Găsiți online rădăcinile unei ecuații trigonometrice într-un interval. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice pe un interval. Funcții arc. Cele mai simple ecuații trigonometrice

În acest articol voi încerca să explic 2 moduri luând rădăcini într-o ecuație trigonometrică: folosind inegalitățile și folosind un cerc trigonometric. Să trecem la un exemplu clar și ne vom da seama pe măsură ce mergem.

A) Rezolvați ecuația sqrt(2)cos^2x=sin(Pi/2+x)
b) Aflați toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului [-7Pi/2; -2Pi]

Să rezolvăm a.

Folosim formula de reducere pentru sinusul sin(Pi/2+x) = cos(x)

Sqrt(2)cos^2x = cosx

Sqrt(2)cos^2x - cosx = 0

Cosx(sqrt(2)cosx - 1) = 0

X1 = Pi/2 + Pin, n ∈ Z

Sqrt(2)cos - 1 = 0

cox = 1/sqrt(2)

Cox = sqrt(2)/2

X2 = arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -arccos(sqrt(2)/2) + 2Pin, n ∈ Z

X2 = Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z
x3 = -Pi/4 + 2Pin, n ∈ Z

Să rezolvăm punctul b.

1) Selectarea rădăcinilor folosind inegalități

Aici totul se face simplu, substituim rădăcinile obținute în intervalul dat [-7Pi / 2; -2Pi], găsiți valori întregi pentru n.

7Pi/2 este mai mic sau egal cu Pi/2 + Pinul este mai mic sau egal cu -2Pi

Împărțiți imediat totul cu Pi

7/2 mai mic sau egal cu 1/2 + n mai mic sau egal cu -2

7/2 - 1/2 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -2 - 1/2

4 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -5/2

Numerele întregi n din acest interval sunt -4 și -3. Deci rădăcinile aparținând acestui interval vor fi Pi/2 + Pi(-4) = -7Pi/2, Pi/2 + Pi(-3) = -5Pi/2

În mod similar, mai facem două inegalități

7Pi/2 este mai mic sau egal cu Pi/4 + 2Pin este mai mic sau egal cu -2Pi
-15/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -9/8

Nu există numere întregi n în acest interval

7Pi/2 mai mic sau egal cu -Pi/4 + 2Pin mai mic sau egal cu -2Pi
-13/8 mai mic sau egal cu n mai mic sau egal cu -7/8

Un număr întreg n din acest interval este -1. Deci rădăcina selectată pe acest interval este -Pi/4 + 2Pi*(-1) = -9Pi/4.

Deci răspunsul din paragraful b: -7Pi / 2, -5Pi / 2, -9Pi / 4

2) Selectarea rădăcinilor folosind un cerc trigonometric

Pentru a utiliza această metodă, trebuie să înțelegeți cum funcționează acest cerc. Voi încerca să explic în termeni simpli cum îl înțeleg. Cred că în școlile la lecțiile de algebră această temă a fost explicată de multe ori cu cuvinte inteligente ale profesorului, în manuale există formulări complexe. Personal, înțeleg asta ca un cerc care poate fi parcurs de un număr infinit de ori, acest lucru se explică prin faptul că funcțiile sinus și cosinus sunt periodice.

Să mergem în sens invers acelor de ceasornic

Mergeți de 2 ori în sens invers acelor de ceasornic

Mergeți o dată în sensul acelor de ceasornic (valorile vor fi negative)

Să revenim la întrebarea noastră, trebuie să selectăm rădăcinile pe intervalul [-7Pi/2; -2Pi]

Pentru a ajunge la numerele -7Pi / 2 și -2Pi, trebuie să ocoliți cercul în sens invers acelor de ceasornic de două ori. Pentru a găsi rădăcinile ecuației pe acest interval, este necesar să se estimeze și să se substituie.

Luați în considerare x = Pi/2 + Pin. Care este valoarea aproximativă a lui n pentru ca x să fie undeva în acel interval? Înlocuim, să spunem -2, obținem Pi / 2 - 2Pi = -3Pi / 2, evident că acest lucru nu este inclus în gama noastră, așa că luăm mai puțin de -3, Pi / 2 - 3Pi = -5Pi / 2, aceasta este potrivit, să încercăm un alt -4 , Pi/2 - 4Pi = -7Pi/2, potrivit și el.

