Cum se extinde modulul într-o ecuație. Care este modulul unui număr în matematică. Ecuații cu două module

În acest articol, vom analiza în detaliu valoarea absolută a unui număr. Vom da diverse definiții ale modulului unui număr, vom introduce notația și vom oferi ilustrații grafice. În acest caz, luăm în considerare diverse exemple de găsire a modulului unui număr prin definiție. După aceea, enumerăm și justificăm principalele proprietăți ale modulului. La sfârșitul articolului, vom vorbi despre modul în care este determinat și găsit modulul unui număr complex.

Navigare în pagină.

Modulul numărului - definiție, notație și exemple

Mai întâi vă prezentăm desemnarea modulului. Modulul numărului a se va scrie ca , adică în stânga și în dreapta numărului vom pune linii verticale care formează semnul modulului. Să dăm câteva exemple. De exemplu, modulo -7 poate fi scris ca ; modulul 4.125 este scris ca , iar modulul este scris ca .

Următoarea definiție a modulului se referă la, și prin urmare, la, și la numere întregi și la numere raționale și iraționale, în ceea ce privește părțile constitutive ale mulțimii numerelor reale. Vom vorbi despre modulul unui număr complex în.

Definiție.

Modulul de a este fie numărul a însuși, dacă a este un număr pozitiv, fie numărul −a, opusul numărului a, dacă a este un număr negativ, fie 0, dacă a=0 .

Definiția vocală a modulului unui număr este adesea scrisă în forma următoare , această notație înseamnă că dacă a>0 , dacă a=0 și dacă a<0 .

Înregistrarea poate fi reprezentată într-o formă mai compactă . Această notație înseamnă că dacă (a este mai mare sau egal cu 0) și dacă a<0 .

Există și un record . Aici, cazul când a=0 ar trebui explicat separat. În acest caz, avem , dar −0=0 , deoarece zero este considerat un număr care este opus lui însuși.

Să aducem exemple de găsire a modulului unui număr cu o definitie data. De exemplu, să găsim module ale numerelor 15 și . Să începem cu găsirea. Deoarece numărul 15 este pozitiv, modulul său este, prin definiție, egal cu acest număr însuși, adică . Care este modulul unui număr? Deoarece este un număr negativ, atunci modulul său este egal cu numărul opus numărului, adică numărul . În acest fel, .

În încheierea acestui paragraf, dăm o concluzie, care este foarte convenabilă de aplicat în practică atunci când găsim modulul unui număr. Din definirea modulului unui număr rezultă că modulul unui număr este egal cu numărul de sub semnul modulului, indiferent de semnul acestuia, iar din exemplele discutate mai sus, acest lucru este foarte clar vizibil. Declarația vocală explică de ce se numește și modulul unui număr valoarea absolută a numărului. Deci modulul unui număr și valoarea absolută a unui număr sunt unul și același.

Modulul unui număr ca distanță

Geometric, modulul unui număr poate fi interpretat ca distanţă. Să aducem determinarea modulului unui număr în termeni de distanță.

Definiție.

Modulul de a este distanța de la origine pe linia de coordonate până la punctul corespunzător numărului a.

Această definiție este în concordanță cu definiția modulului unui număr dată în primul paragraf. Să explicăm acest punct. Distanța de la origine până la punctul corespunzător unui număr pozitiv este egală cu acest număr. Zero corespunde originii, deci distanța de la origine până la punctul cu coordonata 0 este zero (nici un singur segment și nici un segment care alcătuiește vreo fracțiune din segmentul unității nu trebuie amânat pentru a ajunge de la punctul O la punctul cu coordonata 0). Distanța de la origine la un punct cu coordonată negativă este egală cu numărul opus coordonatei punctului dat, deoarece este egală cu distanța de la origine până la punctul a cărui coordonată este numărul opus.

