Produs vectorial - definiții, proprietăți, formule, exemple și soluții. Produs vectorial - definiții, proprietăți, formule, exemple și soluții Produs vectorial al vectorilor a și b

În acest articol, ne vom opri asupra conceptului de produs încrucișat a doi vectori. Vom da definițiile necesare, vom scrie o formulă pentru găsirea coordonatelor unui produs vectorial, vom enumera și vom justifica proprietățile acestuia. După aceea, ne vom opri asupra semnificației geometrice a produsului vectorial al doi vectori și vom lua în considerare soluții la diferite exemple tipice.

Navigare în pagină.

Definiția unui produs încrucișat.

Înainte de a defini un produs vectorial, să ne dăm seama de orientarea unui triplet ordonat de vectori în spațiul tridimensional.

Lăsați vectorii deoparte dintr-un punct. În funcție de direcția vectorului, tripletul poate fi la dreapta sau la stânga. Să vedem de la sfârșitul vectorului cum are loc cea mai scurtă rotație de la vector la. Dacă cea mai scurtă rotație are loc în sens invers acelor de ceasornic, atunci se numește tripletul vectorilor dreapta, in caz contrar - stânga.

Acum luăm doi vectori necoliniari și. Să lăsăm vectorii deoparte și din punctul A. Să construim un vector perpendicular pe ambele și și. Evident, atunci când construim un vector, putem face două lucruri, oferindu-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

În funcție de direcția vectorului, tripletul ordonat al vectorilor poate fi dreapta sau stânga.

Deci ne apropiem de definiția unui produs vectorial. Este dat pentru doi vectori, dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiție.

Produs vectorial al doi vectoriși, dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se numește vector astfel încât

Produsul vectorial al vectorilor și se notează ca.

Coordonatele produsului vectorial.

Acum să dăm a doua definiție a unui produs vectorial, care vă permite să găsiți coordonatele acestuia după coordonatele vectorilor dați și.

Definiție.

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs încrucișat a doi vectori și este un vector, unde sunt vectori de coordonate.

Această definiție ne oferă produsul încrucișat sub formă de coordonate.

Este convenabil să se reprezinte produsul vectorial sub forma unui determinant al unei matrice pătrate de ordinul al treilea, al cărui prim rând este reprezentat de vectorii unitari, al doilea rând conține coordonatele vectorului, iar al treilea conține coordonatele lui vectorul dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular dat:

Dacă extindem acest determinant cu elementele primei linii, atunci obținem egalitate din definiția unui produs vectorial în coordonate (dacă este necesar, consultați articolul):

Trebuie remarcat faptul că forma coordonată a produsului încrucișat este pe deplin conformă cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. Mai mult, aceste două definiții ale produsului încrucișat sunt echivalente. Dovada acestui fapt o puteți vedea în cartea indicată la finalul articolului.

Proprietățile produsului vectorial.

Deoarece produsul încrucișat în coordonate poate fi reprezentat sub forma unui determinant de matrice, următoarele sunt ușor justificate pe baza: proprietățile produsului vectorial:

Ca exemplu, să demonstrăm proprietatea de anti-comutativitate a unui produs vectorial.

Prin definitie și ... Știm că valoarea determinantului matricei este inversată dacă două rânduri sunt schimbate, prin urmare, , care demonstrează proprietatea de anti-comutativitate a produsului vectorial.

Produs vectorial - exemple și soluții.

Practic, există trei tipuri de sarcini.

În problemele de primul tip, sunt date lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei și se cere să se găsească lungimea produsului vectorial. În acest caz, se utilizează formula .

Exemplu.

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor și, dacă este cunoscut .

Soluţie.

Știm din definiție că lungimea produsului vectorial al vectorilor și este egală cu produsul lungimilor vectorilor și sinusul unghiului dintre ei, prin urmare, .

Răspuns:

Problemele de al doilea tip sunt asociate cu coordonatele vectorilor, în care produsul încrucișat, lungimea acestuia sau altceva este căutat prin coordonatele vectorilor dați și .

O mulțime de opțiuni diferite sunt posibile aici. De exemplu, nu coordonatele vectorilor și pot fi specificate, ci extinderea lor în vectori de coordonate de formă și, sau vectori și pot fi specificate prin coordonatele punctelor lor de început și de sfârșit.

Să luăm în considerare exemplele tipice.

Exemplu.

Doi vectori sunt dați într-un sistem de coordonate dreptunghiular ... Găsiți produsul lor încrucișat.

Soluţie.

Conform celei de-a doua definiții, produsul încrucișat al doi vectori în coordonate se scrie astfel:

Am ajunge la același rezultat dacă produsul încrucișat s-ar scrie în termeni de determinant

Răspuns:

Exemplu.

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor și unde sunt vectorii unitari ai unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Soluţie.

În primul rând, găsim coordonatele produsului vectorial într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat.

Deoarece vectori și au coordonate și, în consecință (dacă este necesar, vezi coordonatele articolului unui vector într-un sistem de coordonate dreptunghiulare), atunci prin a doua definiție a unui produs încrucișat avem

Adică produsul încrucișat are coordonate într-un sistem de coordonate dat.

