Forțe care acționează asupra unui pendul. Secretele pendulului. Conversia energiei în timpul oscilațiilor armonice

Un sistem mecanic care constă dintr-un punct material (corp) atârnat de un fir inextensibil fără greutate (masa sa este neglijabilă în comparație cu greutatea corpului) într-un câmp gravitațional uniform se numește pendul matematic (un alt nume este un oscilator). Există și alte tipuri de acest dispozitiv. În loc de ață, se poate folosi o tijă fără greutate. Un pendul matematic poate dezvălui în mod clar esența multor fenomene interesante. Când amplitudinea vibrației este mică, mișcarea sa se numește armonică.

Prezentare generală a sistemului mecanic

Formula pentru perioada de oscilație a acestui pendul a fost derivată de omul de știință olandez Huygens (1629-1695). Acest contemporan al lui I. Newton era foarte interesat de acest sistem mecanic. În 1656 a creat primul ceas cu mecanism pendul. Ei au măsurat timpul cu o precizie excepțională pentru acele vremuri. Această invenție a devenit o etapă majoră în dezvoltarea experimentelor fizice și a activităților practice.

Dacă pendulul se află în poziția de echilibru (atârnând vertical), acesta va fi echilibrat de forța de întindere a firului. Un pendul plat pe filet inextensibil este un sistem cu două grade de libertate cu cuplare. Când schimbați doar o componentă, caracteristicile tuturor părților sale se schimbă. Deci, dacă firul este înlocuit cu o tijă, atunci acest sistem mecanic va avea doar 1 grad de libertate. Ce proprietăți are un pendul matematic? În acest sistem cel mai simplu, haosul apare sub influența perturbărilor periodice. În cazul în care punctul de suspensie nu se mișcă, ci oscilează, pendulul are o nouă poziție de echilibru. Cu oscilații rapide în sus și în jos, acest sistem mecanic capătă o poziție stabilă „cu susul în jos”. Are și propriul nume. Se numește pendul Kapitsa.

Proprietățile unui pendul

Pendulul matematic are proprietăți foarte interesante. Toate sunt confirmate de legile fizice cunoscute. Perioada de oscilație a oricărui alt pendul depinde de diferite circumstanțe, cum ar fi dimensiunea și forma corpului, distanța dintre punctul de suspensie și centrul de greutate și distribuția masei în raport cu acest punct. De aceea, determinarea perioadei de suspendare a unui corp este o sarcină destul de dificilă. Este mult mai ușor de calculat perioada unui pendul matematic, a cărui formulă va fi dată mai jos. Ca rezultat al observațiilor unor sisteme mecanice similare, pot fi stabilite următoarele modele:

Dacă, menținând aceeași lungime a pendulului, suspendăm greutăți diferite, atunci perioada oscilațiilor lor va fi aceeași, deși masele lor vor varia foarte mult. În consecință, perioada unui astfel de pendul nu depinde de masa încărcăturii.

Dacă, la pornirea sistemului, pendulul este deviat la unghiuri nu prea mari, ci diferite, atunci va începe să oscileze cu aceeași perioadă, dar cu amplitudini diferite. Atâta timp cât abaterile de la centrul de echilibru nu sunt prea mari, vibrațiile în forma lor vor fi destul de apropiate de cele armonice. Perioada unui astfel de pendul nu depinde în niciun fel de amplitudinea oscilatoare. Această proprietate a unui sistem mecanic dat se numește izocronism (tradus din greacă „chronos” - timp, „isos” - egal).

Perioada unui pendul matematic

Acest indicator reprezintă perioada În ciuda formulării complexe, procesul în sine este foarte simplu. Dacă lungimea firului unui pendul matematic este L, iar accelerația căderii libere este g, atunci această valoare este egală cu:

Perioada micilor oscilații naturale nu depinde în niciun fel de masa pendulului și de amplitudinea oscilațiilor. În acest caz, pendulul se mișcă ca unul matematic cu o lungime redusă.

