نحوه گسترش مدول در یک معادله مدول یک عدد در ریاضیات چقدر است. معادلات با دو ماژول

در این مقاله به تجزیه و تحلیل مفصل خواهیم پرداخت قدر مطلق یک عدد. ما تعاریف مختلفی از مدول یک عدد ارائه می دهیم، نمادگذاری را معرفی می کنیم و تصاویر گرافیکی ارائه می دهیم. در این مورد، مثال های مختلفی از یافتن مدول یک عدد به صورت تعریف را در نظر می گیریم. پس از آن، ویژگی های اصلی ماژول را لیست و توجیه می کنیم. در پایان مقاله در مورد چگونگی تعیین و یافتن مدول یک عدد مختلط صحبت خواهیم کرد.

پیمایش صفحه.

مدول عدد - تعریف، علامت گذاری و مثال ها

ابتدا معرفی می کنیم تعیین مدول. ماژول عدد a به صورت نوشته می شود، یعنی در سمت چپ و سمت راست عدد خطوط عمودی که علامت ماژول را تشکیل می دهند قرار می دهیم. بیایید چند مثال بزنیم. به عنوان مثال، modulo -7 را می توان به صورت ; ماژول 4,125 به صورت نوشته می شود و ماژول به صورت نوشته می شود.

تعریف زیر از ماژول به، و بنابراین، به، و به اعداد صحیح، و به اعداد گویا و غیر منطقی، به عنوان اجزای تشکیل دهنده مجموعه اعداد حقیقی اشاره دارد. ما در مورد مدول یک عدد مختلط در صحبت خواهیم کرد.

تعریف.

مدول aیا خود عدد a است، اگر a یک عدد مثبت است، یا عدد -a، مخالف عدد a، اگر a عددی منفی است، یا 0، اگر a=0 است.

تعریف صوتی مدول یک عدد اغلب به شکل زیر نوشته می شود ، این نماد به این معنی است که اگر a>0 ، اگر a=0 و اگر a<0 .

رکورد را می توان به شکل فشرده تری نشان داد . این نماد به این معنی است که اگر (a بزرگتر یا مساوی 0 است)، و اگر a<0 .

یک رکورد نیز وجود دارد . در اینجا موردی که a=0 باید جداگانه توضیح داده شود. در این حالت، ما داریم، اما −0=0، زیرا صفر عددی است که مخالف خودش است.

بیاوریم مثال هایی برای یافتن مدول یک عددبا یک تعریف داده شده به عنوان مثال، اجازه دهید ماژول های اعداد 15 و . بیایید با پیدا کردن شروع کنیم. از آنجایی که عدد 15 مثبت است، مدول آن طبق تعریف برابر با خود این عدد است، یعنی . مدول یک عدد چقدر است؟ از آنجایی که یک عدد منفی است، مدول آن برابر است با عدد مقابل عدد، یعنی عدد . به این ترتیب، .

در پایان این پاراگراف، ما یک نتیجه می گیریم که در عمل هنگام یافتن مدول یک عدد بسیار راحت است. از تعریف مدول یک عدد به دست می آید که مدول یک عدد بدون توجه به علامت آن برابر است با عدد زیر علامت مدول، و از نمونه هایی که در بالا بحث شد، این به وضوح قابل مشاهده است. بیانیه بیان شده توضیح می دهد که چرا مدول یک عدد نیز نامیده می شود قدر مطلق عدد. بنابراین مدول یک عدد و قدر مطلق یک عدد یکی و یکسان است.

مدول یک عدد به عنوان فاصله

از نظر هندسی، مدول یک عدد را می توان به صورت تفسیر کرد فاصله. بیاوریم تعیین مدول یک عدد بر حسب فاصله.

تعریف.

مدول aفاصله از مبدأ روی خط مختصات تا نقطه مربوط به عدد a است.