Găsim lungimea produsului vectorial ca rădăcină pătrată a sumei pătratelor coordonatelor sale (am obținut această formulă pentru lungimea unui vector în secțiunea privind găsirea lungimii unui vector):

Răspuns:

Exemplu.

Coordonatele a trei puncte sunt date într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Găsiți un vector care este perpendicular și în același timp.

Soluţie.

Vectori și au coordonatele și, respectiv (vezi articolul despre găsirea coordonatelor unui vector prin coordonatele punctelor). Dacă găsim produsul vectorial al vectorilor și, atunci, prin definiție, este un vector perpendicular atât pe k, cât și pe k, adică este soluția problemei noastre. Gaseste-l

Răspuns:

- unul dintre vectorii perpendiculari.

În sarcinile de al treilea tip, este testată abilitățile de utilizare a proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea proprietăților, se aplică formulele corespunzătoare.

Exemplu.

Vectorii și sunt perpendiculari, iar lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 4. Aflați lungimea produsului încrucișat .

Soluţie.

Prin proprietatea de distributivitate a unui produs vectorial, putem scrie

Datorită proprietății combinației, scoatem coeficienții numerici în afara semnului produselor vectoriale din ultima expresie:

Produsele vectoriale și sunt egale cu zero, deoarece și , atunci .

Deoarece produsul încrucișat este anticomutativ, atunci.

Deci, folosind proprietățile produsului vectorial, am ajuns la egalitate .

Prin condiție vectorii și sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este egal. Adică avem toate datele pentru a găsi lungimea necesară

Răspuns:

Sensul geometric al produsului vectorial.

Prin definiție, lungimea produsului vectorial al vectorilor este ... Și dintr-un curs de geometrie de liceu, știm că aria unui triunghi este jumătate din produsul lungimilor celor două laturi ale triunghiului cu sinusul unghiului dintre ele. În consecință, lungimea produsului vectorial este egală cu dublul aria unui triunghi cu vectori și laturi, dacă acestea sunt puse deoparte dintr-un punct. Cu alte cuvinte, lungimea produsului vectorial al vectorilor și este egală cu aria unui paralelogram cu laturile și unghiul dintre ele egal cu. Acesta este sensul geometric al unui produs vectorial.

În această lecție, ne vom uita la alte două operații vectoriale: produs vectorial al vectorilorși produs mixt al vectorilor (link imediat, cine are nevoie)... E în regulă, se întâmplă uneori ca pentru fericire deplină, pe lângă produs scalar al vectorilor, este nevoie din ce în ce mai mult. Aceasta este dependența de vectori. S-ar putea avea impresia că intrăm în jungla geometriei analitice. Nu este adevarat. În această secțiune de matematică superioară, în general nu este suficient lemn de foc, cu excepția faptului că este suficient pentru Buratino. De fapt, materialul este foarte comun și simplu - cu greu mai complicat decât același produs scalar, vor fi chiar mai puține sarcini tipice. Principalul lucru în geometria analitică, așa cum mulți vor fi convinși sau s-au convins deja, este să NU FEI GREȘEL ÎN CALCULE. Repetați ca vrajă și veți fi fericit =)

Dacă vectorii scânteie undeva departe, ca fulgerul la orizont, nu contează, începe cu lecția Vectori pentru manechine pentru a recupera sau redobândi cunoștințele de bază despre vectori. Cititorii mai pregătiți se pot familiariza cu informațiile în mod selectiv, am încercat să colectez cea mai completă colecție de exemple care se găsesc adesea în lucrările practice

Cum să te mulțumesc imediat? Când eram mică, știam să jonglez cu două sau chiar trei mingi. S-a dovedit cu dexteritate. Acum nu va trebui să jonglați deloc, pentru că vom lua în considerare numai vectori spațiali, iar vectorii plani cu două coordonate vor fi lăsați afară. De ce? Așa s-au născut aceste acțiuni - vectorul și produsul mixt al vectorilor sunt definite și funcționează în spațiul tridimensional. Deja este mai ușor!

Aceasta operatie, la fel ca si la produsul punctual, implica doi vectori... Să fie acestea litere nepieritoare.

Acțiunea în sine notatîn felul următor: . Există și alte opțiuni, dar sunt obișnuit să notez produsul vectorial al vectorilor astfel, între paranteze drepte cu o cruce.

Și imediat întrebare: dacă în produs scalar al vectorilor sunt implicați doi vectori și, de asemenea, aici se înmulțesc doi vectori Care este diferența? Diferența evidentă este, în primul rând, în REZULTAT:

Rezultatul produsului scalar al vectorilor este NUMĂR:

Produsul vectorial al vectorilor are ca rezultat un VECTOR:, adică înmulțim vectorii și obținem din nou un vector. Club închis. De fapt, de aici și numele operațiunii. În diferite literaturi educaționale, denumirile pot varia și ele, voi folosi litera.

Definiția unui produs încrucișat

Mai întâi va fi o definiție cu o imagine, apoi comentarii.

