Arhive categorie: Pendule. Pendul matematic: perioadă, accelerație și formule Mișcări oscilatorii ale unui pendul

Pendul matematic.

Un pendul matematic este un punct material suspendat pe un fir inextensibil fără greutate, care efectuează mișcare oscilatoare într-un plan vertical sub influența gravitației.

Un astfel de pendul poate fi considerat o bilă grea de masă m, suspendată pe un fir subțire, a cărui lungime l este mult mai mare decât dimensiunea bilei. Dacă este deviat cu un unghi α (Fig. 7.3.) față de linia verticală, atunci sub influența forței F, una dintre componentele greutății P, va oscila. Cealaltă componentă, îndreptată de-a lungul firului, nu este luată în considerare, deoarece este echilibrată de tensiunea firului. La unghiuri mici de deplasare și, atunci coordonata x poate fi măsurată în direcția orizontală. Din Fig. 7.3 este clar că componenta de greutate perpendiculară pe filet este egală cu

Momentul de forță față de punctul O: și momentul de inerție:
M=FL .
Moment de inerție Jîn acest caz,
Accelerația unghiulară:

Ținând cont de aceste valori, avem:

(7.8)

Decizia lui
,

După cum putem vedea, perioada de oscilație a unui pendul matematic depinde de lungimea acestuia și de accelerația gravitației și nu depinde de amplitudinea oscilațiilor.

Pendul fizic.

Un pendul fizic este un corp rigid fixat pe o axă orizontală fixă ​​(axa de suspensie) care nu trece prin centrul de greutate și care oscilează în jurul acestei axe sub influența gravitației. Spre deosebire de un pendul matematic, masa unui astfel de corp nu poate fi considerată punctuală.

La unghiuri mici de deformare α (Fig. 7.4), pendulul fizic efectuează și oscilații armonice. Vom presupune că greutatea pendulului fizic este aplicată centrului său de greutate în punctul C. Forța care readuce pendulul în poziția de echilibru, în acest caz, va fi componenta gravitației - forța F.

Semnul minus din partea dreaptă înseamnă că forța F este îndreptată spre unghiul descrescător α. Ținând cont de micimea unghiului α

Pentru a deriva legea mișcării pendulelor matematice și fizice, folosim ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație

Momentul forței: nu poate fi determinat în mod explicit. Luând în considerare toate mărimile incluse în ecuația diferențială inițială a oscilațiilor unui pendul fizic are forma:

Pendul Foucault- un pendul care este folosit pentru a demonstra experimental rotația zilnică a Pământului.

Un pendul Foucault este o sarcină masivă suspendată pe un fir sau fir, al cărei capăt superior este întărit (de exemplu, folosind o articulație universală), astfel încât pendulul să se poată balansa în orice plan vertical. Dacă pendulul Foucault este deviat de pe verticală și eliberat fără o viteză inițială, atunci forțele gravitaționale și tensiunea firului care acționează asupra sarcinii pendulului se vor afla tot timpul în planul balansării pendulului și nu vor putea provoca rotația acestuia. relativ la stele (la cadrul de referință inerțial asociat stelelor) . Un observator situat pe Pământ și care se rotește cu acesta (adică, situat într-un cadru de referință non-inerțial) va vedea că planul de balansare al pendulului Foucault se rotește lent față de suprafața pământului în direcția opusă direcției de rotație. al Pamantului. Acest lucru confirmă faptul de rotație zilnică a Pământului.

La Polul Nord sau Sud, planul de balansare al pendulului Foucault se va roti 360° pe zi sideral (cu 15 o pe oră sideral). Într-un punct de pe suprafața pământului, a cărui latitudine geografică este egală cu φ, planul orizontului se rotește în jurul verticalei cu o viteză unghiulară de ω 1 = ω sinφ (ω este modulul vitezei unghiulare a Pământului) și planul de balansare a pendulului se rotește cu aceeași viteză unghiulară. Prin urmare, viteza unghiulară aparentă de rotație a planului de oscilație al pendulului Foucault la latitudinea φ, exprimată în grade pe oră siderale, are valoarea ω m =15 o sinφ, adică cu cât φ este mai mic, cu cât φ este mai mic și la ecuatorul devine zero (planul nu se rotește). În emisfera sudică, rotația planului de balansare va fi observată în direcția opusă celei observate în emisfera nordică. Un calcul rafinat dă valoarea

ω m = 15 o sinφ

Unde A-amplitudinea oscilațiilor greutății pendulului, l- lungimea firului. Un termen suplimentar care reduce viteza unghiulară, cu atât mai mic, cu atât mai mare l. Prin urmare, pentru a demonstra experimentul, este recomandabil să folosiți un pendul Foucault cu lungimea cât mai mare a firului (câteva zeci de m).