De exemplu, modulul numărului 9 este 9, deoarece distanța de la origine până la punctul cu coordonata 9 este nouă. Să luăm un alt exemplu. Punctul cu coordonata −3,25 se află la o distanță de 3,25 de punctul O, deci .

Definiția sonoră a modulului unui număr este un caz special de definire a modulului diferenței a două numere.

Definiție.

Modulul de diferență a două numere a și b este egală cu distanța dintre punctele dreptei de coordonate cu coordonatele a și b .

Adică, dacă sunt date puncte de pe linia de coordonate A(a) și B(b), atunci distanța de la punctul A la punctul B este egală cu modulul diferenței dintre numerele a și b. Dacă luăm punctul O (punctul de referință) drept punct B, atunci vom obține definiția modulului numărului dat la începutul acestui paragraf.

Determinarea modulului unui număr prin rădăcina pătrată aritmetică

Uneori găsit determinarea modulului prin rădăcina pătrată aritmetică.

De exemplu, să calculăm modulele numerelor -30 și pe baza acestei definiții. Avem . În mod similar, calculăm modulul de două treimi: .

Definiția modulului unui număr în termeni de rădăcină pătrată aritmetică este, de asemenea, în concordanță cu definiția dată în primul paragraf al acestui articol. Să o arătăm. Fie a un număr pozitiv, iar −a negativ. Apoi și , dacă a=0 , atunci .

Proprietățile modulului

Modulul are o serie de rezultate caracteristice - proprietățile modulului. Acum vom prezenta principalele și cele mai frecvent utilizate dintre ele. La fundamentarea acestor proprietăți, ne vom baza pe definiția modulului unui număr în termeni de distanță.

Să începem cu cea mai evidentă proprietate a modulului − modulul unui număr nu poate fi un număr negativ. În formă literală, această proprietate are forma pentru orice număr a . Această proprietate este foarte ușor de justificat: modulul unui număr este distanța, iar distanța nu poate fi exprimată ca număr negativ.

Să trecem la următoarea proprietate a modulului. Modulul unui număr este egal cu zero dacă și numai dacă acest număr este zero. Modulul lui zero este zero prin definiție. Zero corespunde originii, niciun alt punct de pe linia de coordonate nu corespunde cu zero, deoarece fiecare număr real este asociat cu un singur punct de pe linia de coordonate. Din același motiv, orice număr altul decât zero corespunde unui alt punct decât originea. Și distanța de la origine la orice alt punct decât punctul O nu este egală cu zero, deoarece distanța dintre două puncte este egală cu zero dacă și numai dacă aceste puncte coincid. Raționamentul de mai sus demonstrează că numai modulul lui zero este egal cu zero.

Mergi mai departe. Numerele opuse au module egale, adică pentru orice număr a . Într-adevăr, două puncte de pe linia de coordonate, ale căror coordonate sunt numere opuse, sunt la aceeași distanță de origine, ceea ce înseamnă că modulele numerelor opuse sunt egale.

Următoarea proprietate a modulului este: modulul produsului a două numere este egal cu produsul modulelor acestor numere, acesta este, . Prin definiție, modulul produsului numerelor a și b este fie a b dacă , fie −(a b) dacă . Din regulile înmulțirii numerelor reale rezultă că produsul modulelor numerelor a și b este egal fie cu a b , , fie cu −(a b) , dacă , ceea ce demonstrează proprietatea considerată.

Modulul coeficientului de împărțire a lui a la b este egal cu câtul de împărțire a modulului lui a la modulul lui b, acesta este, . Să justificăm această proprietate a modulului. Deoarece coeficientul este egal cu produsul, atunci . În virtutea proprietății anterioare, avem . Rămâne doar să folosiți egalitatea , care este valabilă datorită definiției modulului numărului.