Oscilațiile unui pendul matematic

Un pendul matematic oscilează, ceea ce poate fi descris printr-o ecuație diferențială simplă:

x + ω2 sin x = 0,

unde x (t) este o funcție necunoscută (acesta este unghiul de abatere de la poziția inferioară de echilibru în momentul t, exprimat în radiani); ω este o constantă pozitivă, care este determinată din parametrii pendulului (ω = √g/L, unde g este accelerația gravitației, iar L este lungimea pendulului matematic (suspensia).

Ecuația pentru vibrații mici în apropierea poziției de echilibru (ecuația armonică) arată astfel:

x + ω2 sin x = 0

Mișcări oscilatorii ale unui pendul

Un pendul matematic, care face mici oscilații, se mișcă de-a lungul unei sinusoide. Ecuația diferențială de ordinul doi îndeplinește toate cerințele și parametrii unei astfel de mișcări. Pentru a determina traiectoria, este necesar să se stabilească viteza și coordonatele, din care apoi se determină constante independente:

x = A sin (θ 0 + ωt),

unde θ 0 este faza inițială, A este amplitudinea oscilației, ω este frecvența ciclică determinată din ecuația mișcării.

Pendul matematic (formule pentru amplitudini mari)

Acest sistem mecanic, care oscilează cu o amplitudine semnificativă, este supus unor legi mai complexe ale mișcării. Pentru un astfel de pendul, ele sunt calculate după formula:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

unde sn este sinusul Jacobi, care pentru u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

unde ε = E/mL2 (mL2 este energia pendulului).

Perioada de oscilație a unui pendul neliniar se determină folosind formula:

unde Ω = π/2 * ω/2K(u), K este integrala eliptică, π - 3,14.

Mișcarea unui pendul de-a lungul unei separatrice

O separatoare este traiectoria unui sistem dinamic care are un spațiu de fază bidimensional. Un pendul matematic se mișcă de-a lungul lui neperiodic. Într-un moment infinit de îndepărtat în timp, cade din poziția sa cea mai înaltă pe partea cu viteză zero, apoi o câștigă treptat. În cele din urmă se oprește, revenind la poziția inițială.

Dacă amplitudinea oscilaţiilor pendulului se apropie de numărul π , aceasta indică faptul că mișcarea pe planul de fază se apropie de separatrix. În acest caz, sub influența unei mici forțe periodice motrice, sistemul mecanic prezintă un comportament haotic.

Când un pendul matematic se abate de la poziția de echilibru cu un anumit unghi φ, apare o forță tangențială a gravitației Fτ = -mg sin φ. Semnul minus înseamnă că această componentă tangențială este îndreptată în direcția opusă deformarii pendulului. Când notăm cu x deplasarea pendulului de-a lungul unui arc de cerc cu raza L, deplasarea sa unghiulară este egală cu φ = x/L. A doua lege, destinată proiecțiilor și forței, va da valoarea dorită:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Pe baza acestei relații, este clar că acest pendul este un sistem neliniar, deoarece forța care tinde să-l readucă în poziția de echilibru este întotdeauna proporțională nu cu deplasarea x, ci cu sin x/L.

Numai atunci când un pendul matematic efectuează oscilații mici este un oscilator armonic. Cu alte cuvinte, devine un sistem mecanic capabil să efectueze oscilații armonice. Această aproximare este practic valabilă pentru unghiuri de 15-20°. Oscilațiile unui pendul cu amplitudini mari nu sunt armonice.

Legea lui Newton pentru oscilațiile mici ale unui pendul

Dacă un anumit sistem mecanic efectuează oscilații mici, legea a 2-a a lui Newton va arăta astfel:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Pe baza acestui lucru, putem concluziona că un pendul matematic este proporțional cu deplasarea sa cu semnul minus. Aceasta este condiția datorită căreia sistemul devine un oscilator armonic. Modulul coeficientului de proporționalitate dintre deplasare și accelerație este egal cu pătratul frecvenței circulare:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Această formulă reflectă frecvența naturală a micilor oscilații ale acestui tip de pendul. Bazat pe acest lucru,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Calcule bazate pe legea conservării energiei

Proprietățile unui pendul pot fi descrise și folosind legea conservării energiei. Trebuie luat în considerare faptul că pendulul în câmpul gravitațional este egal cu:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Total este egal cu potențialul cinetic sau maxim: Epmax = Ekmsx = E

După ce s-a scris legea conservării energiei, luați derivata părților drepte și stângi ale ecuației:

Deoarece derivata cantităților constante este egală cu 0, atunci (Ep + Ek)" = 0. Derivata sumei este egală cu suma derivatelor:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

deci:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Pe baza ultimei formule, găsim: α = - g/L*x.