Poveste

Acest dispozitiv a fost proiectat pentru prima dată de omul de știință francez Jean Bernard Leon Foucault.

Acest dispozitiv era o bilă de alamă de cinci kilograme suspendată de tavan pe un fir de oțel de doi metri.

Foucault a efectuat primul său experiment în subsolul propriei sale case. 8 ianuarie 1851. A fost făcută o înregistrare despre acest lucru în jurnalul științific al omului de știință.

3 februarie 1851 Jean Foucault și-a demonstrat pendulul la Observatorul din Paris academicienilor care au primit scrisori cu următorul conținut: „Vă invit să urmăriți rotația Pământului”.

Prima demonstrație publică a experimentului a avut loc la inițiativa lui Louis Bonaparte în Panteonul din Paris în aprilie același an. O minge de metal a fost suspendată sub cupola Panteonului cântărind 28 kg cu un vârf atașat pe un fir de oțel diametru 1,4 mm și lungime 67 m. Montare pendulul îi permitea să se balanseze liber în toate directii. Sub ca punct de prindere s-a realizat un gard circular cu diametrul de 6 metri; de-a lungul marginii gardului s-a turnat o cale de nisip pentru ca pendulul, in miscarea sa, sa traga semne in nisip la trecerea lui. Pentru a evita o împingere laterală la pornirea pendulului, acesta a fost dus în lateral și legat cu o frânghie, după care frânghia ars. Perioada de oscilație a fost de 16 secunde.

Experimentul a avut un mare succes și a provocat o rezonanță largă în cercurile științifice și publice din Franța și alte țări ale lumii. Abia în 1851 au fost create și alte pendule după modelul primei, iar experimentele lui Foucault au fost realizate la Observatorul din Paris, în Catedrala din Reims, în Biserica Sfântul Ignatie din Roma, la Liverpool, la Oxford, Dublin, în Rio de Janeiro, în orașul Colombo din Ceylon, New York.

În toate aceste experimente, dimensiunile mingii și lungimea pendulului au fost diferite, dar toate au confirmat concluziileJean Bernard Leon Foucault.

Elemente ale pendulului, care a fost demonstrată la Panteon, sunt acum păstrate în Muzeul de Arte și Meserii din Paris. Iar pendulele Foucault se găsesc acum în multe părți ale lumii: în muzeele politehnice și de istorie științifică-naturală, observatoare științifice, planetarii, laboratoare universitare și biblioteci.

Există trei pendul Foucault în Ucraina. Unul este stocat la Universitatea Națională Tehnică din Ucraina „KPI numit după. Igor Sikorsky”, al doilea - la Universitatea Națională din Harkov. V.N. Karazin, al treilea - în Planetariul Harkov.

nu crede totusi caz. Citiți cu atenție toate aceste articole. Apoi va deveni la fel de clar ca Soarele strălucitor.

Așa cum mâna și creierul nu tuturor oamenilor au o putere misterioasă, pendulul, aflat în mâinile nu tuturor oamenilor, poate deveni misterios. Această forță nu se dobândește, ci se naște cu o persoană. Într-o familie, unul se naște bogat și celălalt sărac. Nimeni nu are puterea de a-i săraci pe cei bogați în mod natural sau invers. Acum înțelegi cu asta ce am vrut să-ți spun. Dacă nu înțelegi, dă vina pe tine, te-ai născut așa.

Ce este un pendul? Din ce este făcut? Un pendul este orice corp care se mișcă liber, atașat de o sfoară. În mâinile unui maestru, chiar și o simplă trestie cântă ca o privighetoare. De asemenea, în mâinile unui biomaestru talentat, un pendul produce efecte incredibile în sfera existenței și existenței umane.

Nu se întâmplă întotdeauna să porți un pendul cu tine. Așa că a trebuit să găsesc un inel pierdut dintr-o familie, dar nu aveam pendulul cu mine. M-am uitat în jur și un dop de vin mi-a atras atenția. Cam de la mijlocul dopului am făcut o tăietură mică cu un cuțit și am atașat firul. Pendulul este gata.
L-am întrebat: „Vrei să lucrezi cu mine sincer?” Se învârtea puternic în sensul acelor de ceasornic, parcă ar fi răspuns vesel. Spune-i mental: „Atunci să găsim inelul lipsă”. Pendulul s-a mișcat din nou în semn de acord. Am început să mă plimb prin curte.