این تعریف با تعریف مدول یک عدد ارائه شده در پاراگراف اول مطابقت دارد. اجازه دهید این نکته را توضیح دهیم. فاصله مبدا تا نقطه مربوط به یک عدد مثبت برابر با این عدد است. صفر مربوط به مبدا است، بنابراین فاصله مبدا تا نقطه با مختصات 0 صفر است (هیچ پاره منفرد و هیچ پاره ای که کسری از قطعه واحد را تشکیل می دهد لازم نیست برای رسیدن از نقطه O به نقطه به تعویق بیفتد. با مختصات 0). فاصله مبدا تا نقطه ای با مختصات منفی برابر است با عدد مقابل مختصات نقطه داده شده، زیرا برابر است با فاصله مبدا تا نقطه ای که مختصات آن عدد مقابل است.

به عنوان مثال، مدول عدد 9 9 است، زیرا فاصله مبدا تا نقطه با مختصات 9 9 است. بیایید مثال دیگری بزنیم. نقطه ای با مختصات 25/3- در فاصله 25/3 از نقطه O قرار دارد، بنابراین .

تعریف صدا از مدول یک مورد خاص از تعریف مدول اختلاف دو عدد است.

تعریف.

مدول اختلاف دو عدد a و b برابر است با فاصله بین نقاط خط مختصات با مختصات a و b.

یعنی اگر نقاطی از خط مختصات A(a) و B(b) داده شوند، فاصله نقطه A تا نقطه B برابر است با مدول اختلاف بین اعداد a و b. اگر نقطه O (نقطه مرجع) را به عنوان نقطه B در نظر بگیریم، تعریف مدول عددی را که در ابتدای این پاراگراف داده شده است، بدست می آوریم.

تعیین مدول یک عدد از طریق جذر حسابی

گاهی پیدا می شود تعیین مدول از طریق جذر حسابی.

به عنوان مثال، اجازه دهید ماژول های اعداد −30 را بر اساس این تعریف محاسبه کنیم. ما داریم . به طور مشابه، ما مدول دو سوم را محاسبه می کنیم: .

تعریف مدول یک عدد بر حسب جذر حسابی نیز با تعریف ارائه شده در بند اول این مقاله مطابقت دارد. بیایید آن را نشان دهیم. بگذارید a یک عدد مثبت باشد و −a منفی باشد. سپس و ، اگر a=0 باشد، پس .

ویژگی های ماژول

این ماژول تعدادی نتایج مشخص دارد - خواص ماژول. حال به معرفی اصلی و پرکاربردترین آنها می پردازیم. هنگام اثبات این ویژگی‌ها، به تعریف مدول یک عدد بر حسب فاصله تکیه می‌کنیم.

بیایید با واضح ترین ویژگی ماژول - شروع کنیم مدول یک عدد نمی تواند یک عدد منفی باشد. در شکل تحت اللفظی، این ویژگی شکل هر عدد a را دارد. توجیه این ویژگی بسیار آسان است: مدول یک عدد فاصله است و فاصله را نمی توان به عنوان یک عدد منفی بیان کرد.

بیایید به ویژگی بعدی ماژول برویم. مدول یک عدد برابر با صفر است اگر و فقط اگر این عدد صفر باشد. مدول صفر طبق تعریف صفر است. صفر مربوط به مبدا است، هیچ نقطه دیگری در خط مختصات با صفر مطابقت ندارد، زیرا هر عدد واقعی با یک نقطه در خط مختصات مرتبط است. به همین دلیل، هر عددی غیر از صفر با نقطه ای غیر از مبدا مطابقت دارد. و فاصله مبدأ تا هر نقطه ای غیر از نقطه O برابر با صفر نیست، زیرا فاصله بین دو نقطه برابر با صفر است اگر و فقط اگر این نقاط بر هم منطبق باشند. استدلال فوق ثابت می کند که فقط مدول صفر برابر با صفر است.

حرکت کن اعداد مخالف دارای ماژول های مساوی هستند، یعنی برای هر عدد a . در واقع، دو نقطه روی خط مختصات که مختصات آنها اعداد متضاد هستند، در فاصله یکسانی از مبدا قرار دارند، به این معنی که ماژول های اعداد مخالف برابر هستند.