Aplicarea practică a unui pendul matematic

Accelerația variază în funcție de latitudine, deoarece densitatea scoarței terestre nu este aceeași pe întreaga planetă. Acolo unde apar roci cu densitate mai mare, aceasta va fi puțin mai mare. Accelerația unui pendul matematic este adesea folosită pentru explorarea geologică. Este folosit pentru a căuta diferite minerale. Pur și simplu numărând numărul de oscilații ale unui pendul, se poate detecta cărbunele sau minereul în intestinele Pământului. Acest lucru se datorează faptului că astfel de fosile au o densitate și o masă mai mari decât rocile libere subiacente.

Pendulul matematic a fost folosit de oameni de știință remarcabili precum Socrate, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimede. Mulți dintre ei credeau că acest sistem mecanic ar putea influența soarta și viața unei persoane. Arhimede a folosit un pendul matematic în calculele sale. În zilele noastre, mulți ocultiști și psihici folosesc acest sistem mecanic pentru a-și îndeplini profețiile sau pentru a căuta oameni dispăruți.

Celebrul astronom și naturalist francez K. Flammarion a folosit și el un pendul matematic pentru cercetările sale. El a susținut că, cu ajutorul lui, a putut prezice descoperirea unei noi planete, apariția meteoritului Tunguska și alte evenimente importante. În timpul celui de-al Doilea Război Mondial, în Germania (Berlin) a funcționat un Institut specializat al Pendulului. În prezent, Institutul de Parapsihologie din München este angajat în cercetări similare. Angajații acestei unități își numesc munca cu pendulul „radiestezie”.

Pendul matematic numiți un punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil atașat suspensiei și situat în câmpul gravitațional (sau altă forță).

Să studiem oscilațiile unui pendul matematic într-un cadru de referință inerțial, față de care punctul suspensiei sale este în repaus sau se mișcă uniform în linie dreaptă. Vom neglija forța de rezistență a aerului (pendul matematic ideal). Inițial, pendulul este în repaus în poziția de echilibru C. În acest caz, forța gravitațională \(\vec F\) care acționează asupra acestuia și forța elastică \(\vec F_(ynp)\) a firului sunt reciproc compensate.

Să scoatem pendulul din poziţia de echilibru (prin deviere, de exemplu, în poziţia A) şi să-l eliberăm fără o viteză iniţială (Fig. 13.11). În acest caz, forțele \(\vec F\) și \(\vec F_(ynp)\) nu se echilibrează între ele. Componenta tangențială a gravitației \(\vec F_\tau\), care acționează asupra pendulului, îi conferă accelerația tangențială \(\vec a_\tau\) (componenta accelerației totale direcționate de-a lungul tangentei la traiectoria pendulului matematic). ), iar pendulul începe să se deplaseze în poziția de echilibru cu o viteză care crește în valoare absolută. Componenta tangențială a gravitației \(\vec F_\tau\) este astfel o forță de restabilire. Componenta normală \(\vec F_n\) a forței gravitaționale este îndreptată de-a lungul filetului împotriva forței elastice \(\vec F_(ynp)\). Rezultanta forțelor \(\vec F_n\) și \(\vec F_(ynp)\) conferă accelerația normală \(~a_n\) pendulului, care schimbă direcția vectorului viteză, iar pendulul se mișcă de-a lungul unui arc ABCD.