Pentru că nora a spus că încă nu a intrat în casă când a observat că nu are inel la deget. Ea a mai spus că își dorea de mult să meargă la bijutier, pentru că degetele i se subțiiseră și inelul începuse să cadă. Deodată, în mâinile mele, pendulul s-a mișcat puțin, s-a întors puțin înapoi, pendulul a tăcut. Am mers înainte, dar pendulul s-a mișcat din nou. A mers mai departe, a tăcut din nou, am fost uimit. La stânga pendulul tace, înainte tace. La dreapta nu mergi nicăieri. Acolo curge un mic șanț. Deodată mi-am dat seama și am ținut pendulul direct deasupra apei. Pendulul a început să se rotească intens în sensul acelor de ceasornic. Mi-am sunat nora și mi-am arătat locația inelului.
Cu bucurie în ochi, a început să scormonească prin șanț și a găsit repede inelul. Se dovedește că ea se spăla pe mâini într-un șanț, iar în acel moment inelul a căzut, dar nu a observat. Toți cei prezenți au admirat lucrarea dopului de vin.

Nu toți oamenii se nasc ghicitori sau ghicitori. Nu toți ghicitorii sau ghicitorii au succes. Câțiva predictori funcționează cu erori mai mici, dar mulți trișează ca țiganii. La fel și pendulul. O persoană incompetentă o are ca pe un lucru inutil, deși este din aur, nu are sens. În mâinile unui adevărat maestru, o bucată de piatră obișnuită sau nucă face minuni.
Îmi amintesc ca ieri. La o adunare, mi-am scos geaca și am ieșit o vreme. Când m-am întors, am simțit că ceva nu era în regulă în inima mea. A început mecanic să scormonească în buzunar. S-a dovedit că cineva mi-a luat pendulul de argint. Am tăcut și nu am spus nimănui ce s-a întâmplat.
Au trecut multe zile, iar într-o zi unul dintre acei oameni care stăteau cu noi la acea adunare în care mi s-a pierdut pendulul a venit la mine acasă. Și-a cerut scuze profund și mi-a întins pendulul. Se pare că a crezut că toată puterea era pe pendulul meu și s-a gândit că și acest pendul va funcționa pentru el la fel ca al meu.
Când și-a dat seama de greșeala sa, conștiința l-a chinuit îndelung și, în cele din urmă, a decis să returneze pendulul proprietarului său. I-am acceptat scuzele și, de asemenea, l-am tratat cu ceai și chiar l-am diagnosticat. Am găsit la el multe boli cu un pendul și i-am pregătit medicamente potrivite.
Unii oameni au un dar natural pentru vindecare și divinație. Acest talent nu iese la iveală de ani de zile. Uneori, întâmplător, se întâlnesc cu un expert, iar acesta îi arată drumul destinat în viață.
Recent, o femeie de vârstă mijlocie a venit pentru un diagnostic. Nu poți spune după aspectul ei că este bolnavă. Ea s-a plâns de căldură ridicată la extremități, căldură ieșea constant atât din palme, cât și din tălpi și de multe ori simțea dureri sălbatice izbucnitoare în cap în zona coroanei. După ce l-am diagnosticat mai întâi prin puls, observând o creștere a tonusului vascular, am început să măsurez tensiunea arterială cu un dispozitiv semi-automat. Valorile au depășit în cele din urmă scară, atât sistolice, cât și diastolice. Au indicat 135 la 241, iar ritmul cardiac s-a dovedit a fi sub norma pentru o astfel de hipertensiune: 62 de bătăi pe minut. O femeie cu atât de mare tensiune arterială stătea calmă în fața mea. Parcă fără să simt vreun disconfort din cauza stării mele vasculare. Hipertensiunea arterială esențială (inexplicabilă) nu a deprimat-o.