Argumentând în mod similar pentru Pi/4 + 2Pin și -Pi/4 + 2Pin, găsim o altă rădăcină -9Pi/4.

Comparația a două metode.

Prima modalitate (folosirea inegalităților) este mult mai fiabilă și mult mai ușor de înțeles, dar dacă înțelegeți cu adevărat cercul trigonometric și a doua metodă de selecție, atunci selecția rădăcinii va fi mult mai rapidă, puteți economisi aproximativ 15 minute la examen.

Scopul lecției:

A) consolida capacitatea de a rezolva ecuații trigonometrice simple;

b) învață cum să aleagă rădăcinile ecuațiilor trigonometrice dintr-un interval dat

În timpul orelor.

a) Verificarea temelor: clasa se dă înainte temei pentru acasă - pentru a rezolva ecuația și a găsi o modalitate de a alege rădăcinile din intervalul dat.

1) cos X= -0,5, unde xI [-]. Răspuns:.

2) păcatul X= , unde хI . Răspuns: ; .

3) cos 2 X= -, unde xI. Răspuns:

Elevii notează soluția pe tablă, unii folosind graficul, alții folosind metoda de selecție.

În acest moment clasa lucrează pe cale orală.

Aflați valoarea expresiei:

a) tg - sin + cos + sin. Raspunsul 1.

b) 2 arccos 0 + 3 arccos 1. Răspuns: ?

c) arcsin + arcsin. Răspuns:.

d) 5 arctg (-) - arccos (-). Răspuns:-.

Să vă verificăm temele, să vă deschidem caietele cu temele.

Unii dintre voi ați găsit soluția prin potrivire, iar alții prin grafic.

2. Concluzie despre modul de rezolvare a acestor sarcini și enunțarea problemei, adică mesajul subiectului și scopul lecției.

– a) Este greu de rezolvat cu ajutorul selecției dacă este dat un interval mare.

– b) Metoda grafică nu oferă rezultate precise, necesită verificare și necesită mult timp.

- Prin urmare, trebuie să mai existe cel puțin o altă cale, cea mai universală - să încercăm să o găsim. Deci, ce vom face astăzi în clasă? (Învățați să alegeți rădăcinile unei ecuații trigonometrice pe un interval dat.)

- Exemplul 1. (Elevul merge la tablă)

cos X= -0,5, unde xI [-].

Întrebare: Ce determină răspunsul la această sarcină? (Din soluția generală a ecuației. Să scriem soluția în formă generală). Soluția este scrisă pe tablă.

x = + 2?k, unde k R.

Să scriem această soluție ca un set:

- Ce părere aveți, sub ce notație a soluției este convenabil să alegeți rădăcini pe interval? (de la a doua intrare). Dar din nou, aceasta este o alegere. Ce trebuie să știm pentru a obține răspunsul corect? (Trebuie să cunoaștem valorile lui k).

(Să facem un model matematic pentru găsirea lui k).

Concluzie: Pentru a selecta rădăcinile dintr-un interval dat atunci când rezolvați o ecuație trigonometrică, trebuie:

1. pentru a rezolva o ecuație de forma sin x = a, cos x = a este mai convenabil să scrieți rădăcinile ecuației ca două serii de rădăcini.
2. pentru rezolvarea ecuatiilor de forma tan x = a, ctg x = a notează formula generală a rădăcinilor.
3. faceți un model matematic pentru fiecare soluție sub forma unei inegalități duble și găsiți valoarea întreagă a parametrului k sau n.
4. înlocuiți aceste valori în formula rădăcină și calculați-le.

Rezolvați exemplele nr. 2 și nr. 3 din teme folosind algoritmul obținut. În același timp, doi elevi lucrează la tablă, urmat de verificarea lucrării.

A) Rezolvați ecuația 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

b) \left[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \right].

