک می کند تا مهارت های احتمالی خود را تقویت کنید. در اینجا دو بازی تاس و یک بازی با ورق وجود دارد که با استفاده از احتمال تجزیه و تحلیل خواهید کرد، و همچنین مکانیک بازی عجیبی که من زمانی توسعه دادم که می توانید از آن برای آزمایش روش مونت کارلو استفاده کنید.

بازی شماره 1 - استخوان اژدها

این یک بازی تاس است که زمانی با همکارانش اختراع کردیم (به لطف جب هاونز و جسی کینگ!) و عمداً مغز را با احتمالاتش به مردم می برد. این یک بازی کازینوی ساده به نام استخوان های اژدها است و یک مسابقه تاس بین بازیکن و خانه است. به شما قالب معمولی 1d6 داده می شود. هدف بازی پرتاب عددی بالاتر از خانه است. به تام یک 1d6 غیر استاندارد داده می شود - مانند شما، اما به جای یک روی یک چهره - تصویر اژدها (بنابراین، کازینو دارای یک مکعب Dragon-2-3-4-5-6) است. اگر خانه یک اژدها دریافت کند، به طور خودکار برنده می شود، و شما - بازنده. اگر هر دو به یک عدد رسیدید، مساوی است و دوباره تاس می اندازید. کسی که بیشترین تعداد را پرتاب کند برنده است.

البته، همه چیز کاملاً به نفع بازیکن پیش نمی رود، زیرا کازینو مزیتی به شکل لبه اژدها دارد. اما آیا واقعا اینطور است؟ شما باید آن را کشف کنید. اما قبل از آن، شهود خود را بررسی کنید. فرض کنید بردها 2 به 1 است. بنابراین اگر برنده شدید، شرط خود را حفظ کرده و دو برابر می شوید. به عنوان مثال، اگر 1 دلار شرط بندی کنید و برنده شوید، آن دلار را نگه می دارید و 2 دلار دیگر را در مجموع 3 دلار دریافت می کنید. اگر ببازید، فقط شرط خود را باخته اید. آیا شما بازی می کنید؟ بنابراین، آیا به طور شهودی احساس می کنید که احتمال آن بیشتر از 2 به 1 است یا هنوز فکر می کنید که این احتمال کمتر است؟ به عبارت دیگر، به طور میانگین در 3 بازی، انتظار دارید بیش از یک بار یا کمتر یا یک بار برنده شوید؟

هنگامی که شهود شما مرتب شد، ریاضی را به کار ببرید. تنها 36 موقعیت ممکن برای هر دو تاس وجود دارد، بنابراین می توانید بدون هیچ مشکلی همه آنها را محاسبه کنید. اگر در مورد این جمله 2 به 1 مطمئن نیستید، به این فکر کنید: فرض کنید بازی را 36 بار انجام داده اید (هر بار 1 دلار شرط بندی کرده اید). برای هر برد 2 دلار دریافت می کنید، برای هر باخت 1 دلار دریافت می کنید و یک تساوی چیزی را تغییر نمی دهد. تمام بردها و باخت های احتمالی خود را محاسبه کنید و تصمیم بگیرید که آیا مقداری دلار از دست خواهید داد یا سود. سپس از خود بپرسید که شهود شما چقدر درست بوده است. و سپس - متوجه شوید که من چه شرور هستم.

و، بله، اگر قبلاً درباره این سؤال فکر کرده اید - من عمداً شما را با تحریف مکانیزم واقعی بازی های تاس گیج می کنم، اما مطمئن هستم که می توانید فقط با تفکر خوب بر این مانع غلبه کنید. سعی کنید خودتان این مشکل را حل کنید. تمام پاسخ ها را هفته آینده اینجا قرار خواهم داد.