ویژگی ماژول بعدی این است: مدول حاصلضرب دو عدد برابر است با حاصلضرب ماژول های این اعداد، به این معنا که، . طبق تعریف، مدول حاصلضرب اعداد a و b یا a b است اگر یا −(ab) اگر . از قواعد ضرب اعداد حقیقی برمی‌آید که حاصل ضرب مدول‌های اعداد a و b برابر با a b , , یا −(a b) است که خاصیت در نظر گرفته شده را ثابت می‌کند.

مدول تقسیم a بر b برابر است با ضریب تقسیم مدول a بر مدول b، به این معنا که، . اجازه دهید این ویژگی ماژول را توجیه کنیم. از آنجایی که ضریب برابر با حاصلضرب است، پس . به موجب اموال قبلی داریم . تنها استفاده از تساوی باقی می ماند که به دلیل تعریف مدول عدد معتبر است.

ویژگی ماژول زیر به صورت نابرابری نوشته می شود: , a , b و c اعداد واقعی دلخواه هستند. نابرابری نوشتاری چیزی بیش از این نیست نابرابری مثلث. برای روشن شدن این موضوع، اجازه دهید نقاط A(a) , B(b) , C(c) را روی خط مختصات در نظر بگیریم و مثلث منحط ABC را در نظر بگیریم که رئوس آن روی همان خط قرار دارد. طبق تعریف، مدول اختلاف برابر است با طول قطعه AB، - طول قطعه AC، و - طول قطعه CB. از آنجایی که طول هر یک از ضلع های مثلث از مجموع طول های دو ضلع دیگر تجاوز نمی کند، نابرابری بنابراین، نابرابری نیز وجود دارد.

نابرابری که به تازگی ثابت شد در شکل بسیار رایج تر است . نابرابری نوشته شده معمولاً به عنوان یک ویژگی جداگانه از ماژول با فرمول زیر در نظر گرفته می شود: مدول مجموع دو عدد از مجموع مدول های این اعداد تجاوز نمی کند". اما نابرابری مستقیماً از نامساوی پیروی می کند، اگر −b را به جای b در آن قرار دهیم و c=0 را بگیریم.

مدول عدد مختلط

بدهیم تعیین مدول یک عدد مختلط. بگذار به ما داده شود عدد مختلط، به شکل جبری نوشته شده است، که در آن x و y برخی از اعداد واقعی هستند که به ترتیب نشان دهنده قسمت های واقعی و خیالی یک عدد مختلط z هستند و یک واحد خیالی است.

تعریف.

مدول یک عدد مختلط z=x+i y را جذر حسابی مجموع مجذور اجزای واقعی و خیالی یک عدد مختلط می گویند.

مدول یک عدد مختلط z را به عنوان نشان می دهند، سپس تعریف صدا از مدول یک عدد مختلط را می توان به صورت نوشتاری .

این تعریف به شما امکان می دهد مدول هر عدد مختلط را در نماد جبری محاسبه کنید. برای مثال، مدول یک عدد مختلط را محاسبه می کنیم. در این مثال، قسمت واقعی عدد مختلط برابر است و قسمت خیالی آن منهای چهار است. سپس با تعریف مدول یک عدد مختلط داریم .

تفسیر هندسی مدول یک عدد مختلط را می توان بر حسب فاصله، با قیاس با تفسیر هندسی مدول یک عدد واقعی ارائه داد.

تعریف.

مدول عدد مختلط z فاصله مبدا صفحه مختلط تا نقطه مربوط به عدد z در آن صفحه است.

طبق قضیه فیثاغورث، فاصله نقطه O تا نقطه دارای مختصات (x, y) به صورت , در نتیجه , جایی که . بنابراین، آخرین تعریف مدول یک عدد مختلط با تعریف اول مطابقت دارد.

این تعریف همچنین به شما این امکان را می دهد که فوراً نشان دهید که مدول یک عدد مختلط z چقدر است، اگر به شکل مثلثاتی به صورت نوشته شده باشد. یا به صورت نمایی اینجا . مثلاً مدول یک عدد مختلط 5 است و مدول عدد مختلط .