Cu cât pendulul se apropie de poziția de echilibru C, cu atât valoarea componentei tangențiale \(~F_\tau = F \sin \alpha\) devine mai mică. În poziția de echilibru, este egală cu zero, iar viteza atinge valoarea maximă, iar pendulul se deplasează mai departe prin inerție, urcându-se într-un arc ascendent. În acest caz, componenta \(\vec F_\tau\) este îndreptată împotriva vitezei. Odată cu creșterea unghiului de deviere a, modulul de forță \(\vec F_\tau\) crește, iar modulul de viteză scade, iar în punctul D viteza pendulului devine egală cu zero. Pendulul se oprește pentru un moment și apoi începe să se miște în direcția opusă poziției de echilibru. După ce l-a trecut din nou prin inerție, pendulul, încetinindu-și mișcarea, va ajunge în punctul A (nu există frecare), adică. va finaliza un leagăn complet. După aceasta, mișcarea pendulului se va repeta în secvența deja descrisă.

Să obținem o ecuație care descrie oscilațiile libere ale unui pendul matematic.

Fie pendulul la un moment dat de timp în punctul B. Deplasarea lui S față de poziția de echilibru în acest moment este egală cu lungimea arcului SV (adică S = |SV|). Să notăm lungimea firului de suspensie l, iar masa pendulului este m.

Din figura 13.11 este clar că \(~F_\tau = F \sin \alpha\), unde \(\alpha =\frac(S)(l).\) La unghiuri mici \(~(\alpha\).<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Semnul minus este plasat în această formulă deoarece componenta tangențială a gravitației este îndreptată spre poziția de echilibru, iar deplasarea se numără din poziția de echilibru.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Să proiectăm mărimile vectoriale ale acestei ecuații pe direcția tangentei la traiectoria pendulului matematic.

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Din aceste ecuații obținem

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - ecuația dinamică a mișcării unui pendul matematic. Accelerația tangențială a unui pendul matematic este proporțională cu deplasarea acestuia și este îndreptată spre poziția de echilibru. Această ecuație poate fi scrisă ca\. Comparând-o cu ecuația oscilațiilor armonice \(~a_x + \omega^2x = 0\) (vezi § 13.3), putem concluziona că pendulul matematic realizează oscilații armonice. Și întrucât oscilațiile considerate ale pendulului au avut loc doar sub influența forțelor interne, acestea au fost oscilații libere ale pendulului. Prin urmare, oscilaţiile libere ale unui pendul matematic cu abateri mici sunt armonice.

Să notăm \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) De unde \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) este frecvența ciclică a pendulului.

Perioada de oscilație a pendulului este \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Prin urmare,

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Această expresie se numește Formula lui Huygens. Determină perioada de oscilații libere a unui pendul matematic. Din formula rezultă că la unghiuri mici de abatere de la poziția de echilibru, perioada de oscilație a unui pendul matematic: 1) nu depinde de masa și amplitudinea oscilațiilor acestuia; 2) proporțional cu rădăcina pătrată a lungimii pendulului și invers proporțional cu rădăcina pătrată a accelerației gravitației. Acest lucru este în concordanță cu legile experimentale ale oscilațiilor mici ale unui pendul matematic, care au fost descoperite de G. Galileo.

Subliniem că această formulă poate fi folosită pentru a calcula perioada dacă sunt îndeplinite simultan două condiții: 1) oscilațiile pendulului trebuie să fie mici; 2) punctul de suspendare al pendulului trebuie să fie în repaus sau să se miște uniform în linie dreaptă față de cadrul de referință inerțial în care se află.

Dacă punctul de suspensie al unui pendul matematic se mișcă cu accelerația \(\vec a\), atunci forța de întindere a firului se modifică, ceea ce duce la o modificare a forței de restabilire și, în consecință, a frecvenței și perioadei oscilațiilor. După cum arată calculele, perioada de oscilație a pendulului în acest caz poate fi calculată folosind formula

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

unde \(~g"\) este accelerația "efectivă" a pendulului într-un cadru de referință neinerțial. Este egală cu suma geometrică a accelerației gravitației \(\vec g\) și vectorul opus față de vectorul \(\vec a\), adică poate fi calculat folosind formula

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Literatură

Aksenovich L. A. Fizica în liceu: Teorie. Sarcini. Teste: manual. alocație pentru instituțiile care oferă învățământ general. mediu, educație / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 374-376.

Pendul matematic.