Definiție: După produs vectorial necoliniare vectori, luate în această ordine, numit VECTOR, lungime care numeric egală cu aria paralelogramului construit pe acești vectori; vector ortogonală la vectori, și este îndreptată astfel încât baza să aibă o orientare corectă:

Analizăm definiția după oase, sunt multe lucruri interesante!

Astfel, se pot evidenția următoarele puncte esențiale:

1) Vectorii originali, notați prin săgeți roșii, prin definiție nu coliniare... Va fi potrivit să luăm în considerare cazul vectorilor coliniari puțin mai târziu.

2) Se iau vectorii într-o ordine strict definită: – „A” se înmulțește cu „bh”, și nu „bh” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectoriale este VECTORUL, care este marcat cu albastru. Dacă vectorii sunt înmulțiți în ordine inversă, obținem un vector egal în lungime și opus în direcție (culoare purpurie). Adică, egalitatea este adevărată .

3) Acum să ne familiarizăm cu semnificația geometrică a produsului vectorial. Acesta este un punct foarte important! LUNGIMEA vectorului albastru (și, prin urmare, a vectorului purpuriu) este numeric egală cu AREA paralelogramului construit pe vectori. În figură, acest paralelogram este umbrit în negru.

Notă : desenul este schematic și, desigur, lungimea nominală a produsului încrucișat nu este egală cu aria paralelogramului.

Reamintim una dintre formulele geometrice: aria paralelogramului este egală cu produsul laturilor adiacente cu sinusul unghiului dintre ele... Prin urmare, pe baza celor de mai sus, formula de calcul a LUNGIMEI unui produs vectorial este valabilă:

Subliniez că în formulă vorbim despre LUNGIMEA vectorului, și nu despre vectorul în sine. Care este punctul practic? Și semnificația este că, în problemele de geometrie analitică, aria unui paralelogram este adesea găsită prin conceptul de produs vectorial:

Să luăm a doua formulă importantă. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) îl împarte în două triunghiuri egale. Prin urmare, aria unui triunghi construit pe vectori (umbrire roșie) poate fi găsită prin formula:

4) Un fapt la fel de important este că vectorul este ortogonal cu vectori, adică ... Desigur, vectorul direcționat opus (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii originali.

5) Vectorul este îndreptat astfel încât bază Are dreapta orientare. În lecția despre trecerea la o nouă bază Am vorbit suficient de detaliat despre orientarea planului, iar acum ne vom da seama care este orientarea spațiului. Îți voi explica pe degete mana dreapta... Combinați mental degetul arătător cu vector şi degetul mijlociu cu vector. Inelar și miz apăsați-l în palma mâinii. Ca rezultat deget mare- produsul încrucișat va căuta în sus. Aceasta este baza orientată spre dreapta (în figură este aceasta). Acum schimbați vectorii ( degetele arătător și mijlociu) pe alocuri, ca urmare, degetul mare se va desfășura, iar produsul încrucișat va privi deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază orientată spre dreapta. Poate ai o întrebare: care este baza orientării la stânga? „Atribuiți” acelorași degete mâna stângă vectori și obțineți baza stângă și orientarea la stânga a spațiului (în acest caz, degetul mare va fi situat în direcția vectorului inferior)... Figurat vorbind, aceste baze „se răsucesc” sau orientează spațiul în direcții diferite. Și acest concept nu ar trebui să fie considerat ceva exagerat sau abstract - de exemplu, orientarea spațiului este schimbată de cea mai obișnuită oglindă, iar dacă „trageți obiectul reflectat din oglindă”, atunci în cazul general. nu se va putea combina cu „originalul”. Apropo, aduceți trei degete la oglindă și analizați reflexia ;-)

... cât de bine este despre care știi acum orientat spre dreapta si stanga baze, pentru că afirmațiile unor lectori despre schimbarea de orientare sunt groaznice =)

Produsul încrucișat al vectorilor coliniari

Definiția a fost analizată în detaliu, rămâne să aflăm ce se întâmplă când vectorii sunt coliniari. Dacă vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi localizați pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru se „pliază” într-o singură linie dreaptă. Zona de astfel de, așa cum spun matematicienii, degenerat paralelogramul este zero. Același lucru rezultă din formula - sinusul lui zero sau 180 de grade este egal cu zero, ceea ce înseamnă că aria este zero.

Astfel, dacă, atunci și ... Rețineți că produsul încrucișat în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică acest lucru este adesea neglijat și scris că este și zero.

Un caz special este produsul vectorial al unui vector în sine:

Folosind produsul încrucișat, puteți verifica coliniaritatea vectorilor tridimensionali și vom analiza și această problemă, printre altele.

Pentru a rezolva exemple practice, este posibil să aveți nevoie tabel trigonometric pentru a găsi valorile sinusului din acesta.