همچنین می توان دید که حاصل ضرب یک عدد مختلط و مزدوج مختلط آن مجموع مجذورات اجزای واقعی و خیالی را به دست می دهد. واقعا، . برابری حاصل به ما امکان می دهد یک تعریف دیگر از مدول یک عدد مختلط ارائه دهیم.

تعریف.

مدول عدد مختلط z جذر حسابی حاصل ضرب این عدد و مزدوج مختلط آن یعنی .

در پایان، توجه می کنیم که تمام ویژگی های ماژول فرموله شده در بخش فرعی مربوطه برای اعداد مختلط نیز معتبر است.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ویلنکین N.Ya. و غیره ریاضی. کلاس ششم: کتاب درسی برای مؤسسات آموزشی.
• Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی 8 سلولی. موسسات آموزشی
• Lunts G.L.، Elsgolts L.E. توابع یک متغیر مختلط: کتاب درسی برای دانشگاه ها.
• پریوالوف I.I. مقدمه ای بر تئوری توابع یک متغیر مختلط.

حریم خصوصی شما برای ما مهم است. به همین دلیل، ما یک خط‌مشی رازداری ایجاد کرده‌ایم که نحوه استفاده و ذخیره اطلاعات شما را توضیح می‌دهد. لطفا خط مشی حفظ حریم خصوصی ما را بخوانید و در صورت داشتن هرگونه سوال با ما در میان بگذارید.

جمع آوری و استفاده از اطلاعات شخصی

اطلاعات شخصی به داده هایی اشاره دارد که می توان از آنها برای شناسایی یا تماس با یک فرد خاص استفاده کرد.

در هر زمانی که با ما تماس می گیرید ممکن است از شما خواسته شود اطلاعات شخصی خود را ارائه دهید.

در زیر چند نمونه از انواع اطلاعات شخصی که ممکن است جمع آوری کنیم و نحوه استفاده از این اطلاعات آورده شده است.

چه اطلاعات شخصی جمع آوری می کنیم:

• هنگامی که درخواستی را در سایت ارسال می کنید، ممکن است اطلاعات مختلفی از جمله نام، شماره تلفن، آدرس ایمیل و غیره شما را جمع آوری کنیم.

نحوه استفاده ما از اطلاعات شخصی شما:

• اطلاعات شخصی که جمع آوری می کنیم به ما امکان می دهد با شما تماس بگیریم و در مورد پیشنهادات منحصر به فرد، تبلیغات و سایر رویدادها و رویدادهای آتی به شما اطلاع دهیم.
• هر از گاهی، ممکن است از اطلاعات شخصی شما برای ارسال اعلان‌ها و پیام‌های مهم استفاده کنیم.
• ما همچنین ممکن است از اطلاعات شخصی برای مقاصد داخلی مانند انجام ممیزی، تجزیه و تحلیل داده ها و تحقیقات مختلف به منظور بهبود خدماتی که ارائه می کنیم و توصیه هایی در مورد خدمات خود به شما ارائه می دهیم، استفاده کنیم.
• اگر وارد قرعه‌کشی، مسابقه یا انگیزه‌های مشابهی شوید، ممکن است از اطلاعاتی که شما ارائه می‌دهید برای اجرای چنین برنامه‌هایی استفاده کنیم.

افشا به اشخاص ثالث

ما اطلاعات دریافتی از شما را در اختیار اشخاص ثالث قرار نمی دهیم.

استثناها:

• در صورت لزوم - مطابق با قانون، دستور قضایی، در مراحل قانونی و / یا بر اساس درخواست های عمومی یا درخواست های ارگان های دولتی در قلمرو فدراسیون روسیه - اطلاعات شخصی خود را افشا کنید. همچنین اگر تشخیص دهیم که چنین افشایی برای اهداف امنیتی، اجرای قانون یا سایر اهداف عمومی ضروری یا مناسب است، ممکن است اطلاعات مربوط به شما را فاش کنیم.
• در صورت سازماندهی مجدد، ادغام یا فروش، ممکن است اطلاعات شخصی را که جمع آوری می کنیم به جانشین شخص ثالث مربوطه منتقل کنیم.