Un pendul matematic este un punct material suspendat pe un fir inextensibil fără greutate, care efectuează mișcare oscilativă într-un plan vertical sub influența gravitației.

Un astfel de pendul poate fi considerat o bilă grea de masă m, suspendată pe un fir subțire, a cărui lungime l este mult mai mare decât dimensiunea bilei. Dacă este deviat cu un unghi α (Fig. 7.3.) față de linia verticală, atunci sub influența forței F, una dintre componentele greutății P, va oscila. Cealaltă componentă, îndreptată de-a lungul firului, nu este luată în considerare, deoarece este echilibrată de tensiunea firului. La unghiuri mici de deplasare și, atunci coordonata x poate fi măsurată în direcția orizontală. Din Fig. 7.3 este clar că componenta de greutate perpendiculară pe filet este egală cu

Momentul de forță față de punctul O: și momentul de inerție:
M=FL .
Moment de inerție Jîn acest caz,
Accelerația unghiulară:

Ținând cont de aceste valori, avem:

(7.8)

Decizia lui
,

După cum putem vedea, perioada de oscilație a unui pendul matematic depinde de lungimea acestuia și de accelerația gravitației și nu depinde de amplitudinea oscilațiilor.

Pendul fizic.

Un pendul fizic este un corp rigid fixat pe o axă orizontală fixă ​​(axa de suspensie) care nu trece prin centrul de greutate și care oscilează în jurul acestei axe sub influența gravitației. Spre deosebire de un pendul matematic, masa unui astfel de corp nu poate fi considerată punctuală.

La unghiuri mici de deformare α (Fig. 7.4), pendulul fizic efectuează și oscilații armonice. Vom presupune că greutatea pendulului fizic este aplicată centrului său de greutate în punctul C. Forța care readuce pendulul în poziția de echilibru, în acest caz, va fi componenta gravitației - forța F.

Semnul minus din partea dreaptă înseamnă că forța F este îndreptată spre scăderea unghiului α. Ținând cont de micimea unghiului α

Pentru a deriva legea mișcării pendulelor matematice și fizice, folosim ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație

Momentul forței: nu poate fi determinat în mod explicit. Luând în considerare toate mărimile incluse în ecuația diferențială inițială a oscilațiilor unui pendul fizic are forma:

Pendul de matematică este un punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil situat în câmpul gravitațional al Pământului. Un pendul matematic este un model idealizat care descrie corect un pendul real doar în anumite condiții. Un pendul real poate fi considerat matematic dacă lungimea firului este mult mai mare decât dimensiunea corpului suspendat pe el, masa firului este neglijabilă în comparație cu masa corpului, iar deformațiile firului sunt atât de mici. că pot fi neglijate cu totul.

Sistemul oscilator în acest caz este format dintr-un fir, un corp atașat de acesta și Pământ, fără de care acest sistem nu ar putea servi drept pendul.

Unde A X – accelerare, g - accelerarea gravitației, X- deplasare, l– lungimea firului pendulului.

Această ecuație se numește ecuația oscilațiilor libere ale unui pendul matematic. Descrie corect vibrațiile în cauză numai atunci când sunt îndeplinite următoarele ipoteze:

2) sunt luate în considerare doar mici oscilații ale pendulului cu un unghi mic de balansare.

Vibrațiile libere ale oricăror sisteme sunt descrise în toate cazurile prin ecuații similare.

Cauzele oscilațiilor libere ale unui pendul matematic sunt:

1. Acțiunea tensiunii și gravitației asupra pendulului, împiedicându-l să se miște din poziția de echilibru și forțându-l să cadă din nou.

2. Inerția pendulului, datorită căreia acesta, menținându-și viteza, nu se oprește în poziția de echilibru, ci trece prin el mai departe.

Perioada de oscilații libere a unui pendul matematic

Perioada de oscilație liberă a unui pendul matematic nu depinde de masa acestuia, ci este determinată doar de lungimea firului și de accelerația gravitației în locul în care se află pendulul.