Ei bine, hai să aprindem un foc:

Exemplul 1

a) Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor dacă

b) Aflați aria unui paralelogram construit pe vectori dacă

Soluţie: Nu, aceasta nu este o greșeală de tipar, am făcut în mod deliberat datele inițiale din clauzele condiției la fel. Pentru că designul soluțiilor va fi diferit!

a) Prin conditie se cere sa se gaseasca lungimea vector (produs vectorial). Conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Deoarece întrebarea a fost pusă despre lungime, atunci în răspuns indicăm dimensiunea - unități.

b) Prin conditie se cere sa se gaseasca pătrat un paralelogram construit pe vectori. Aria acestui paralelogram este numeric egală cu lungimea produsului vectorial:

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți că răspunsul despre produsul vectorial este deloc exclus, despre care am fost întrebați zona figurii, respectiv, dimensiunea este unități pătrate.

Ne uităm mereu la CE trebuie să fie găsit de condiție și, pe baza acesteia, formulăm clar Răspuns. Poate părea literalism, dar există destui literaliști printre profesori, iar sarcina cu șanse mari va reveni pentru revizuire. Deși aceasta nu este o sâcâială deosebit de tensionată - dacă răspunsul este incorect, atunci se are impresia că persoana nu înțelege lucruri simple și/sau nu înțelege esența sarcinii. Acest moment trebuie ținut mereu sub control, rezolvând orice problemă la matematică superioară, dar și la alte materii.

Unde s-a dus litera mare „en”? În principiu, ar putea fi blocat suplimentar în soluție, dar pentru a scurta înregistrarea, nu am făcut-o. Sper că toată lumea înțelege asta și este o desemnare a aceluiași lucru.

Exemplu popular pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 2

Găsiți aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Formula pentru găsirea ariei unui triunghi prin produsul încrucișat este dată în comentariile la definiție. Soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

În practică, sarcina este într-adevăr foarte comună, triunghiurile te pot tortura în general.

Pentru a rezolva alte probleme, avem nevoie de:

Proprietățile produsului vectorial

Am luat deja în considerare unele proprietăți ale produsului încrucișat, totuși, le voi include în această listă.

Pentru vectorii arbitrari și un număr arbitrar, următoarele proprietăți sunt valabile:

1) În alte surse de informații, acest articol nu este de obicei evidențiat în proprietăți, dar este foarte important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) - mai sus se discuta si proprietatea, uneori se numeste anticomutativitatea... Cu alte cuvinte, ordinea vectorilor contează.

3) - combinație sau asociativ legile unui produs vectorial. Constantele sunt eliminate fără probleme în afara produsului vectorial. Într-adevăr, ce ar trebui să facă acolo?

4) - distributie sau distributiv legile unui produs vectorial. Nici cu extinderea bracket-urilor nu sunt probleme.

Ca o demonstrație, luați în considerare un exemplu scurt:

Exemplul 3

Găsiți dacă

Soluţie:În funcție de condiție, este din nou necesar să se găsească lungimea produsului încrucișat. Să ne scriem miniatura:

(1) Conform legilor asociative, mutăm constantele în afara diviziunii produsului vectorial.

(2) Mutăm constanta din modul, în timp ce modulul „mâncă” semnul minus. Lungimea nu poate fi negativă.

(3) Ceea ce urmează este clar.

Răspuns:

Este timpul să punem niște lemne pe foc:

Exemplul 4

Calculați aria unui triunghi construit pe vectori dacă

Soluţie: Aria triunghiului se găsește prin formula ... Problema este că vectorii „tse” și „de” sunt ei înșiși reprezentați ca sume de vectori. Algoritmul de aici este standard și amintește oarecum de exemplele 3 și 4 ale lecției Produsul punctual al vectorilor... Pentru claritate, să împărțim soluția în trei etape:

1) La primul pas, exprimăm produsul vectorial în termeni de produs vectorial, de fapt, exprimă vectorul în termeni de vector... Nici un cuvânt despre lungimi încă!

(1) Înlocuiți expresii vectoriale.

(2) Folosind legile distributive, extindem parantezele după regula înmulțirii polinoamelor.

(3) Folosind legi asociative, mutăm toate constantele în afara produselor vectoriale. Cu puțină experiență, acțiunile 2 și 3 pot fi efectuate simultan.

(4) Primul și ultimul termen sunt egali cu zero (vector zero) datorită unei proprietăți plăcute. În al doilea termen, folosim proprietatea de anticomutativitate a produsului vectorial:

(5) Prezentăm termeni similari.

Ca rezultat, vectorul a fost exprimat în termeni de vector, care era ceea ce trebuia să fie realizat:

2) La a doua etapă, găsim lungimea produsului vectorial de care avem nevoie. Această acțiune seamănă cu Exemplul 3:

3) Găsiți aria triunghiului necesar:

Stadiile 2-3 deciziile ar putea fi finalizate într-o singură linie.

Răspuns:

Problema luată în considerare este destul de comună în lucrările de testare, iată un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 5

Găsiți dacă

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul tutorialului. Să vedem cât de atent ai fost când ai studiat exemplele anterioare ;-)

Produs vectorial al vectorilor în coordonate

dat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: în linia superioară a determinantului scriem vectorii de coordonate, în a doua și a treia linie „punem” coordonatele vectorilor și punem în ordine strictă- mai întâi coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci liniile trebuie schimbate:

Exemplul 10

Verificați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:
A)
b)

Soluţie: Verificarea se bazează pe una dintre afirmațiile din această lecție: dacă vectorii sunt coliniari, atunci produsul lor încrucișat este egal cu zero (vector zero): .

a) Găsiți produsul încrucișat:

Astfel, vectorii nu sunt coliniari.

b) Găsiți produsul încrucișat:

Răspuns: a) nu este coliniar, b)

Aici, probabil, sunt toate informațiile de bază despre produsul vectorial al vectorilor.