Nu am observat nimic în neregulă cu pulsul ei și nici în timpul diagnosticării pulsului. Am diagnosticat-o cu o hipertensiune mai puțin frecventă esențială (cauză inexplicabilă). Dacă un medic obișnuit i-ar fi măsurat tensiunea arterială, ar fi sunat imediat o ambulanță și ar fi pus-o pe targă. Nici măcar nu i-ar fi permis să se miște. Faptul este că o persoană cu o astfel de creștere a tensiunii arteriale este considerată a avea o criză hipertensivă. Poate fi urmată de un accident vascular cerebral sau atac de cord.
Potrivit ei, medicamentele obișnuite antihipertensive o fac să se simtă mult mai rău, încât chiar o fac să se simtă greață. La insistențele fiului ei, a învățat să folosească pendulul; când o doare capul tare, întreabă pendulul dacă să bea sau nu aspirină sau pentalgină. Mai rar, cu acordul pendulului, ia un decoct de frunze de salcie sau un decoct de frunze de gutui, pe care i-a recomandat medicul Muhiddin în urmă cu patru ani. Dacă o doare capul rău, atunci bea aspirina; în cazuri extrem de severe, ia pentalgin. Medicii și vecinii unei paciente hipertensive râd de automedicația ei.
Mi-am folosit pendulul pentru a verifica toate medicamentele pe care le ia pentru dureri de cap și hipertensiune arterială. Toate s-au dovedit a fi eficiente.Am intrebat si pendula. „Se va îmbunătăți sănătatea ei dacă începe să vindece oamenii cu căldura ei?”, pendulul s-a balansat imediat puternic în sensul acelor de ceasornic, afirmativ. Așa că i-am prescris singura tratamentul, pentru a scăpa de hipertensiunea esențială, trebuie să trateze bolile altor persoane, punând mâinile sau picioarele pe ei. Acum trimit adesea pacienții la ea, iar ea îi tratează cu succes treceri psihice. Își îndreaptă căldura mâinii către boli până la talie, către boli de sub talie, în poziție culcat deasupra pacientului, ține piciorul drept, respectiv stâng, în zona cu probleme.
Atât ea, cât și pacienții sunt mulțumiți de rezultate. De doi ani nu a luat nici aspirină, nici pentalgină, iar pendulul îi permite uneori să bea un decoct din frunze de salcie sau gutui pentru dureri de cap minore.
Cine are nevoie de ajutorul ei, scrie-mi, te va ajuta cu o taxă slabă. Am învățat-o chiar și cum să trateze oamenii de la distanțe mari fără contact.
O persoană care lucrează cu adevărat cu un pendul în timpul funcționării pendulului trebuie să fie în comunicare sincronă cu acesta și trebuie să știe și să simtă dinainte în ce direcție sunt îndreptate acțiunile pendulului în acest moment. Cu potența energetică a creierului său, persoana care ține firul pendulului ar trebui să-l ajute subconștient, și nu speculativ, în acțiuni ulterioare asupra acestui obiect și să nu privească indiferent la acțiunea pendulului ca spectator.
Pendulul a fost și este încă folosit de aproape toți oamenii celebri din Mesopotamia, Asiria, Urartu, India, China, Japonia, Roma antică, Egipt, Grecia, Asia, Africa, America, Europa, Orient și multe țări din întreaga lume.
Datorită faptului că multe instituții internaționale proeminente, personalități marcante din diverse domenii ale științei nu au apreciat încă suficient acțiunea și scopul pendulului în favoarea coexistenței umanității cu natura înconjurătoare simbiotic și armonios. Omenirea nu a abandonat încă complet opiniile pseudoștiințifice asupra universului Normalului Universal la nivelul științei naturale moderne. Există o etapă de estompare a liniei de cunoaștere dintre religie, ezoterism și științe naturale. În mod firesc, știința naturii ar trebui să devină baza tuturor științelor fundamentale, fără nicio viziune secundară.
Există speranță că știința pendulului își va ocupa, de asemenea, locul cuvenit în viața oamenilor, împreună cu știința informației. Până la urmă, a fost o vreme când liderii țării noastre multinaționale au declarat cibernetica o pseudoștiință și nu au permis să fie studiată, ci chiar să fie studiată în instituțiile de învățământ.
Așa că acum, la nivelul celui mai înalt eșalon al științei moderne, ei privesc ideea unui pendul ca și cum ar fi o industrie înapoiată. Este necesar să se sistematizeze pendulul, radiestezia și cadrul sub o singură secțiune de informatică și este necesar să se creeze un modul de program de calculator.
Cu ajutorul acestui modul, oricine poate găsi lucruri lipsă, poate determina locația obiectelor și, în final, poate diagnostica oamenii, animalele, păsările, insectele și toată natura în general.
Pentru a face acest lucru, trebuie să studiați ideile lui L. G. Puchko despre medicina multidimensională și munca psihicului Geller, precum și ideile vindecătorului bulgar Kanaliev și munca multor altor oameni care au obținut rezultate uimitoare cu ajutorul lui. un pendul.