Următoarea proprietate a modulului este scrisă ca o inegalitate: , a , b și c sunt numere reale arbitrare. Inegalitatea scrisă nu este altceva decât inegalitatea triunghiulară. Pentru a clarifica acest lucru, să luăm punctele A(a), B(b) , C(c) de pe dreapta de coordonate și să considerăm triunghiul degenerat ABC, ale cărui vârfuri se află pe aceeași dreaptă. Prin definiție, modulul diferenței este egal cu lungimea segmentului AB, - lungimea segmentului AC și - lungimea segmentului CB. Deoarece lungimea oricărei laturi a unui triunghi nu depășește suma lungimilor celorlalte două laturi, inegalitatea , prin urmare, este valabilă și inegalitatea.

Inegalitatea tocmai dovedită este mult mai comună în formă . Inegalitatea scrisă este de obicei considerată o proprietate separată a modulului cu formularea: „ Modulul sumei a două numere nu depășește suma modulelor acestor numere". Dar inegalitatea rezultă direct din inegalitatea , dacă punem −b în loc de b în ea și luăm c=0 .

Modulul numărului complex

Să dăm determinarea modulului unui număr complex. Să ni se dea număr complex, scris sub formă algebrică , unde x și y sunt niște numere reale, reprezentând, respectiv, părțile reale și imaginare ale unui număr complex dat z, și este o unitate imaginară.

Definiție.

Modulul unui număr complex z=x+i y se numește rădăcina pătrată aritmetică a sumei pătratelor părților reale și imaginare ale unui număr complex dat.

Modulul unui număr complex z se notează ca , apoi definiția sonoră a modulului unui număr complex poate fi scrisă ca .

Această definiție vă permite să calculați modulul oricărui număr complex în notație algebrică. De exemplu, să calculăm modulul unui număr complex. În acest exemplu, partea reală a numărului complex este , iar partea imaginară este minus patru. Apoi, prin definiția modulului unui număr complex, avem .

Interpretarea geometrică a modulului unui număr complex poate fi dată în termeni de distanță, prin analogie cu interpretarea geometrică a modulului unui număr real.

Definiție.

Modulul numărului complex z este distanța de la începutul planului complex până la punctul corespunzător numărului z din acest plan.

Conform teoremei lui Pitagora, distanța de la punctul O până la punctul cu coordonatele (x, y) se găsește ca , prin urmare, , unde . Prin urmare, ultima definiție a modulului unui număr complex este de acord cu prima.

Această definiție vă permite, de asemenea, să indicați imediat care este modulul unui număr complex z, dacă este scris sub formă trigonometrică ca sau în formă exponenţială. Aici . De exemplu, modulul unui număr complex este 5, iar modulul numărului complex este .

De asemenea, se poate observa că produsul unui număr complex și conjugatul său complex dă suma pătratelor părților reale și imaginare. Într-adevăr, . Egalitatea rezultată ne permite să oferim încă o definiție a modulului unui număr complex.

Definiție.

Modulul numărului complex z este rădăcina pătrată aritmetică a produsului acestui număr și conjugatul său complex, adică .

În concluzie, observăm că toate proprietățile modulului formulate în subsecțiunea corespunzătoare sunt valabile și pentru numerele complexe.

Bibliografie.

Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
Lunts G.L., Elsgolts L.E. Funcțiile unei variabile complexe: un manual pentru universități.
Privalov I.I. Introducere în teoria funcțiilor unei variabile complexe.

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica o anumită persoană sau pentru a o contacta.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa de e-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

În cazul în care este necesar - în conformitate cu legea, ordinea judiciară, în cadrul procedurilor judiciare și/sau în baza cererilor publice sau a solicitărilor din partea organelor de stat de pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluiți informațiile dumneavoastră personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivelul companiei

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

Modulul unui număr este ușor de găsit, iar teoria din spatele lui este importantă în rezolvarea problemelor.

Proprietățile și regulile de dezvăluire utilizate în rezolvarea exercițiilor și în examene vor fi utile școlarilor și elevilor. Câștigă bani cu cunoștințele tale la https://teachs.ru!