حفاظت از اطلاعات شخصی

ما اقدامات احتیاطی - از جمله اداری، فنی و فیزیکی - را برای محافظت از اطلاعات شخصی شما در برابر از دست دادن، سرقت، و سوء استفاده، و همچنین از دسترسی غیرمجاز، افشا، تغییر و تخریب انجام می دهیم.

حفظ حریم خصوصی خود در سطح شرکت

برای اطمینان از ایمن بودن اطلاعات شخصی شما، روش‌های حفظ حریم خصوصی و امنیتی را به کارکنان خود ابلاغ می‌کنیم و شیوه‌های حفظ حریم خصوصی را به شدت اجرا می‌کنیم.

پیدا کردن مدول یک عدد آسان است و تئوری پشت آن در حل مسائل مهم است.

خواص و قواعد افشاگری مورد استفاده در حل تمرین ها و امتحانات برای دانش آموزان و دانش آموزان مفید خواهد بود. با دانش خود در https://teachs.ru درآمد کسب کنید!

ماژول در ریاضیات چیست

مدول یک عدد، فاصله روی خط عددی از صفر تا یک نقطه را بدون توجه به اینکه نقطه از صفر در کدام جهت قرار دارد، توصیف می کند. نماد ریاضی : |x|.

به عبارت دیگر، قدر مطلق عدد است. این تعریف ثابت می کند که مقدار هرگز منفی نیست.

ویژگی های ماژول

مهم است که خواص زیر را به خاطر بسپارید:

مدول عدد مختلط

قدر مطلق یک عدد مختلط طول پاره جهت دار است که از ابتدای صفحه مختلط تا نقطه (a, b) کشیده شده است.

این قطعه جهت‌دار نیز یک بردار است که یک عدد مختلط را نشان می‌دهد a+bi، بنابراین قدر مطلق یک عدد مختلط برابر است با بزرگی (یا طول) بردار نشان دهنده a + bi.

نحوه حل معادلات با مدول

معادله مدول برابری است که حاوی یک عبارت قدر مطلق است. اگر برای یک عدد واقعی، فاصله آن از مبدأ روی خط اعداد را نشان دهد، در این صورت نابرابری‌های مدول نوعی نامعادله هستند که از مقادیر مطلق تشکیل شده‌اند.

معادلاتی مانند |x| = a

معادله |x| = یک دارد دو پاسخ x = a و x = –a، زیرا هر دو گزینه روی خط مختصات در فاصله a از 0 قرار دارند.

تساوی با مقدار مطلق اگر مقدار منفی باشد راه حلی ندارد.

اگر |x|< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

معادلاتی مانند |x| = |y|

هنگامی که مقادیر مطلق در هر دو طرف معادلات وجود دارد، باید هر دو احتمال را برای تعاریف قابل قبول در نظر گرفت - عبارات مثبت و منفی.

به عنوان مثال، برای برابری |x − a| = |x + b| دو گزینه وجود دارد: (x - a) = - (x + b) یا (x - a) = (x + b).

معادلاتی مانند |x| =y

معادلات از این نوع حاوی مقدار مطلق عبارت با یک متغیر در سمت چپ صفر و در سمت راست - ناشناخته دیگری است. متغیر y می تواند بزرگتر یا کمتر از صفر باشد.

برای به دست آوردن پاسخ در چنین برابری، باید یک سیستم از چندین معادله را حل کنید که در آن باید مطمئن شوید که y یک مقدار غیر منفی است:

حل نامساوی با مدول

برای درک بهتر نحوه گسترش ماژول در انواع مختلف برابری ها و نابرابری ها، باید مثال ها را تجزیه و تحلیل کنید.

معادلات فرم |x| = a

مثال 1(جبر کلاس 6). حل کنید: |x| + 2 = 4.

راه حل.

چنین معادلاتی مانند برابری های بدون مقادیر مطلق حل می شوند. به این معنی که با حرکت مجهولات به چپ و ثابت ها به راست، عبارت تغییر نمی کند.