Această secțiune nu va fi foarte mare, deoarece nu există multe sarcini în care se utilizează un produs mixt de vectori. De fapt, totul se va baza pe definiție, sens geometric și câteva formule de lucru.

Produsul mixt al vectorilor este produsul a trei vectori:

Așa că s-au aliniat cu un tren mic și așteaptă, abia așteaptă să fie deslușiți.

În primul rând, din nou definiția și imaginea:

Definiție: Lucru mixt necoplanare vectori, luate în această ordine se numește volumul unui paralelipiped, construit pe vectorii dați, furnizat cu un semn „+” dacă baza este corectă și cu un semn „-” dacă baza este stângă.

Să completăm desenul. Liniile invizibile pentru noi sunt trasate cu o linie punctată:

Să ne aprofundăm în definiție:

2) Se iau vectorii într-o anumită ordine, adică permutarea vectorilor în produs, după cum ați putea ghici, nu trece fără consecințe.

3) Înainte de a comenta semnificația geometrică, voi remarca un fapt evident: produsul mixt al vectorilor este un NUMĂR:. În literatura educațională, designul poate fi oarecum diferit, sunt obișnuit să desemnez o lucrare mixtă, iar rezultatul calculelor prin litera „pe”.

Prin definitie produsul mixt este volumul unui paralelipiped construit pe vectori (figura este desenată cu vectori roșii și linii negre). Adică, numărul este egal cu volumul acestui paralelipiped.

Notă : desenul este schematic.

4) Să nu ne deranjam din nou cu conceptul de orientare de bază și spațiu. Semnificația părții finale este că se poate adăuga un semn minus la volum. Cu cuvinte simple, o lucrare mixtă poate fi negativă:.

Formula de calcul a volumului unui paralelipiped construit pe vectori rezultă direct din definiție.

Înainte de a da conceptul de produs vectorial, să ne întoarcem la întrebarea orientării unui triplet ordonat de vectori a →, b →, c → în spațiul tridimensional.

Să lăsăm deoparte pentru început vectorii a →, b →, c → dintr-un punct. Orientarea triplei a →, b →, c → poate fi dreapta sau stânga, în funcție de direcția vectorului c → însuși. Din sensul în care se face cea mai scurtă rotație de la vectorul a → la b → de la capătul vectorului c → se va determina forma triplul a →, b →, c →.

Dacă cea mai scurtă rotație este în sens invers acelor de ceasornic, atunci tripletul vectorilor a →, b →, c → se numește dreapta dacă în sensul acelor de ceasornic - stânga.

În continuare, luăm doi vectori necoliniari a → și b →. Să amânăm atunci vectorii A B → = a → și A C → = b → din punctul A. Construim un vector A D → = c →, care este simultan perpendicular atât pe A B → cât și pe A C →. Astfel, atunci când construim vectorul în sine A D → = c → putem face două lucruri, dându-i fie o direcție, fie invers (vezi ilustrația).

Triplul ordonat al vectorilor a →, b →, c → poate fi, după cum am aflat, dreapta sau stânga, în funcție de direcția vectorului.

Din cele de mai sus, putem introduce definiția unui produs încrucișat. Această definiție este dată pentru doi vectori definiți într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional.

Definiția 1

Produsul vectorial al doi vectori a → și b → vom numi un astfel de vector dat într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional astfel încât:

dacă vectorii a → și b → sunt coliniari, va fi zero;
va fi perpendicular atât pe vectorul a → cât și pe vectorul b → adică. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
lungimea sa este determinată de formula: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
tripletul vectorilor a →, b →, c → are aceeași orientare ca și sistemul de coordonate dat.

Produsul vectorial al vectorilor a → și b → are următoarea notație: a → × b →.

Coordonatele produsului vectorial

Deoarece orice vector are anumite coordonate în sistemul de coordonate, puteți introduce a doua definiție a produsului încrucișat, care vă va permite să găsiți coordonatele acestuia după coordonatele date ale vectorilor.

Definiția 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional produs vectorial al doi vectori a → = (a x; a y; a z) și b → = (b x; b y; b z) numit vectorul c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, unde i →, j →, k → sunt vectori de coordonate.

Produsul vectorial poate fi reprezentat ca determinant al unei matrice pătrate de ordinul al treilea, unde primul rând sunt vectorii vectorilor unitari i →, j →, k →, al doilea rând conține coordonatele vectorului a →, iar al treilea conține coordonatele vectorului b → într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, acest determinant al matricei arată astfel: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Extinderea acestui determinant peste elementele primului rând, obținem egalitatea: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Proprietățile produsului vectorial

Se știe că produsul vectorial în coordonate este reprezentat ca determinant al matricei c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, apoi pe baza proprietăţile determinantului matricei afișează următoarele proprietăți ale produsului vectorial:

anticomutatie a → × b → = - b → × a →;
distributivitatea a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → sau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
asociativitatea λ a → × b → = λ a → × b → sau a → × (λ b →) = λ a → × b →, unde λ este un număr real arbitrar.