Ce este un modul la matematică

Modulul unui număr descrie distanța pe dreapta numerică de la zero la un punct, indiferent de direcția în care se află punctul de la zero. Notatie matematica : |x|.

Cu alte cuvinte, este valoarea absolută a numărului. Definiția demonstrează că valoarea nu este niciodată negativă.

Proprietățile modulului

Este important să rețineți următoarele proprietăți:

Modulul numărului complex

Valoarea absolută a unui număr complex este lungimea segmentului direcționat trasat de la începutul planului complex până la punctul (a, b).

Acest segment direcționat este, de asemenea, un vector care reprezintă un număr complex a+bi, deci valoarea absolută a unui număr complex este aceeași cu mărimea (sau lungimea) vectorului reprezentând a + bi.

Cum se rezolvă ecuații cu modul

O ecuație modulo este o egalitate care conține o expresie de valoare absolută. Dacă pentru un număr real reprezintă distanța sa de la origine pe linia numerică, atunci inegalitățile modulo sunt un tip de inegalități care constau din valori absolute.

Ecuații ca |x| = a

Ecuația |x| = a are două răspunsuri x = a și x = –a, deoarece ambele opțiuni sunt pe linia de coordonate la o distanță a de la 0.

O egalitate cu valoare absolută nu are soluție dacă valoarea este negativă.

Dacă |x|< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Ecuații ca |x| = |y|

Când există valori absolute de ambele părți ale ecuațiilor, trebuie să luați în considerare ambele posibilități pentru definiții acceptabile - expresii pozitive și negative.

De exemplu, pentru egalitatea |x − a| = |x + b| există două opțiuni: (x − a) = − (x + b) sau (x − a) = (x + b).

Ecuații ca |x| =y

Ecuațiile de acest fel conțin valoarea absolută a expresiei cu o variabilă la stânga lui zero, iar la dreapta - o altă necunoscută. Variabila y poate fi mai mare sau mai mică decât zero.

Pentru a obține un răspuns într-o astfel de egalitate, trebuie să rezolvați un sistem de mai multe ecuații în care trebuie să vă asigurați că y este o valoare nenegativă:

Rezolvarea inegalităților cu modul

Pentru a înțelege mai bine cum să extindeți modulul în diferite tipuri de egalități și inegalități, trebuie să analizați exemplele.

Ecuații de forma |x| = a

Exemplul 1(algebră clasa a 6-a). Rezolvați: |x| + 2 = 4.

Soluţie.

Astfel de ecuații sunt rezolvate în același mod ca și egalitățile fără valori absolute. Aceasta înseamnă că prin mutarea necunoscutelor la stânga și a constantelor la dreapta, expresia nu se schimbă.

După ce mutam constanta la dreapta, obținem: |x| = 2.

Deoarece necunoscutele sunt asociate cu o valoare absolută, această egalitate are două răspunsuri: 2 și −2 .

Răspuns: 2 și −2 .

Exemplul 2(algebră clasa a 7-a). Rezolvați inegalitatea |x + 2| ≥ 1.

Soluţie.

Primul lucru de făcut este să găsiți punctele în care valoarea absolută se va schimba. Pentru aceasta, expresia este echivalată cu 0 . Primit: x = -2.

Înseamnă că –2 - Punct de cotitură.

Împărțim intervalul în 2 părți:

pentru x + 2 ≥ 0

[−1; + ∞).

pentru x + 2< 0

Răspunsul comun pentru aceste două inegalități este intervalul (−∞; –3].

decizia finala – combinarea răspunsurilor din părți separate:

X∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

Răspuns: X∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

Ecuații de forma |x| = |y|

Exemplul 1(algebră clasa a 8-a). Rezolvați ecuația cu două module: 2 * |x - 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

Soluţie:

Răspuns: x 1 = 3; x 2 = − 1.