Soluţie

A) Deschizând parantezele și mutând toți termenii în partea stângă, obținem ecuația 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Avand in vedere ca \cos x \neq 0, termenul 2 \sin x poate fi inlocuit cu 2 tg x \cos x, se obtine ecuatia 1+2 tan x \cos x-2 \cos x-tg x=0, care, prin grupare, se poate reduce la forma (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tgx=0, tanx=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cosx=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

b) Cu ajutorul unui cerc numeric, selectăm rădăcinile aparținând intervalului \left[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \right].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi )4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi )3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Răspuns

A) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

b) \frac(5\pi )3, \frac(7\pi )3, \frac(9\pi )4.

Condiție

A) Rezolvați ecuația (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(0;\,\frac(3\pi )2\right] ;

Soluţie

A) ODZ: \begin(cases) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(cases)

Ecuația inițială de pe ODZ este echivalentă cu setul de ecuații

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end(matrice)\dreapta.

Să rezolvăm prima ecuație. Pentru a face acest lucru, vom înlocui \cos 4x=t, t \in [-1; unu]. Atunci \sin^24x=1-t^2. Primim:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; unu].

\cos4x=\frac12,

4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Să rezolvăm a doua ecuație.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Folosind cercul unitar, găsim soluții care satisfac ODZ.

Semnul „+” marchează sferturile 1 și 3, în care tg x>0.

Se obține: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) Să găsim rădăcinile aparținând intervalului \left(0;\,\frac(3\pi )2\right].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi )(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi )(12); x=\frac(17\pi )(12).

Răspuns

A) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

b) \pi; \frac\pi(12); \frac(5\pi )(12); \frac(13\pi )(12); \frac(17\pi )(12).

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

A) Rezolvați ecuația: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

b) Specificați toate rădăcinile care aparțin intervalului \left(\frac(7\pi )2;\,\frac(9\pi )2\right].

Soluţie

A) pentru că \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, apoi \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, prin urmare, ecuația dată este echivalentă cu ecuația \cos^2x=\cos ^22x, care, la rândul ei, este echivalentă cu ecuația \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Dar \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)și

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, deci ecuația devine

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Atunci fie 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, fie 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Rezolvând prima ecuație ca o ecuație pătratică pentru \cos x, obținem:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4. Prin urmare, fie \cos x=1 fie \cosx=-\frac12. Dacă \cos x=1, atunci x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Dacă \cosx=-\frac12, apoi x=\pm \frac(2\pi )3+2s\pi , s \in \mathbb Z.

În mod similar, rezolvând a doua ecuație, obținem fie \cos x=-1, fie \cosx=\frac12. Dacă \cos x=-1, atunci rădăcinile x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.În cazul în care un \cosx=\frac12, apoi x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Să combinăm soluțiile obținute:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

b) Selectăm rădăcinile care se încadrează în intervalul dat folosind un cerc numeric.

Primim: x_1 =\frac(11\pi )3, x_2=4\pi , x_3 =\frac(13\pi )3.

Răspuns

A) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

b) \frac(11\pi )3, 4\pi , \frac(13\pi )3.

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

A) Rezolvați ecuația 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\left(\dfrac(3\pi )2-x\right) )(1+tgx).

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului \left(-2\pi ; -\frac(3\pi )2\right).

Soluţie

A) 1. Conform formulei de reducere, ctg\left(\frac(3\pi )2-x\right) =tgx. Domeniul ecuației va fi valorile x astfel încât \cos x \neq 0 și tg x \neq -1. Transformăm ecuația folosind formula cosinusului cu unghi dublu 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Obtinem ecuatia: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

observa asta \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx), deci ecuația devine: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx). De aici \cosx=\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cosx+\sinx=\frac65.

2. Transformați \sin x+\cos x folosind formula de reducere și formula pentru suma cosinusurilor: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.