Aceste proprietăți nu sunt greu de demonstrat.

Ca exemplu, putem demonstra proprietatea de anti-comutativitate a unui produs vectorial.

Dovada anticomutativității

Prin definiție, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z și b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Și dacă două rânduri ale matricei sunt rearanjate, atunci valoarea determinantului matricei ar trebui să se schimbe la opus, prin urmare, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, care și dovedește anti-comutativitatea produsului vectorial.

Produs vectorial - exemple și soluții

În cele mai multe cazuri, există trei tipuri de sarcini.

În problemele de primul tip, lungimile a doi vectori și unghiul dintre ei sunt de obicei date, dar trebuie să găsiți lungimea produsului încrucișat. În acest caz, utilizați următoarea formulă c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

Exemplul 1

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor a → și b → dacă cunoașteți a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Soluţie

Determinând lungimea produsului vectorial al vectorilor a → și b → vom rezolva această problemă: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

Răspuns: 15 2 2 .

Problemele de al doilea tip au o legătură cu coordonatele vectorilor, în ele produsul încrucișat, lungimea acestuia etc. sunt căutate prin coordonatele cunoscute ale vectorilor dați a → = (a x; a y; a z) și b → = (b x; b y; b z) .

Pentru acest tip de sarcină, puteți rezolva o mulțime de opțiuni pentru sarcini. De exemplu, nu pot fi date coordonatele vectorilor a → și b →, ci expansiunile lor în vectori de coordonate de forma b → = b x i → + b y j → + b z k → și c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, sau vectorii a → și b → pot fi specificați după coordonatele punctelor lor de început și de sfârșit.

Luați în considerare următoarele exemple.

Exemplul 2

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular, sunt dați doi vectori a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Găsiți produsul lor încrucișat.

Soluţie

Prin a doua definiție, găsim produsul vectorial al doi vectori în coordonatele date: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Dacă scriem produsul vectorial prin determinantul matricei, atunci soluția acestui exemplu arată astfel: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Răspuns: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Exemplul 3

Aflați lungimea produsului vectorial al vectorilor i → - j → și i → + j → + k →, unde i →, j →, k → sunt vectorii unitari ai unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare.

Soluţie

În primul rând, găsim coordonatele produsului vectorial dat i → - j → × i → + j → + k → în sistemul de coordonate dreptunghiular dat.

Se știe că vectorii i → - j → și i → + j → + k → au coordonatele (1; - 1; 0) și respectiv (1; 1; 1). Să găsim lungimea produsului vectorial folosind determinantul matricei, atunci avem i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

Prin urmare, produsul vectorial i → - j → × i → + j → + k → are coordonate (- 1; - 1; 2) în sistemul de coordonate dat.

Găsim lungimea produsului vectorial prin formula (vezi secțiunea privind găsirea lungimii unui vector): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Răspuns: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

Exemplul 4

Într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare, sunt date coordonatele a trei puncte A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Găsiți un vector perpendicular pe A B → și A C → în același timp.

Soluţie

Vectorii A B → și A C → au următoarele coordonate (- 1; 2; 2) și respectiv (0; 4; 1). După ce am găsit produsul vectorial al vectorilor A B → și A C →, este evident că este un vector perpendicular prin definiție atât pe A B → cât și pe A C →, adică este o soluție a problemei noastre. Să o găsim A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

Răspuns: - 6 i → + j → - 4 k →. - unul dintre vectorii perpendiculari.

Problemele de al treilea tip sunt concentrate pe utilizarea proprietăților produsului vectorial al vectorilor. După aplicarea căruia, vom obține o soluție la problema dată.

Exemplul 5

Vectorii a → și b → sunt perpendiculari și lungimile lor sunt 3 și, respectiv, 4. Aflați lungimea produsului vectorial 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Soluţie

Prin proprietatea de distributivitate a unui produs vectorial, putem scrie 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Prin proprietatea asociativității, mutăm coeficienții numerici în afara semnului produselor vectoriale în ultima expresie: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Produsele vectoriale a → × a → și b → × b → sunt 0 deoarece a → × a → = a → a → sin 0 = 0 și b → × b → = b → b → sin 0 = 0, apoi 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Anticomutatibilitatea produsului vectorial presupune - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

Folosind proprietățile produsului vectorial, obținem egalitatea 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

Prin ipoteză, vectorii a → și b → sunt perpendiculari, adică unghiul dintre ei este π 2. Acum rămâne doar să înlocuim valorile găsite în formulele corespunzătoare: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

Răspuns: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Lungimea produsului vectorial al vectorilor prin ordonare este egală cu a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Deoarece se știe deja (din cursul școlar) că aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul lungimilor celor două laturi înmulțit cu sinusul unghiului dintre aceste laturi. Prin urmare, lungimea produsului vectorial este egală cu aria paralelogramului - triunghiul dublat, și anume produsul laturilor sub forma vectorilor a → și b →, reprezentați dintr-un punct, de sinusul unghi dintre ele sin ∠ a →, b →.