بازی شماره 2 - پرتاب شانس

این یک بازی شانسی تاس به نام Luck Roll است (همچنین قفس پرنده، زیرا گاهی اوقات تاس ها پرتاب نمی شوند، بلکه در یک قفس سیمی بزرگ قرار می گیرند که یادآور قفس بینگو است). این یک بازی ساده است که به چیزی شبیه به این خلاصه می شود: مثلاً 1 دلار روی عددی بین 1 و 6 شرط بندی کنید. سپس 3d6 را رول می کنید. برای هر قالبی که به شماره شما می رسد، 1 دلار دریافت می کنید (و سهام اصلی خود را نگه می دارید). اگر شماره شما روی هیچ یک از تاس ها ظاهر نشود، کازینو دلار شما را می گیرد و شما - هیچ چیز. بنابراین، اگر روی 1 شرط بندی کنید و سه بار در لبه ها 1 بگیرید، 3 دلار دریافت می کنید.

به طور شهودی، به نظر می رسد این بازی شانس های مساوی دارد. هر تاس یک شانس فردی 1 در 6 برای برنده شدن است، بنابراین با مجموع هر سه تاس شانس برنده شدن شما 3 به 6 است. البته، به یاد داشته باشید که شما در حال ساختن سه تاس جداگانه هستید و فقط در صورتی مجاز به اضافه کردن هستید. ما در مورد ترکیب های برنده جداگانه از یک تاس صحبت می کنیم. چیزی که باید ضرب کنید.

هنگامی که تمام نتایج ممکن را فهمیدید (احتمالاً انجام این کار در اکسل راحت تر از دستی است، زیرا 216 مورد از آنها وجود دارد)، بازی همچنان در نگاه اول عجیب و حتی زوج به نظر می رسد. اما در واقعیت، کازینو هنوز شانس بیشتری برای برنده شدن دارد - چقدر بیشتر؟ به طور خاص، انتظار دارید به طور میانگین برای هر دور بازی چقدر پول از دست بدهید؟ تنها کاری که باید انجام دهید این است که بردها و باخت های همه 216 نتیجه را جمع آوری کنید و سپس بر 216 تقسیم کنید، که باید بسیار ساده باشد ... اما همانطور که می بینید، چند دام وجود دارد که می توانید در آنها بیفتید، به همین دلیل است که من من به شما می گویم: اگر احساس می کنید که شانس برنده شدن در این بازی یکسان است، همه چیز را اشتباه گرفته اید.

بازی شماره 3 - 5 کارت استد پوکر

اگر در بازی های قبلی خود را گرم کرده اید، بیایید آنچه را که در مورد احتمال شرطی با این بازی کارتی می دانیم بررسی کنیم. به طور خاص، بیایید پوکر را با عرشه 52 کارتی تصور کنیم. بیایید 5 Card Stud را نیز تصور کنیم، جایی که هر بازیکن تنها 5 کارت دریافت می کند. شما نمی توانید یک کارت را دور بیندازید، نمی توانید یک کارت جدید بکشید، هیچ عرشه مشترکی ندارید - فقط 5 کارت دریافت می کنید.

فلاش رویال در یک دست 10-J-Q-K-A است، در مجموع 4 عدد وجود دارد، بنابراین چهار راه ممکن برای گرفتن فلاش رویال وجود دارد. احتمال اینکه یکی از این ترکیب ها را بدست آورید را محاسبه کنید.

من باید یک چیز را به شما گوشزد کنم: به یاد داشته باشید که می توانید این پنج کارت را به هر ترتیبی بکشید. یعنی در ابتدا می توانید یک آس یا ده بکشید، فرقی نمی کند. بنابراین هنگام محاسبه این، به خاطر داشته باشید که در واقع بیش از چهار راه برای گرفتن رویال فلاش وجود دارد، با این فرض که کارت ها به ترتیب پخش شده اند!

بازی شماره 4 - قرعه کشی صندوق بین المللی پول

حل مشکل چهارم با روش هایی که امروز در مورد آن صحبت کردیم چندان آسان نخواهد بود، اما می توانید به راحتی با استفاده از برنامه نویسی یا اکسل شرایط را شبیه سازی کنید. در مثال این مشکل است که می توانید روش مونت کارلو را حل کنید.