Exemplul 2(algebră clasa a 8-a). Rezolvați inegalitatea:

Soluţie:

Ecuații de forma |x| =y

Exemplul 1(algebră clasa a 10-a). Găsiți x:

Soluţie:

Este foarte important să verificați partea dreaptă, altfel puteți scrie rădăcini eronate ca răspuns. Din sistem se vede că nu se află în interval.

Răspuns: x=0.

Modulul sumei

Modul de diferență

Valoarea absolută a diferenței dintre două numere X iar y este egală cu distanța dintre punctele cu coordonate Xși Y pe linia de coordonate.

Exemplul 1

Exemplul 2

Modulul unui număr negativ

Pentru a afla valoarea absolută a unui număr care este mai mic decât zero, trebuie să aflați cât de departe este de zero. Pentru că distanța este întotdeauna pozitivă (este imposibil să faci pași „negativi”, sunt doar pași în cealaltă direcție), rezultatul este întotdeauna pozitiv. Acesta este,

Mai simplu spus, valoarea absolută a unui număr negativ are sensul opus.

Modul zero

Proprietate cunoscută:

De aceea nu poți spune că valoarea absolută este un număr pozitiv: zero nu este nici negativ, nici pozitiv.

Modulul la pătrat

Modulul pătrat este întotdeauna egal cu expresia pătrat:

Exemple de diagrame cu modulul

Adesea în teste și examene există sarcini care pot fi rezolvate doar prin analiza graficelor. Să luăm în considerare astfel de sarcini.

Exemplul 1

Dată o funcție f(x) = |x|. Este necesar să construiți un grafic de la -3 la 3 cu pasul 1.

Soluţie:

Explicaţie: Puteți vedea din figură că graficul este simetric față de axa Y.

Exemplul 2. Este necesar să se deseneze și să se compare grafice ale funcțiilor f(x) = |x–2| și g(x) = |x|–2.

Soluţie:

Explicație: O constantă dintr-o valoare absolută mută întregul grafic la dreapta dacă valoarea sa este negativă și la stânga dacă este pozitivă. Dar constanta exterioară va muta graficul în sus dacă valoarea este pozitivă și în jos dacă este negativă (cum ar fi − 2 în funcțiune g(x)).

Coordonata vârfului X(punctul în care cele două linii se unesc, vârful graficului) este numărul cu care graficul este deplasat la stânga sau la dreapta. O coordonată y este valoarea cu care graficul este deplasat în sus sau în jos.

Puteți construi astfel de grafice folosind aplicații de plotare online. Cu ajutorul lor, puteți vedea vizual modul în care constantele afectează funcțiile.

Metoda intervalelor în sarcini cu un modul

Metoda intervalului este una dintre cele mai bune modalități de a găsi răspunsul în probleme modulo, mai ales dacă există mai multe dintre ele în expresie.

Pentru a utiliza metoda, trebuie să faceți următoarele:

Echivalează fiecare expresie cu zero.
Găsiți valorile variabilelor.
Trasează pe linia numerică punctele obținute la pasul 2.
Determinați semnul expresiilor din spații (valoare negativă sau pozitivă) și desenați simbolul - sau respectiv +. Cea mai ușoară modalitate de a determina semnul este utilizarea metodei de substituție (înlocuirea oricărei valori din interval).
Rezolvați inegalitățile cu semnele rezultate.

Exemplul 1. Rezolvați prin metoda intervalului.

Soluţie:

Instruire

Dacă modulul este reprezentat ca o funcție continuă, atunci valoarea argumentului său poate fi fie pozitivă, fie negativă: |х| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Modulul este zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este modulul său. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele opusului sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modulul unui număr complex se găsește prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă ordinea termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Argumentul ridicat la putere se află simultan sub semnul rădăcinii de același ordin - se rezolvă cu: √a² = |a| = ±a.