پس از جابجایی ثابت به سمت راست، دریافت می کنیم: |x| = 2.

از آنجایی که مجهولات با یک مقدار مطلق همراه هستند، این برابری دو پاسخ دارد: 2 و −2 .

پاسخ: 2 و −2 .

مثال 2(جبر درجه 7). حل نابرابری |x + 2| ≥ 1.

راه حل.

اولین کاری که باید انجام دهید این است که نقاطی را پیدا کنید که قدر مطلق تغییر می کند. برای این، عبارت برابر است 0 . اخذ شده: x = -2.

معنیش اینه که –2 - نقطه عطف.

فاصله را به 2 قسمت تقسیم می کنیم:

1. برای x + 2 ≥ 0

[−1; + ∞).

1. برای x + 2< 0

پاسخ رایج برای این دو نامساوی فاصله است (−∞; –3].

تصمیم نهایی – ترکیب پاسخ های بخش های جداگانه:

ایکس∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

پاسخ: ایکس∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

معادلات فرم |x| = |y|

مثال 1(جبر کلاس 8). معادله را با دو ماژول حل کنید: 2 * |x - 1| + 3 = 9 – |x – 1|.

راه حل:

پاسخ: x 1 = 3; x 2 = − 1.

مثال 2(جبر کلاس 8). حل نابرابری:

راه حل:

معادلات فرم |x| =y

مثال 1(جبر درجه 10). x را پیدا کنید:

راه حل:

بررسی سمت راست بسیار مهم است، در غیر این صورت می توانید ریشه های اشتباه را در پاسخ بنویسید. از سیستم می توان فهمید که در بازه قرار ندارد.

پاسخ: x=0.

مدول جمع

مدول تفاوت

قدر مطلق تفاوت بین دو عدد ایکسو y برابر است با فاصله بین نقاط دارای مختصات ایکسو Yروی خط مختصات

مثال 1

مثال 2

مدول یک عدد منفی

برای پیدا کردن قدر مطلق عددی که کمتر از صفر است، باید بفهمید که چقدر از صفر فاصله دارد. از آنجا که فاصله همیشه مثبت است (رفتن مراحل "منفی" غیرممکن است، آنها فقط گام هایی در جهت دیگر هستند)، نتیجه همیشه مثبت است. به این معنا که،

به عبارت ساده، قدر مطلق یک عدد منفی معنای مخالف دارد.

ماژول صفر

اموال شناخته شده:

به همین دلیل است که نمی توان گفت قدر مطلق یک عدد مثبت است: صفر نه منفی است و نه مثبت.

ماژول مربع

مدول مربع همیشه برابر است با عبارت مربع:

نمونه هایی از نمودارها با ماژول

اغلب در آزمون ها و امتحانات تکالیفی وجود دارد که تنها با تجزیه و تحلیل نمودارها قابل حل هستند. بیایید چنین وظایفی را در نظر بگیریم.

مثال 1

تابع f(x) = |x|. لازم است با مرحله 1 یک نمودار از 3- تا 3 بسازید.

راه حل:

توضیح: از شکل می بینید که نمودار نسبت به محور Y متقارن است.

مثال 2. ترسیم و مقایسه نمودارهای توابع f(x) = |x–2| ضروری است و g(x) = |x|–2.

راه حل:

توضیح: یک ثابت در یک مقدار مطلق اگر مقدار آن منفی باشد، کل نمودار را به سمت راست و اگر مثبت باشد به سمت چپ حرکت می دهد. اما ثابت خارج، گراف را در صورتی که مقدار مثبت باشد به سمت بالا و اگر منفی باشد، به سمت پایین حرکت می‌دهد (مانند - 2 در عمل g(x)).

مختصات راس ایکس(نقطه ای که دو خط به هم می پیوندند، راس نمودار) عددی است که توسط آن نمودار به چپ یا راست منتقل می شود. یک مختصات yمقداری است که توسط آن نمودار به سمت بالا یا پایین جابه جا می شود.