قبلاً به بازی "Chron X" اشاره کردم که روی آن کار کردم و یک کارت بسیار جالب وجود داشت - قرعه کشی صندوق بین المللی پول. نحوه کار به این صورت است: شما از آن در بازی استفاده کردید. پس از پایان دور، کارت ها مجددا توزیع شدند و 10 درصد احتمال خروج کارت از بازی وجود داشت و یک بازیکن تصادفی 5 واحد از هر نوع منبعی که توکن آن در این کارت وجود داشت دریافت می کرد. این کارت بدون هیچ نشانه ای وارد بازی می شد، اما هر بار که در ابتدای دور بعدی در بازی باقی می ماند، یک توکن دریافت می کرد. بنابراین 10 درصد احتمال داشت که او را وارد بازی کنید، راند تمام شود، کارت بازی را ترک کند و هیچ کس چیزی دریافت نکند. اگر این اتفاق نیفتد (با احتمال 90٪)، احتمال 10٪ (در واقع 9٪) وجود دارد، زیرا این 10٪ از 90٪ است که در دور بعدی او بازی را ترک کند و شخصی 5 را دریافت کند. واحدهای منابع اگر کارت پس از یک دور بازی را ترک کند (10٪ از 81٪ موجود، بنابراین احتمال 8.1٪ است)، کسی 10 واحد دریافت می کند، پس از یک دور دیگر - 15، 20 واحد دیگر و غیره. سوال: ارزش کلی مورد انتظار تعداد منابعی که از این کارت در نهایت خروج از بازی دریافت خواهید کرد چقدر است؟

به طور معمول، ما سعی می کنیم این مشکل را با یافتن امکان هر نتیجه و ضرب در تعداد همه نتایج حل کنیم. بنابراین 10٪ احتمال دارد که 0 (0.1 * 0 = 0) دریافت کنید. 9% که 5 واحد منابع دریافت خواهید کرد (9% * 5 = 0.45 منابع). 8.1٪ از آنچه 10 دریافت می کنید (8.1٪ * 10 = 0.81 کل منابع، مقدار مورد انتظار). و غیره. و سپس همه را جمع می‌کردیم.

و اکنون مشکل برای شما واضح است: همیشه این شانس وجود دارد که کارت نهبازی را ترک خواهد کرد تا بتواند در بازی بماند تا ابد، برای تعداد بی نهایت دور، به طوری که امکانات محاسبه هر فرصتیوجود ندارد. روش هایی که امروز یاد گرفتیم به ما توانایی محاسبه بازگشت بی نهایت را نمی دهد، بنابراین باید آن را به صورت مصنوعی ایجاد کنیم.

اگر به اندازه کافی در برنامه نویسی مهارت دارید، برنامه ای بنویسید که این کارت را شبیه سازی کند. شما باید یک حلقه زمانی داشته باشید که متغیر را به موقعیت صفر اصلی خود بازگرداند، یک عدد تصادفی را نمایش دهد و 10% احتمال دارد که متغیر از حلقه خارج شود. در غیر این صورت 5 به متغیر اضافه می شود و حلقه تکرار می شود. هنگامی که در نهایت از حلقه خارج شد، تعداد کل اجراهای آزمایشی را 1 و تعداد کل منابع را افزایش دهید (میزان بستگی به این دارد که متغیر در کجا متوقف شده است). سپس متغیر را ریست کرده و دوباره شروع کنید. برنامه را چندین هزار بار اجرا کنید. در نهایت، کل منابع را بر مجموع اجراها تقسیم کنید - این مقدار مونت کارلو مورد انتظار شما خواهد بود. برنامه را چندین بار اجرا کنید تا مطمئن شوید اعدادی که به دست می آورید تقریباً یکسان هستند. اگر گسترش هنوز زیاد است، تعداد تکرارها را در حلقه بیرونی افزایش دهید تا زمانی که شروع به گرفتن مسابقات کنید. می توانید مطمئن باشید که هر عددی که در نهایت به آن برسید تقریباً صحیح خواهد بود.