Pendul matematic numiți un punct material suspendat pe un fir imponderabil și inextensibil atașat suspensiei și situat în câmpul gravitațional (sau altă forță).

Să studiem oscilațiile unui pendul matematic într-un cadru de referință inerțial, față de care punctul suspensiei sale este în repaus sau se mișcă uniform în linie dreaptă. Vom neglija forța de rezistență a aerului (pendul matematic ideal). Inițial, pendulul este în repaus în poziția de echilibru C. În acest caz, forța gravitațională \(\vec F\) care acționează asupra acestuia și forța elastică \(\vec F_(ynp)\) a firului sunt reciproc compensate.

Să scoatem pendulul din poziţia de echilibru (prin deviere, de exemplu, în poziţia A) şi să-l eliberăm fără o viteză iniţială (Fig. 13.11). În acest caz, forțele \(\vec F\) și \(\vec F_(ynp)\) nu se echilibrează între ele. Componenta tangențială a gravitației \(\vec F_\tau\), care acționează asupra pendulului, îi conferă accelerația tangențială \(\vec a_\tau\) (componenta accelerației totale direcționate de-a lungul tangentei la traiectoria pendulului matematic). ), iar pendulul începe să se deplaseze în poziția de echilibru cu o viteză care crește în valoare absolută. Componenta tangențială a gravitației \(\vec F_\tau\) este astfel o forță de restabilire. Componenta normală \(\vec F_n\) a forței gravitaționale este îndreptată de-a lungul filetului împotriva forței elastice \(\vec F_(ynp)\). Rezultanta forțelor \(\vec F_n\) și \(\vec F_(ynp)\) conferă accelerația normală \(~a_n\) pendulului, care schimbă direcția vectorului viteză, iar pendulul se mișcă de-a lungul unui arc ABCD.

Cu cât pendulul se apropie de poziția de echilibru C, cu atât valoarea componentei tangențiale \(~F_\tau = F \sin \alpha\) devine mai mică. În poziția de echilibru, este egală cu zero, iar viteza atinge valoarea maximă, iar pendulul se deplasează mai departe prin inerție, urcându-se într-un arc ascendent. În acest caz, componenta \(\vec F_\tau\) este îndreptată împotriva vitezei. Cu o creștere a unghiului de deviere a, modulul de forță \(\vec F_\tau\) crește, iar modulul de viteză scade, iar în punctul D viteza pendulului devine egală cu zero. Pendulul se oprește pentru un moment și apoi începe să se miște în direcția opusă poziției de echilibru. După ce l-a trecut din nou prin inerție, pendulul, încetinindu-și mișcarea, va ajunge în punctul A (nu există frecare), adică. va finaliza un leagăn complet. După aceasta, mișcarea pendulului se va repeta în secvența deja descrisă.

Să obținem o ecuație care descrie oscilațiile libere ale unui pendul matematic.

Fie pendulul la un moment dat de timp în punctul B. Deplasarea lui S față de poziția de echilibru în acest moment este egală cu lungimea arcului SV (adică S = |SV|). Să notăm lungimea firului de suspensie l, iar masa pendulului este m.

Din figura 13.11 este clar că \(~F_\tau = F \sin \alpha\), unde \(\alpha =\frac(S)(l).\) La unghiuri mici \(~(\alpha\).<10^\circ)\) отклонения маятника \(\sin \alpha \approx \alpha,\) поэтому

\(F_\tau = -F\frac(S)(l) = -mg\frac(S)(l).\)

Semnul minus este plasat în această formulă deoarece componenta tangențială a gravitației este îndreptată spre poziția de echilibru, iar deplasarea se numără din poziția de echilibru.

Conform celei de-a doua legi a lui Newton \(m \vec a = m \vec g + F_(ynp).\) Să proiectăm mărimile vectoriale ale acestei ecuații pe direcția tangentei la traiectoria pendulului matematic.

\(~F_\tau = ma_\tau .\)

Din aceste ecuații obținem

\(a_\tau = -\frac(g)(l)S\) - ecuația dinamică a mișcării unui pendul matematic. Accelerația tangențială a unui pendul matematic este proporțională cu deplasarea acestuia și este îndreptată spre poziția de echilibru. Această ecuație poate fi scrisă ca\. Comparând-o cu ecuația oscilațiilor armonice \(~a_x + \omega^2x = 0\) (vezi § 13.3), putem concluziona că pendulul matematic realizează oscilații armonice. Și întrucât oscilațiile considerate ale pendulului au avut loc doar sub influența forțelor interne, acestea au fost oscilații libere ale pendulului. Prin urmare, oscilaţiile libere ale unui pendul matematic cu abateri mici sunt armonice.