De aici \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac(3\sqrt 2)5. Mijloace, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

sau x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

De aceea x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

sau x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Valorile găsite ale lui x aparțin domeniului definiției.

b) Să aflăm mai întâi unde se încadrează rădăcinile ecuației la k=0 și t=0. Acestea vor fi, respectiv, numerele a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5și b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Să demonstrăm o inegalitate auxiliară:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Într-adevăr, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

De asemenea, rețineți că \left(\frac(3\sqrt 2)5\right) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, mijloace \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Din inegalităţi (1) prin proprietatea arccosinusului obținem:

arccos 1

0

De aici \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

0

De asemenea, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

0

Cu k=-1 și t=-1 obținem rădăcinile ecuației a-2\pi și b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).în care -2\pi

2\pi Deci aceste rădăcini aparțin intervalului dat \left(-2\pi , -\frac(3\pi )2\right).

Pentru alte valori ale lui k și t, rădăcinile ecuației nu aparțin intervalului dat.

Într-adevăr, dacă k\geqslant 1 și t\geqslant 1, atunci rădăcinile sunt mai mari decât 2\pi. Dacă k\leqslant -2 și t\leqslant -2, atunci rădăcinile sunt mai mici -\frac(7\pi )2.

Răspuns

A) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

b) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

A) Rezolvați ecuația \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).

b) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului ;

Soluţie

A) Să transformăm ecuația:

\cosx=-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cosx=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;

1+2\sinx=0,

\sinx=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Găsim rădăcinile aparținând segmentului folosind cercul unitar.

Intervalul specificat conține un singur număr \frac\pi 2.

Răspuns

A) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

b) \frac\pi 2.

Sursa: „Matematică. Pregatire pentru examen-2017. nivel de profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Condiție

Mijloace, \sin x \neq 1.

Împărțiți ambele părți ale ecuației la factor (\sinx-1), diferit de zero. Obținem ecuația \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)), sau ecuație 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x). Aplicând formula de reducere în partea stângă și formula de reducere în partea dreaptă, obținem ecuația 2 \cos ^2 x=1-\cos x. Aceasta este ecuația care utilizează substituția \cosx=t, Unde -1 \leqslant t \leqslant 1 reduce la pătrat: 2t^2+t-1=0, ale căror rădăcini t_1=-1și t_2=\frac12. Revenind la variabila x, obținem \cos x = \frac12 sau \cosx=-1, Unde x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

b) Rezolvați inegalitățile

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 , m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi )3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 , -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m \leqslant -\frac56 , -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\left [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\right].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 , -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Nu există numere întregi care aparțin intervalului \left[-\frac7(12) ; -\frac1(12)\dreapta].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi )2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Această inegalitate este satisfăcută de k=-1, apoi x=-\pi.

Răspuns

A) \frac \pi 3+2\pi m; -\frac \pi 3+2\pi n; \pi +2\pi k, m, n, k \in \mathbb Z;

b) -\pi .

Cunoștințe minime obligatorii

Cunoștințe minime obligatorii

Cunoștințe minime obligatorii

Exerciții orale Calculați

Diverse metode de selecție a rădăcinilor

Diverse metode de selecție a rădăcinilor

10. Diverse metode de selecție a rădăcinilor

11. 1. Rezolvați ecuația 72cosx = 49sin2x și indicați rădăcinile acesteia pe segmentul [; 5/2]

12. 2. Rezolvați ecuația 4cos2 x + 8 cos (x - 3/2) +1 = 0 Aflați rădăcinile ei pe segment

13. Vom selecta rădăcinile de pe segment (folosind grafice)

14. 3. Rezolvați ecuația Aflați rădăcinile ei pe segment

15.

16. 4. Rezolvați ecuația log5 (cos x - sin 2x + 25) = 2 Aflați rădăcinile ei pe segment

17.

18. 5. Rezolvați ecuația 1/sin2x + 1/sin x = 2 Aflați rădăcinile ei pe segmentul [-5/2; -3/2]

19.

20. 6. Rezolvați ecuația |sin x|/sin x + 2 = 2cos x Aflați rădăcinile ei pe segmentul [-1; opt]

21. 7. Rezolvați ecuația 4sin3x=3cos(x- π/2) Aflați rădăcinile ei pe interval

25. Să efectuăm selecția rădăcinilor pe segment

26. 9. Rezolvați ecuația (sin2x + 2 sin2x)/√-cos x =0 Aflați rădăcinile ei în intervalul [-5; -7/2]