Acesta este sensul geometric al produsului vectorial.

Semnificația fizică a unui produs vectorial

În mecanică, una dintre ramurile fizicii, datorită produsului vectorial, puteți determina momentul de forță relativ la un punct din spațiu.

Definiția 3

Prin momentul forței F → aplicat punctului B, raportat la punctul A, înțelegem următorul produs vectorial A B → × F →.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

PRODUS MIXAT DIN TREI VECTORI ȘI PROPRIETĂȚILE EI

Munca mixta trei vectori se numesc număr egal cu. Notat ... Aici primii doi vectori sunt înmulțiți vectorial și apoi vectorul rezultat este înmulțit scalar cu al treilea vector. Evident, un astfel de produs este un anumit număr.

Luați în considerare proprietățile produsului amestecat.

Sensul geometric munca mixta. Produsul mixt a 3 vectori, până la un semn, este egal cu volumul unui paralelipiped construit pe acești vectori, ca pe muchii, i.e. ...
Astfel, și .

Dovada... Lăsați deoparte vectorii de origine comună și construiți un paralelipiped pe ei. Să notăm și să notăm că. După definiția produsului punctual

Presupunând că și notând prin hînălțimea paralelipipedului, găsim.

Astfel, pentru

Dacă, atunci și. Prin urmare, .

Combinând ambele cazuri, obținem sau.

În special, din demonstrarea acestei proprietăți rezultă că dacă tripletul vectorilor este drept, atunci este un produs mixt, iar dacă este stânga, atunci.
Pentru orice vector,, egalitatea
Dovada acestei proprietăți rezultă din proprietatea 1. Într-adevăr, este ușor să arăți că și. Mai mult, semnele „+” și „-” sunt luate simultan, deoarece unghiurile dintre vectorii și și și sunt ambele acute sau obtuze.
La permutarea oricăror doi factori, produsul mixt își schimbă semnul.
Într-adevăr, dacă luăm în considerare o lucrare mixtă, atunci, de exemplu, sau
Produs mixt dacă și numai dacă unul dintre factori este zero sau vectorii sunt coplanari.
Dovada.

Astfel, o condiție necesară și suficientă pentru coplanaritatea a 3 vectori este egalitatea cu zero a produsului lor mixt. În plus, rezultă că trei vectori formează o bază în spațiu, dacă.

Dacă vectorii sunt dați sub formă de coordonate, atunci se poate demonstra că produsul lor mixt se găsește prin formula:

.

Astfel, produsul mixt este egal cu determinantul de ordinul trei, în care prima linie conține coordonatele primului vector, a doua linie conține coordonatele celui de-al doilea vector, iar a treia linie conține al treilea vector.

Exemple.

GEOMETRIE ANALITĂ ÎN SPAȚIU

Ecuația F (x, y, z)= 0 definește în spațiu Oxyz oarecare suprafață, adică locul punctelor ale căror coordonate x, y, z satisface această ecuație. Această ecuație se numește ecuația suprafeței și x, y, z- coordonatele curente.

Cu toate acestea, adesea suprafața nu este specificată printr-o ecuație, ci ca un set de puncte din spațiu care au una sau alta proprietate. În acest caz, este necesar să găsiți ecuația suprafeței pe baza proprietăților sale geometrice.

AVION.

VECTOR PLAN NORMAL.

ECUAȚIA PENTRU UN AVION ÎN TRECARE PENTRU UN PUNCT DATE

Considerăm un plan arbitrar σ în spațiu. Poziția sa este determinată prin specificarea unui vector perpendicular pe acest plan și a unui punct fix M 0(x 0, y 0, z 0) situată în planul σ.

Un vector perpendicular pe planul σ se numește normal vector al acestui plan. Fie ca vectorul să aibă coordonate.

Să derivăm ecuația planului σ care trece printr-un punct dat M 0și având un vector normal. Pentru a face acest lucru, luați un punct arbitrar pe planul σ M (x, y, z)și luați în considerare un vector.

Pentru orice punct MÎ σ este un vector Prin urmare, produsul lor scalar este egal cu zero. Această egalitate este condiția ca punctul MÎ σ. Este valabil pentru toate punctele acestui plan și este încălcat de îndată ce punctul M va fi în afara planului σ.

Dacă notăm cu vectorul rază a punctului M, Este vectorul rază al punctului M 0, atunci ecuația poate fi scrisă și sub forma

Această ecuație se numește vector ecuația planului. Să-l notăm sub formă de coordonate. De atunci

Deci, am obținut ecuația avionului care trece prin acest punct. Astfel, pentru a forma ecuația planului, trebuie să cunoașteți coordonatele vectorului normal și coordonatele unui punct situat pe plan.

Rețineți că ecuația planului este o ecuație de gradul I în raport cu coordonatele curente X yși z.

Exemple.