شما می توانید چنین نمودارهایی را با استفاده از برنامه های ترسیم آنلاین بسازید. با کمک آنها، می توانید به صورت بصری ببینید که چگونه ثابت ها بر عملکردها تأثیر می گذارند.

روش فواصل در وظایف با یک ماژول

روش فاصله یکی از بهترین راه ها برای یافتن پاسخ در مسائل مدول است، به خصوص اگر چندین مورد از آنها در عبارت وجود داشته باشد.

برای استفاده از روش، باید موارد زیر را انجام دهید:

1. هر عبارت را با صفر برابر کنید.
2. مقادیر متغیرها را بیابید.
3. نقاط به دست آمده در مرحله 2 را روی خط اعداد رسم کنید.
4. علامت عبارات را در فاصله ها (مقدار منفی یا مثبت) مشخص کنید و به ترتیب علامت - یا + را رسم کنید. ساده ترین راه برای تعیین علامت استفاده از روش جایگزینی (جایگزینی هر مقدار از بازه) است.
5. نابرابری ها را با علائم به دست آمده حل کنید.

مثال 1. با روش فاصله حل کنید.

راه حل:

دستورالعمل

اگر مدول به عنوان یک تابع پیوسته نمایش داده شود، مقدار آرگومان آن می تواند مثبت یا منفی باشد: |х| = x، x ≥ 0; |x| = - x، x

مدول صفر است و مدول هر عدد مثبت مدول آن است. اگر آرگومان منفی باشد، پس از باز کردن پرانتز، علامت آن از منفی به مثبت تغییر می کند. بر این اساس، نتیجه به دست می آید که ماژول های مقابل برابر هستند: |-x| = |x| = x.

مدول یک عدد مختلط با فرمول: |a| = √b ² + c ² و |a + b| ≤ |a| + |b|. اگر آرگومان دارای یک عدد مثبت به عنوان ضریب باشد، می توان آن را از علامت براکت خارج کرد، به عنوان مثال: |4*b| = 4*|b|.

اگر آرگومان به صورت یک عدد مختلط ارائه شود، برای راحتی محاسبات، ترتیب عبارت‌های عبارت محصور در کروشه مجاز است: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 زیرا (2-3) کمتر از صفر است.

آرگومان افزایش یافته به توان به طور همزمان در زیر علامت ریشه همان ترتیب است - حل می شود: √a² = |a| = ± a.

اگر کاری در مقابل خود دارید که شرط گسترش براکت های ماژول را مشخص نمی کند، نیازی به خلاص شدن از شر آنها ندارید - این نتیجه نهایی خواهد بود. و اگر می خواهید آنها را باز کنید، باید علامت ± را مشخص کنید. برای مثال، باید مقدار عبارت √(2 * (4-b)) ² را پیدا کنید. راه حل او به این صورت است: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. از آنجایی که علامت عبارت 4-b ناشناخته است، باید در پرانتز گذاشته شود. اگر یک شرط اضافی اضافه کنید، برای مثال، |4-b| >

مدول صفر برابر با صفر و مدول هر عدد مثبتی برابر با خودش است. اگر آرگومان منفی باشد، پس از باز کردن پرانتز، علامت آن از منفی به مثبت تغییر می کند. بر این اساس، نتیجه می‌شود که مدول‌های اعداد مقابل برابر هستند: |-x| = |x| = x.

مدول یک عدد مختلط با فرمول: |a| = √b ² + c ² و |a + b| ≤ |a| + |b|. اگر آرگومان دارای یک عدد صحیح مثبت به عنوان ضریب باشد، می توان آن را از علامت براکت خارج کرد، به عنوان مثال: |4*b| = 4*|b|.

مدول نمی تواند منفی باشد، بنابراین هر عدد منفی به یک مثبت تبدیل می شود: |-x| = x، |-2| = 2، |-1/7| = 1/7، |-2.5| = 2.5.

اگر آرگومان به صورت یک عدد مختلط ارائه شود، برای راحتی محاسبات، مجاز است ترتیب عبارت های محصور شده در پرانتز را تغییر دهید: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 زیرا (2-3) کمتر از صفر است.