Conversia energiei în timpul oscilațiilor armonice

În timpul oscilațiilor armonice ale unui pendul cu arc, energia potențială a unui corp deformat elastic este convertită în energia sa cinetică, unde k – coeficient de elasticitate, X - modulul de deplasare al pendulului din poziția de echilibru, m- masa pendulului, v- viteza sa. Conform ecuației vibrațiilor armonice:

, .

Energia totală a pendulului cu arc:

.

Energia totală pentru un pendul matematic:

În cazul unui pendul matematic

Transformările de energie în timpul oscilațiilor unui pendul cu arc au loc în conformitate cu legea conservării energiei mecanice ( ). Când un pendul se mișcă în jos sau în sus din poziția sa de echilibru, energia sa potențială crește, iar energia cinetică scade. Când pendulul trece de poziția de echilibru ( X= 0), energia sa potențială este zero și energia cinetică a pendulului are cea mai mare valoare, egală cu energia sa totală.

Astfel, în procesul de oscilații libere ale pendulului, energia sa potențială se transformă în cinetică, cinetică în potențial, potențial apoi înapoi în cinetică etc. Dar energia mecanică totală rămâne neschimbată.

Vibrații forțate. Rezonanţă.

Oscilațiile care apar sub influența unei forțe periodice externe se numesc oscilații forțate. O forță periodică externă, numită forță motrice, conferă energie suplimentară sistemului oscilator, care duce la completarea pierderilor de energie care apar din cauza frecării. Dacă forța motrice se modifică în timp conform legii sinusului sau cosinusului, atunci oscilațiile forțate vor fi armonice și neamortizate.

Spre deosebire de oscilațiile libere, când sistemul primește energie o singură dată (când sistemul este scos din echilibru), în cazul oscilațiilor forțate sistemul absoarbe această energie dintr-o sursă de forță periodică externă în mod continuu. Această energie compensează pierderile cheltuite pentru depășirea frecării și, prin urmare, energia totală a sistemului oscilator rămâne încă neschimbată.

Frecvența oscilațiilor forțate este egală cu frecvența forței motrice. În cazul în care frecvenţa forţei motrice υ coincide cu frecvenţa naturală a sistemului oscilator υ 0 , există o creștere bruscă a amplitudinii oscilațiilor forțate - rezonanţă. Rezonanţa apare datorită faptului că atunci când υ = υ 0 forța externă, care acționează în timp cu vibrații libere, este întotdeauna aliniată cu viteza corpului oscilant și face o muncă pozitivă: energia corpului oscilant crește, iar amplitudinea oscilațiilor sale devine mare. Graficul amplitudinii oscilațiilor forțate A T asupra frecvenței forței motrice υ prezentat în figură, acest grafic se numește curbă de rezonanță:

Fenomenul de rezonanță joacă un rol important într-o serie de procese naturale, științifice și industriale. De exemplu, este necesar să se țină cont de fenomenul de rezonanță atunci când se proiectează poduri, clădiri și alte structuri care suferă vibrații sub sarcină, altfel în anumite condiții aceste structuri pot fi distruse.

Pendul matematic numiți un punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil atașat suspensiei și situat în câmpul gravitațional (sau altă forță).

Să studiem oscilațiile unui pendul matematic într-un cadru de referință inerțial, față de care punctul suspensiei sale este în repaus sau se mișcă uniform în linie dreaptă. Vom neglija forța de rezistență a aerului (pendul matematic ideal). Iniţial, pendulul se află în repaus în poziţia de echilibru C. În acest caz, forţa gravitaţiei şi forţa elastică F?ynp a firului care acţionează asupra acestuia se compensează reciproc.

Să scoatem pendulul din poziția de echilibru (prin deviere, de exemplu, în poziția A) și să-l eliberăm fără o viteză inițială (Fig. 1). În acest caz, forțele nu se echilibrează între ele. Componenta tangentiala a gravitatiei, actionand asupra pendulului, ii confera acceleratie tangentiala a?? (componentă a accelerației totale îndreptate de-a lungul tangentei la traiectoria pendulului matematic), iar pendulul începe să se deplaseze spre poziția de echilibru cu o viteză care crește în valoare absolută. Componenta tangențială a gravitației este astfel o forță de restabilire. Componenta normală a gravitației este îndreptată de-a lungul firului împotriva forței elastice. Rezultanta forțelor dă pendulului o accelerație normală, care schimbă direcția vectorului viteză, iar pendulul se mișcă de-a lungul arcului ABCD.