Să notăm \(\frac(g)(l) = \omega^2.\) De unde \(\omega = \sqrt \frac(g)(l)\) este frecvența ciclică a pendulului.

Perioada de oscilație a pendulului este \(T = \frac(2 \pi)(\omega).\) Prin urmare,

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g) )\)

Această expresie se numește Formula lui Huygens. Determină perioada de oscilații libere a unui pendul matematic. Din formula rezultă că la unghiuri mici de abatere de la poziția de echilibru, perioada de oscilație a unui pendul matematic: 1) nu depinde de masa și amplitudinea oscilațiilor acestuia; 2) proporțional cu rădăcina pătrată a lungimii pendulului și invers proporțional cu rădăcina pătrată a accelerației gravitației. Acest lucru este în concordanță cu legile experimentale ale oscilațiilor mici ale unui pendul matematic, care au fost descoperite de G. Galileo.

Subliniem că această formulă poate fi folosită pentru a calcula perioada dacă sunt îndeplinite simultan două condiții: 1) oscilațiile pendulului trebuie să fie mici; 2) punctul de suspendare al pendulului trebuie să fie în repaus sau să se miște uniform în linie dreaptă față de cadrul de referință inerțial în care se află.

Dacă punctul de suspensie al unui pendul matematic se mișcă cu accelerația \(\vec a\), atunci forța de întindere a firului se modifică, ceea ce duce la o modificare a forței de restabilire și, în consecință, a frecvenței și perioadei oscilațiilor. După cum arată calculele, perioada de oscilație a pendulului în acest caz poate fi calculată folosind formula

\(T = 2 \pi \sqrt( \frac(l)(g") )\)

unde \(~g"\) este accelerația "efectivă" a pendulului într-un cadru de referință neinerțial. Este egală cu suma geometrică a accelerației gravitației \(\vec g\) și vectorul opus față de vectorul \(\vec a\), adică poate fi calculat folosind formula

\(\vec g" = \vec g + (- \vec a).\)

Literatură

Aksenovich L. A. Fizica în liceu: Teorie. Sarcini. Teste: manual. alocație pentru instituțiile care oferă învățământ general. mediu, educație / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn.: Adukatsiya i vyakhavanne, 2004. - P. 374-376.

Un sistem mecanic care constă dintr-un punct material (corp) atârnat de un fir inextensibil fără greutate (masa sa este neglijabilă în comparație cu greutatea corpului) într-un câmp gravitațional uniform se numește pendul matematic (un alt nume este un oscilator). Există și alte tipuri de acest dispozitiv. În loc de ață, se poate folosi o tijă fără greutate. Un pendul matematic poate dezvălui în mod clar esența multor fenomene interesante. Când amplitudinea vibrației este mică, mișcarea sa se numește armonică.

Prezentare generală a sistemului mecanic

Formula pentru perioada de oscilație a acestui pendul a fost derivată de omul de știință olandez Huygens (1629-1695). Acest contemporan al lui I. Newton era foarte interesat de acest sistem mecanic. În 1656 a creat primul ceas cu mecanism pendul. Ei au măsurat timpul cu o precizie excepțională pentru acele vremuri. Această invenție a devenit o etapă majoră în dezvoltarea experimentelor fizice și a activităților practice.

Dacă pendulul se află în poziția de echilibru (atârnând vertical), acesta va fi echilibrat de forța de întindere a firului. Un pendul plat pe filet inextensibil este un sistem cu două grade de libertate cu cuplare. Când schimbați doar o componentă, caracteristicile tuturor părților sale se schimbă. Deci, dacă firul este înlocuit cu o tijă, atunci acest sistem mecanic va avea doar 1 grad de libertate. Ce proprietăți are un pendul matematic? În acest cel mai simplu sistem, haosul apare sub influența perturbărilor periodice. În cazul în care punctul de suspensie nu se mișcă, ci oscilează, pendulul are o nouă poziție de echilibru. Cu oscilații rapide în sus și în jos, acest sistem mecanic capătă o poziție stabilă „cu susul în jos”. Are și propriul nume. Se numește pendul Kapitsa.