اگر کاری در مقابل خود دارید که شرط گسترش براکت های ماژول را مشخص نمی کند، نیازی به خلاص شدن از شر آنها ندارید - این نتیجه نهایی خواهد بود. و اگر می خواهید آنها را باز کنید، باید علامت ± را مشخص کنید. برای مثال، باید مقدار عبارت √(2 * (4-b)) ² را پیدا کنید. راه حل او به این صورت است: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. از آنجایی که علامت عبارت 4-b ناشناخته است، باید در پرانتز گذاشته شود. اگر یک شرط اضافی اضافه کنید، برای مثال، |4-b| > 0، سپس نتیجه 2 * |4-b| است = 2 * (4 - b). به عنوان یک عنصر ناشناخته می توان عدد خاصی را نیز در نظر گرفت که باید مورد توجه قرار گیرد، زیرا. بر علامت بیان تأثیر می گذارد.

اصطلاح (ماژول) در ترجمه تحت اللفظی از لاتین به معنای "اندازه گیری" است. این مفهوم توسط دانشمند انگلیسی R. Cotes وارد ریاضیات شد. و ریاضیدان آلمانی K. Weierstrass علامت ماژول را معرفی کرد - نمادی که با آن این مفهوم هنگام نوشتن مشخص می شود.

در تماس با

برای اولین بار این مفهوم در ریاضیات در برنامه کلاس ششم دبیرستان مورد مطالعه قرار می گیرد. طبق یک تعریف، مدول قدر مطلق یک عدد واقعی است. به عبارت دیگر، برای فهمیدن مدول یک عدد واقعی، باید علامت آن را کنار بگذارید.

قدر مطلق گرافیکی آبه عنوان نشان داده شده است |a|.

وجه تمایز اصلی این مفهوم این است که همیشه یک مقدار غیر منفی است.

اعدادی که فقط در علامت با یکدیگر تفاوت دارند، اعداد متضاد نامیده می شوند. اگر مقدار مثبت باشد، متضاد آن منفی است و صفر مخالف خودش است.

ارزش هندسی

اگر مفهوم یک مدول را از نقطه نظر هندسه در نظر بگیریم، آنگاه نشان دهنده فاصله ای است که در بخش های واحد از مبدا تا یک نقطه داده شده اندازه گیری می شود. این تعریف معنای هندسی اصطلاح مورد مطالعه را به طور کامل آشکار می کند.

از نظر گرافیکی، این می تواند به صورت زیر بیان شود: |a| = O.A.

خواص ارزش مطلق

در زیر تمام خصوصیات ریاضی این مفهوم و شیوه های نگارش را در قالب عبارات تحت اللفظی بررسی خواهیم کرد:

ویژگی های حل معادلات با مدول

اگر در مورد حل معادلات ریاضی و نابرابری های حاوی ماژول صحبت می کنیم، باید به خاطر داشته باشید که برای حل آنها باید این علامت را باز کنید.

به عنوان مثال، اگر علامت قدر مطلق حاوی مقداری عبارت ریاضی باشد، قبل از باز کردن ماژول، لازم است تعاریف ریاضی فعلی را در نظر بگیرید.

|A + 5| = A + 5اگر A بزرگتر یا مساوی صفر باشد.

5-الفاگر A کمتر از صفر باشد.

در برخی موارد، علامت را می توان بدون ابهام برای هر مقدار از متغیر گسترش داد.

بیایید یک مثال دیگر را در نظر بگیریم. بیایید یک خط مختصات بسازیم که روی آن تمام مقادیر عددی را که قدر مطلق آن 5 خواهد بود علامت گذاری می کنیم.

ابتدا باید یک خط مختصات بکشید، مبدا مختصات را روی آن مشخص کنید و اندازه یک قطعه را تعیین کنید. علاوه بر این، خط باید دارای جهت باشد. اکنون در این خط مستقیم، لازم است علامت هایی اعمال شود که برابر با مقدار یک بخش باشد.

بنابراین، می بینیم که در این خط مختصات دو نقطه مورد علاقه ما با مقادیر 5 و -5 وجود دارد.