Cu cât pendulul se apropie de poziția de echilibru C, cu atât valoarea componentei tangențiale devine mai mică. În poziția de echilibru, este egală cu zero, iar viteza atinge valoarea maximă, iar pendulul se deplasează mai departe prin inerție, urcându-se într-un arc ascendent. În acest caz, componenta este îndreptată împotriva vitezei. Pe măsură ce unghiul de deviere a crește, mărimea forței crește, iar mărimea vitezei scade, iar în punctul D viteza pendulului devine zero. Pendulul se oprește pentru un moment și apoi începe să se miște în direcția opusă poziției de echilibru. După ce l-a trecut din nou prin inerție, pendulul, încetinindu-și mișcarea, va ajunge în punctul A (nu există frecare), adică. va finaliza un leagăn complet. După aceasta, mișcarea pendulului se va repeta în secvența deja descrisă.

Să obținem o ecuație care descrie oscilațiile libere ale unui pendul matematic.

Fie pendulul la un moment dat de timp în punctul B. Deplasarea lui S față de poziția de echilibru în acest moment este egală cu lungimea arcului SV (adică S = |SV|). Să notăm lungimea firului de suspensie cu l, iar masa pendulului cu m.

Din figura 1 este clar că , unde . Prin urmare, la unghiuri mici () pendulul se deviază

Semnul minus este plasat în această formulă deoarece componenta tangențială a gravitației este îndreptată spre poziția de echilibru, iar deplasarea se numără din poziția de echilibru.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton. Să proiectăm mărimile vectoriale ale acestei ecuații pe direcția tangentei la traiectoria pendulului matematic

Din aceste ecuații obținem

Ecuația dinamică a mișcării unui pendul matematic. Accelerația tangențială a unui pendul matematic este proporțională cu deplasarea acestuia și este îndreptată spre poziția de echilibru. Această ecuație poate fi scrisă ca

Comparând-o cu ecuația vibrației armonice , putem concluziona că pendulul matematic efectuează oscilații armonice. Și întrucât oscilațiile considerate ale pendulului au avut loc doar sub influența forțelor interne, acestea au fost oscilații libere ale pendulului. În consecință, oscilațiile libere ale unui pendul matematic cu abateri mici sunt armonice.

Să notăm

Frecvența ciclică a oscilațiilor pendulului.

Perioada de oscilație a unui pendul. Prin urmare,

Această expresie se numește formula lui Huygens. Determină perioada de oscilații libere a unui pendul matematic. Din formula rezultă că la unghiuri mici de abatere de la poziția de echilibru, perioada de oscilație a unui pendul matematic este:

1. nu depinde de masa și amplitudinea vibrației sale;
2. este proporțională cu rădăcina pătrată a lungimii pendulului și invers proporțională cu rădăcina pătrată a accelerației gravitației.

Acest lucru este în concordanță cu legile experimentale ale oscilațiilor mici ale unui pendul matematic, care au fost descoperite de G. Galileo.

Subliniem că această formulă poate fi utilizată pentru a calcula perioada dacă sunt îndeplinite simultan două condiții:

1. oscilațiile pendulului ar trebui să fie mici;
2. punctul de suspendare al pendulului trebuie să fie în repaus sau să se miște uniform în linie dreaptă față de cadrul de referință inerțial în care se află.

Dacă punctul de suspensie al unui pendul matematic se mișcă cu accelerație, atunci forța de tensiune a firului se modifică, ceea ce duce la o modificare a forței de restabilire și, în consecință, a frecvenței și perioadei oscilațiilor. După cum arată calculele, perioada de oscilație a pendulului în acest caz poate fi calculată folosind formula

unde este accelerația „efectivă” a pendulului într-un cadru de referință neinerțial. Este egal cu suma geometrică a accelerației căderii libere și a vectorului opus vectorului, i.e. se poate calcula folosind formula