Proprietățile unui pendul

Pendulul matematic are proprietăți foarte interesante. Toate sunt confirmate de legile fizice cunoscute. Perioada de oscilație a oricărui alt pendul depinde de diferite circumstanțe, cum ar fi dimensiunea și forma corpului, distanța dintre punctul de suspensie și centrul de greutate și distribuția masei în raport cu acest punct. De aceea, determinarea perioadei de suspendare a unui corp este o sarcină destul de dificilă. Este mult mai ușor de calculat perioada unui pendul matematic, a cărui formulă va fi dată mai jos. Ca rezultat al observațiilor unor sisteme mecanice similare, pot fi stabilite următoarele modele:

Dacă, menținând aceeași lungime a pendulului, suspendăm greutăți diferite, atunci perioada oscilațiilor lor va fi aceeași, deși masele lor vor varia foarte mult. În consecință, perioada unui astfel de pendul nu depinde de masa încărcăturii.

Dacă, la pornirea sistemului, pendulul este deviat la unghiuri nu prea mari, ci diferite, atunci va începe să oscileze cu aceeași perioadă, dar cu amplitudini diferite. Atâta timp cât abaterile de la centrul de echilibru nu sunt prea mari, vibrațiile în forma lor vor fi destul de apropiate de cele armonice. Perioada unui astfel de pendul nu depinde în niciun fel de amplitudinea oscilatoare. Această proprietate a unui sistem mecanic dat se numește izocronism (tradus din greacă „chronos” - timp, „isos” - egal).

Perioada unui pendul matematic

Acest indicator reprezintă perioada În ciuda formulării complexe, procesul în sine este foarte simplu. Dacă lungimea firului unui pendul matematic este L, iar accelerația căderii libere este g, atunci această valoare este egală cu:

Perioada micilor oscilații naturale nu depinde în niciun fel de masa pendulului și de amplitudinea oscilațiilor. În acest caz, pendulul se mișcă ca unul matematic cu o lungime redusă.

Oscilațiile unui pendul matematic

Un pendul matematic oscilează, ceea ce poate fi descris printr-o ecuație diferențială simplă:

x + ω2 sin x = 0,

unde x (t) este o funcție necunoscută (acesta este unghiul de abatere de la poziția inferioară de echilibru în momentul t, exprimat în radiani); ω este o constantă pozitivă, care este determinată din parametrii pendulului (ω = √g/L, unde g este accelerația căderii libere, iar L este lungimea pendulului matematic (suspensia).

Ecuația pentru vibrațiile mici în apropierea poziției de echilibru (ecuația armonică) arată astfel:

x + ω2 sin x = 0

Mișcări oscilatorii ale unui pendul

Un pendul matematic, care face mici oscilații, se mișcă de-a lungul unei sinusoide. Ecuația diferențială de ordinul doi îndeplinește toate cerințele și parametrii unei astfel de mișcări. Pentru a determina traiectoria, este necesar să se stabilească viteza și coordonatele, din care apoi se determină constante independente:

x = A sin (θ 0 + ωt),

unde θ 0 este faza inițială, A este amplitudinea oscilației, ω este frecvența ciclică determinată din ecuația mișcării.

Pendul matematic (formule pentru amplitudini mari)

Acest sistem mecanic, care oscilează cu o amplitudine semnificativă, este supus unor legi mai complexe ale mișcării. Pentru un astfel de pendul, ele sunt calculate după formula:

sin x/2 = u * sn(ωt/u),

unde sn este sinusul Jacobi, care pentru u< 1 является периодической функцией, а при малых u он совпадает с простым тригонометрическим синусом. Значение u определяют следующим выражением:

u = (ε + ω2)/2ω2,

unde ε = E/mL2 (mL2 este energia pendulului).

Perioada de oscilație a unui pendul neliniar se determină folosind formula:

unde Ω = π/2 * ω/2K(u), K este integrala eliptică, π - 3,14.

Mișcarea unui pendul de-a lungul unei separatrice

O separatoare este traiectoria unui sistem dinamic care are un spațiu de fază bidimensional. Un pendul matematic se mișcă de-a lungul lui neperiodic. Într-un moment infinit de îndepărtat în timp, cade din poziția sa cea mai înaltă pe partea cu viteză zero, apoi o câștigă treptat. În cele din urmă se oprește, revenind la poziția inițială.

Dacă amplitudinea oscilaţiilor pendulului se apropie de numărul π , aceasta indică faptul că mișcarea pe planul de fază se apropie de separatrix. În acest caz, sub influența unei mici forțe periodice motrice, sistemul mecanic prezintă un comportament haotic.