اگر با برنامه نویسی آشنا نیستید (یا حتی اگر با برنامه نویسی آشنا نیستید)، در اینجا تمرین کوچکی برای شما آورده شده است تا مهارت های اکسل خود را گرم کنید. اگر شما یک طراح بازی هستید، مهارت های اکسل هرگز زائد نیست.

در حال حاضر، توابع IF و RAND مفید خواهند بود. RAND به هیچ مقداری نیاز ندارد، فقط یک عدد اعشاری تصادفی بین 0 و 1 را خروجی می‌دهد. معمولاً آن را با FLOOR و جوانب مثبت و منفی ترکیب می‌کنیم تا رول قالب را که قبلاً به آن اشاره کردم، شبیه‌سازی کنیم. با این حال، در این حالت، ما فقط 10٪ احتمال می دهیم که کارت از بازی خارج شود، بنابراین می توانیم فقط بررسی کنیم که آیا مقدار RAND کمتر از 0.1 است یا خیر و دیگر به آن زحمت ندهیم.

IF سه معنی دارد. به ترتیب، شرطی که یا درست است یا خیر، سپس مقداری که اگر شرط درست باشد، و مقداری که اگر شرط درست نباشد، برگردانده می‌شود. بنابراین تابع زیر 5% مواقع و 0 90% دیگر را برمی گرداند:
= IF (RAND ()<0.1,5,0)

راه‌های زیادی برای تنظیم این دستور وجود دارد، اما من از فرمولی مانند این برای سلولی استفاده می‌کنم که دور اول را نشان می‌دهد، فرض کنید سلول A1 باشد:

IF (RAND ()<0.1,0,-1)

در اینجا من از یک متغیر منفی استفاده می کنم به این معنی که "این کارت بازی را ترک نکرده و هنوز هیچ منبعی را اهدا نکرده است." بنابراین اگر دور اول تمام شود و کارت خارج از بازی باشد، A1 0 است. در غیر این صورت -1 است.

برای سلول بعدی که نشان دهنده دور دوم است:

IF (A1> -1، A1، IF (RAND ()<0.1,5,-1))

بنابراین اگر دور اول تمام شود و کارت بلافاصله بازی را ترک کند، A1 0 (تعداد منابع) است و این سلول به سادگی آن مقدار را کپی می کند. در حالت مخالف، A1 -1 است (کارت هنوز بازی را ترک نکرده است) و این سلول به طور تصادفی به حرکت خود ادامه می دهد: 10٪ مواقع 5 واحد از منابع را برمی گرداند، بقیه زمان ها مقدار آن همچنان باقی خواهد ماند. -1 باشد. اگر این فرمول را روی سلول های اضافی اعمال کنیم، دورهای اضافی دریافت می کنیم و هر سلولی که در پایان برای شما افتاد، نتیجه نهایی را خواهید گرفت (یا -1 اگر کارت بعد از تمام دورهایی که بازی کردید از بازی خارج نشده باشد) .

این ردیف سلول ها را که تنها دور این کارت است، بردارید و چند صد (یا هزاران) ردیف را کپی و جایگذاری کنید. ممکن است نتوانیم انجام دهیم بی پایانتست برای اکسل (تعداد محدودی سلول در جدول وجود دارد)، اما حداقل می توانیم بیشتر موارد را پوشش دهیم. سپس یک سلول را انتخاب کنید که میانگین نتایج همه راندها را در آن قرار دهید (اکسل لطفاً تابع AVERAGE () را برای این کار ارائه می دهد).

در ویندوز، حداقل می توانید F9 را فشار دهید تا همه اعداد تصادفی بازشماری شوند. مانند قبل، این کار را چندین بار انجام دهید و ببینید آیا مقادیری که دریافت می کنید یکسان هستند یا خیر. اگر گسترش بیش از حد گسترده است، تعداد اجراها را دو برابر کنید و دوباره امتحان کنید.