Dacă aveți o sarcină în fața dvs. care nu specifică condiția pentru extinderea parantezelor modulului, atunci nu trebuie să scăpați de ele - acesta va fi rezultatul final. Și dacă doriți să le deschideți, atunci trebuie să specificați semnul ±. De exemplu, trebuie să găsiți valoarea expresiei √(2 * (4-b)) ². Soluția lui arată astfel: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Deoarece semnul expresiei 4-b este necunoscut, acesta trebuie lăsat între paranteze. Dacă adăugați o condiție suplimentară, de exemplu, |4-b| >

Modulul lui zero este egal cu zero, iar modulul oricărui număr pozitiv este egal cu el însuși. Dacă argumentul este negativ, atunci după deschiderea parantezelor, semnul său se schimbă de la minus la plus. Pe baza acesteia rezultă concluzia că modulele numerelor opuse sunt egale: |-x| = |x| = x.

Modulul unui număr complex se găsește prin formula: |a| = √b ² + c ² și |a + b| ≤ |a| + |b|. Dacă argumentul conține un număr întreg pozitiv ca multiplicator, atunci acesta poate fi scos din semnul parantezei, de exemplu: |4*b| = 4*|b|.

Modulul nu poate fi negativ, astfel încât orice număr negativ este convertit într-unul pozitiv: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Dacă argumentul este prezentat ca număr complex, atunci pentru comoditatea calculelor, este permisă modificarea ordinii termenilor expresiei cuprinse între paranteze drepte: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 deoarece (2-3) este mai mic decât zero.

Termenul (modul) în traducere literală din latină înseamnă „măsură”. Acest concept a fost introdus în matematică de omul de știință englez R. Cotes. Și matematicianul german K. Weierstrass a introdus semnul modulului - simbol prin care acest concept este notat la scriere.

In contact cu

Pentru prima dată acest concept este studiat la matematică în cadrul programului clasei a VI-a de liceu. Conform unei definiții, modulul este valoarea absolută a unui număr real. Cu alte cuvinte, pentru a afla modulul unui număr real, trebuie să renunți la semnul acestuia.

Valoarea grafică absolută A notat ca |a|.

Principala trăsătură distinctivă a acestui concept este că este întotdeauna o valoare nenegativă.

Numerele care diferă între ele doar prin semn se numesc numere opuse. Dacă valoarea este pozitivă, atunci opusul său este negativ, iar zero este propriul său opus.

valoare geometrică

Dacă luăm în considerare conceptul de modul din punctul de vedere al geometriei, atunci acesta va desemna distanța care este măsurată în segmente unitare de la origine la un punct dat. Această definiție dezvăluie pe deplin sensul geometric al termenului studiat.

Grafic, aceasta poate fi exprimată astfel: |a| = O.A.

Proprietăți de valoare absolută

Mai jos vom lua în considerare toate proprietățile matematice ale acestui concept și modalitățile de scriere sub formă de expresii literale:

Caracteristici ale rezolvării ecuațiilor cu un modul

Dacă vorbim despre rezolvarea ecuațiilor și inegalităților matematice care conțin modul, atunci trebuie să vă amintiți că pentru a le rezolva, va trebui să deschideți acest semn.

De exemplu, dacă semnul valorii absolute conține o expresie matematică, atunci înainte de a deschide modulul, este necesar să se țină cont de definițiile matematice curente.

|A + 5| = A + 5 dacă A este mai mare sau egal cu zero.

5-A dacă A este mai mic decât zero.

În unele cazuri, semnul poate fi extins fără ambiguitate pentru orice valoare a variabilei.

Să luăm în considerare încă un exemplu. Să construim o linie de coordonate, pe care marchem toate valorile numerice, a căror valoare absolută va fi 5.

Mai întâi trebuie să desenați o linie de coordonate, să desemnați originea coordonatelor pe ea și să setați dimensiunea unui singur segment. În plus, linia trebuie să aibă o direcție. Acum pe această linie dreaptă este necesar să se aplice marcaje care vor fi egale cu valoarea unui singur segment.

Astfel, putem observa că pe această linie de coordonate vor exista două puncte de interes pentru noi cu valorile 5 și -5.