ECUAȚIA GENERALĂ A AVIONULUI

Se poate arăta că orice ecuație de gradul I în raport cu coordonatele carteziene x, y, z este o ecuație a unui anumit plan. Această ecuație se scrie astfel:

Ax + By + Cz + D=0

și a sunat ecuație generală planul și coordonatele A, B, C aici sunt coordonatele vectorului normal al planului.

Luați în considerare cazuri speciale ale ecuației generale. Să aflăm cum este situat planul în raport cu sistemul de coordonate dacă unul sau mai mulți coeficienți ai ecuației dispar.

A este lungimea liniei tăiate de planul pe axă Bou... În mod similar, se poate arăta asta bși c- lungimile segmentelor tăiate de planul în cauză pe axe Oiși Oz.

Este convenabil să folosiți ecuația plană în segmente de linie pentru a construi planuri.

7.1. Definiția unui produs încrucișat

Trei vectori necoplanari a, b și c, luați în ordinea indicată, formează un triplet drept dacă, de la sfârșitul celui de-al treilea vector c, cea mai scurtă rotație de la primul vector a la al doilea vector b este văzută în sens invers acelor de ceasornic și stânga, dacă este în sensul acelor de ceasornic (vezi Fig. 16).

Produsul vectorial al unui vector a de un vector b este un vector c, care:

1. Perpendicular pe vectorii a și b, adică c ^ a și c ^ b;

2. Are o lungime egală numeric cu aria unui paralelogram construit pe vectorii a șib ca pe laterale (vezi fig. 17), adică.

3. Vectorii a, b și c formează un triplet din dreapta.

Produsul încrucișat este notat cu a x b sau [a, b]. Definiția unui produs vectorial implică în mod direct următoarele relații între vectorii i, jși k(vezi fig. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Să demonstrăm, de exemplu, că i хj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, dar | eu x j| = | i | | J | sin (90 °) = 1;

3) vectorii i, j și k formează un triplet din dreapta (vezi Fig. 16).

7.2. Proprietățile produsului vectorial

1. Când factorii sunt rearanjați, produsul vectorial își schimbă semnul; a xb = (b xa) (vezi Fig. 19).

Vectorii a xb și b sunt coliniari, au aceiași module (aria paralelogramului rămâne neschimbată), dar cu direcții opuse (triplurile a, b, a xb și a, b, b x a de orientare opusă). Acesta este un xb = -(b xa).

2. Produsul vectorial posedă proprietatea combinatorie față de factorul scalar, adică l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

Fie l> 0. Vectorul l (a xb) este perpendicular pe vectorii a și b. Vector ( l a) x b este de asemenea perpendiculară pe vectorii a și b(vectorii a, lși se află în același plan). De aici vectorii l(a xb) și ( l a) x b coliniare. Evident, direcțiile lor coincid. Au aceeasi lungime:

Asa de l(a хb) = l un xb. Se poate dovedi similar pentru l<0.

3. Doi vectori nenuli a și b coliniare dacă și numai dacă produsul lor încrucișat este egal cu vectorul zero, adică a || b<=>a xb = 0.

În special, i * i = j * j = k * k = 0.

4. Produsul vectorial are proprietatea de distribuție:

(a + b) xc = a xc + b xc.

O vom accepta fără dovezi.

7.3. Exprimarea produsului încrucișat în termeni de coordonate

Vom folosi tabelul cu produse încrucișate a vectorilor i, jși k:

dacă direcția căii celei mai scurte de la primul vector la al doilea coincide cu direcția săgeții, atunci produsul este egal cu al treilea vector, dacă nu, al treilea vector este luat cu semnul minus.

Să fie dați doi vectori a = a x i + a y j+ a z kși b = b x i+ de y j+ b z k... Să găsim produsul încrucișat al acestor vectori, înmulțindu-i ca polinoame (în funcție de proprietățile produsului încrucișat):

Formula rezultată poate fi scrisă și mai scurt:

întrucât partea dreaptă a egalității (7.1) corespunde expansiunii determinantului de ordinul al treilea în ceea ce privește elementele primului rând.Egalitatea (7.2) este ușor de reținut.

7.4. Unele aplicații ale lucrului vectorial

Stabilirea vectorilor coliniari

Aflarea ariei unui paralelogram și a unui triunghi

Conform definiţiei produsului vectorial al vectorilor Ași b | a xb | =| a | * | b | sin g, adică S perechi = | a x b |. Și, prin urmare, D S = 1/2 | a x b |.

Determinarea momentului de forță relativ la un punct

Să fie aplicată o forță în punctul A F = AB lăsați-l să plece O- un punct din spațiu (vezi Fig. 20).

Din fizică se știe că moment de forta F relativ la punct O se numeste vector M, care trece prin punct Oși:

1) perpendicular pe planul care trece prin puncte O, A, B;

2) egal numeric cu produsul forței pe umăr

3) formează un triplet drept cu vectorii OA și AB.

Prin urmare, M = OA x F.

Aflarea vitezei liniare de rotație

Viteză v punctul M al unui corp rigid care se rotește cu o viteză unghiulară wîn jurul unei axe fixe, este determinată de formula lui Euler v = w хr, unde r = ОМ, unde О este un punct fix al axei (vezi Fig. 21).