وظایف حل نشده

اگر به طور اتفاقی مدرک احتمالی دارید و مسائل بالا برای شما خیلی آسان به نظر می رسند، در اینجا دو مسئله وجود دارد که من سال ها در مورد آنها گیج بودم، اما افسوس که من در ریاضیات آنقدرها هم خوب نیستم که آنها را حل کنم. اگر به طور ناگهانی راه حلی می دانید، لطفاً آن را اینجا در نظرات ارسال کنید، من آن را با کمال میل خواهم خواند.

مشکل حل نشده شماره 1: قرعه کشیصندوق بین المللی پول

اولین مشکل حل نشده تکلیف قبلی است. من به راحتی می توانم روش مونت کارلو (با استفاده از C ++ یا Excel) را اعمال کنم و در پاسخ به سؤال "بازیکن چقدر منابع خواهد گرفت" مطمئن خواهم بود، اما دقیقاً نمی دانم چگونه می توانم قابل اثبات دقیق ارائه دهم. به صورت ریاضی پاسخ دهید (این یک سری بی پایان است). اگر پاسخ را می دانید، آن را در اینجا ارسال کنید ... البته پس از بررسی آن با مونت کارلو.

مشکل حل نشده شماره 2: دنباله ای از اشکال

این مشکل (و باز هم بسیار فراتر از وظایف حل شده در این وبلاگ است) بیش از 10 سال پیش توسط یک گیمر آشنا به ذهنم خطور کرد. او هنگام بازی بلک جک در وگاس به یک ویژگی جالب توجه کرد: وقتی کارت هایی را برای 8 عرشه از کفشش بیرون آورد، دید دهقطعات در یک ردیف (یک تکه یا یک کارت تکه - 10، جوکر، پادشاه یا ملکه، بنابراین 16 مورد از آنها در یک عرشه استاندارد 52 کارتی وجود دارد، بنابراین 128 مورد از آنها در یک کفش 416 کارتی وجود دارد). احتمال اینکه در این کفش چقدر است حداقلیک سکانس ده یا بیشترارقام؟ بیایید فرض کنیم که آنها صادقانه و به ترتیب تصادفی مخلوط شده اند. (یا اگر آن را بهتر دوست دارید، احتمال آن چقدر است هیچ جا پیدا نشددنباله ای از ده شکل یا بیشتر؟)

ما می توانیم کار را ساده کنیم. این یک سکانس 416 قسمتی است. هر قطعه 0 یا 1 است. 128 یک و 288 صفر به طور تصادفی در سراسر دنباله پراکنده هستند. چند راه برای در هم آمیختن تصادفی 128 یک با 288 صفر وجود دارد و چند بار در این راه ها حداقل یک گروه ده تایی یا بیشتر وجود خواهد داشت؟

هر بار به محض اینکه شروع به حل این مشکل کردم، برای من آسان و بدیهی به نظر می رسید، اما به محض اینکه به جزئیات پرداختم، ناگهان از بین رفت و به نظرم غیرممکن می رسید. بنابراین برای محو کردن پاسخ عجله نکنید: بنشینید، با دقت فکر کنید، شرایط مسئله را مطالعه کنید، سعی کنید اعداد واقعی را جایگزین کنید، زیرا همه افرادی که در مورد این مشکل با آنها صحبت کردم (از جمله چندین دانشجوی فارغ التحصیل که در این زمینه کار می کنند) در همین رابطه واکنش نشان داد: "کاملاً واضح است... اوه، نه، صبر کنید، اصلاً واضح نیست." این موردی است که من روشی برای محاسبه همه گزینه ها ندارم. من مطمئناً می‌توانم مشکل را از طریق یک الگوریتم کامپیوتری به اجبار انجام دهم، اما دانستن روش ریاضی حل این مشکل بسیار کنجکاوتر است.

ترجمه - Y. Tkachenko, I. Mikheeva