Când un pendul matematic se abate de la poziția de echilibru cu un anumit unghi φ, apare o forță de gravitație tangențială Fτ = -mg sin φ. Semnul minus înseamnă că această componentă tangențială este îndreptată în direcția opusă deformarii pendulului. Când notăm cu x deplasarea pendulului de-a lungul unui arc de cerc cu raza L, deplasarea sa unghiulară este egală cu φ = x/L. A doua lege, destinată proiecțiilor și forței, va da valoarea dorită:

mg τ = Fτ = -mg sin x/L

Pe baza acestei relații, este clar că acest pendul este un sistem neliniar, deoarece forța care tinde să-l readucă în poziția de echilibru este întotdeauna proporțională nu cu deplasarea x, ci cu sin x/L.

Numai atunci când un pendul matematic efectuează oscilații mici este un oscilator armonic. Cu alte cuvinte, devine un sistem mecanic capabil să efectueze oscilații armonice. Această aproximare este practic valabilă pentru unghiuri de 15-20°. Oscilațiile unui pendul cu amplitudini mari nu sunt armonice.

Legea lui Newton pentru oscilațiile mici ale unui pendul

Dacă un anumit sistem mecanic efectuează oscilații mici, legea a 2-a a lui Newton va arăta astfel:

mg τ = Fτ = -m* g/L* x.

Pe baza acestui lucru, putem concluziona că un pendul matematic este proporțional cu deplasarea sa cu semnul minus. Aceasta este condiția datorită căreia sistemul devine un oscilator armonic. Modulul coeficientului de proporționalitate dintre deplasare și accelerație este egal cu pătratul frecvenței circulare:

ω02 = g/L; ω0 = √ g/L.

Această formulă reflectă frecvența naturală a micilor oscilații ale acestui tip de pendul. Bazat pe acest lucru,

T = 2π/ ω0 = 2π√ g/L.

Calcule bazate pe legea conservării energiei

Proprietățile unui pendul pot fi descrise și folosind legea conservării energiei. Trebuie luat în considerare faptul că pendulul în câmpul gravitațional este egal cu:

E = mg∆h = mgL(1 - cos α) = mgL2sin2 α/2

Total este egal cu potențialul cinetic sau maxim: Epmax = Ekmsx = E

După ce s-a scris legea conservării energiei, luați derivata părților drepte și stângi ale ecuației:

Deoarece derivata cantităților constante este egală cu 0, atunci (Ep + Ek)" = 0. Derivata sumei este egală cu suma derivatelor:

Ep" = (mg/L*x2/2)" = mg/2L*2x*x" ​​​​= mg/L*v + Ek" = (mv2/2) = m/2(v2)" = m/ 2* 2v*v" = mv* α,

deci:

Mg/L*xv + mva = v (mg/L*x + m α) = 0.

Pe baza ultimei formule, găsim: α = - g/L*x.

Aplicarea practică a unui pendul matematic

Accelerația variază în funcție de latitudine, deoarece densitatea scoarței terestre nu este aceeași pe întreaga planetă. Acolo unde apar roci cu densitate mai mare, aceasta va fi puțin mai mare. Accelerația unui pendul matematic este adesea folosită pentru explorarea geologică. Este folosit pentru a căuta diferite minerale. Pur și simplu numărând numărul de oscilații ale unui pendul, puteți detecta cărbune sau minereu în intestinele Pământului. Acest lucru se datorează faptului că astfel de fosile au o densitate și o masă mai mari decât rocile libere subiacente.

Pendulul matematic a fost folosit de oameni de știință remarcabili precum Socrate, Aristotel, Platon, Plutarh, Arhimede. Mulți dintre ei credeau că acest sistem mecanic ar putea influența soarta și viața unei persoane. Arhimede a folosit un pendul matematic în calculele sale. În zilele noastre, mulți ocultiști și psihici folosesc acest sistem mecanic pentru a-și îndeplini profețiile sau pentru a căuta oameni dispăruți.

Celebrul astronom și naturalist francez K. Flammarion a folosit și el un pendul matematic pentru cercetările sale. El a susținut că, cu ajutorul lui, a reușit să prezică descoperirea unei noi planete, apariția meteoritului Tunguska și alte evenimente importante. În timpul celui de-al Doilea Război Mondial, în Germania (Berlin) a funcționat un Institut specializat al Pendulului. În prezent, Institutul de Parapsihologie din München este angajat în cercetări similare. Angajații acestei unități își numesc munca cu pendulul „radiestezie”.