محصول برداری - تعاریف، خواص، فرمول ها، مثال ها و راه حل ها. محصول برداری - تعاریف، خواص، فرمول ها، مثال ها و راه حل ها محصول برداری بردارهای a و b

در این مقاله به مفهوم حاصلضرب متقاطع دو بردار خواهیم پرداخت. ما تعاریف لازم را ارائه می دهیم، فرمولی برای یافتن مختصات یک محصول برداری می نویسیم، خواص آن را لیست و توجیه می کنیم. پس از آن، به معنای هندسی حاصلضرب بردار دو بردار می پردازیم و راه حل هایی را برای مثال های مختلف در نظر می گیریم.

پیمایش صفحه.

تعریف محصول متقاطع

قبل از تعریف یک محصول برداری، بیایید جهت یک سه گانه مرتب شده از بردارها را در فضای سه بعدی مشخص کنیم.

بردارها را از یک نقطه کنار بگذارید. بسته به جهت بردار، سه گانه می تواند راست یا چپ باشد. بیایید از انتهای بردار نگاه کنیم که چگونه کوتاه ترین چرخش از بردار به انجام می شود. اگر کوتاه ترین چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت اتفاق بیفتد، سه گانه بردارها نامیده می شود درست، در غیر این صورت - ترک کرد.

حالا دو بردار غیر خطی و. اجازه دهید بردارها و از نقطه A را کنار بگذاریم. بیایید چند بردار عمود بر هر دو و و بسازیم. بدیهی است که هنگام ساختن یک بردار، می‌توانیم دو کار انجام دهیم، یا یک جهت یا برعکس بدهیم (به تصویر مراجعه کنید).

بسته به جهت بردار، سه گانه مرتب شده بردارها می تواند راست یا چپ باشد.

بنابراین به تعریف یک محصول برداری نزدیک می شویم. برای دو بردار، در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی داده شده است.

تعریف.

حاصل ضرب برداری دو بردارو در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی داده شده، بردار نامیده می شود به طوری که

حاصلضرب برداری بردارها و به صورت نشان داده می شود.

مختصات محصول برداری

حال بیایید تعریف دوم یک محصول برداری را ارائه دهیم که به شما امکان می دهد مختصات آن را با مختصات بردارهای داده شده و پیدا کنید.

تعریف.

در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی حاصل ضرب متقاطع دو بردار و یک بردار است که در آن بردارهای مختصات هستند.

این تعریف به ما محصول متقاطع را به صورت مختصات می دهد.

به راحتی می توان حاصلضرب برداری را به شکل یک تعیین کننده ماتریس مربع مرتبه سوم نشان داد که ردیف اول آن بردارهای واحد است، ردیف دوم شامل مختصات بردار است و ردیف سوم شامل مختصات بردار است. بردار در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص:

اگر این تعیین کننده را با عناصر خط اول گسترش دهیم، از تعریف یک محصول برداری در مختصات برابری می گیریم (در صورت لزوم، به مقاله مراجعه کنید):

لازم به ذکر است که فرم مختصات حاصلضرب متقاطع کاملاً با تعریف ارائه شده در بند اول این مقاله مطابقت دارد. علاوه بر این، این دو تعریف از محصول متقابل معادل هستند. اثبات این حقیقت را می توانید در کتابی که در انتهای مقاله ذکر شده است مشاهده کنید.

ویژگی های محصول برداری

از آنجایی که حاصل ضرب متقاطع در مختصات را می توان به شکل یک تعیین کننده ماتریس نشان داد، موارد زیر به راحتی بر اساس توجیه می شوند. ویژگی های محصول برداری:

به عنوان مثال، اجازه دهید ویژگی ضد جابجایی یک محصول برداری را اثبات کنیم.

الف- مقدماتی و ... می دانیم که در صورت تعویض دو ردیف، مقدار تعیین کننده ماتریس معکوس می شود، بنابراین، ، که خاصیت ضد جابجایی حاصلضرب برداری را ثابت می کند.

محصول برداری - مثال ها و راه حل ها.

اساساً سه نوع کار وجود دارد.

در مسائل نوع اول، طول دو بردار و زاویه بین آنها آورده شده است و باید طول حاصلضرب بردار را پیدا کرد. در این مورد از فرمول استفاده می شود .

مثال.

طول حاصلضرب برداری بردارها را بیابید و در صورت معلوم .

راه حل.

از این تعریف می دانیم که طول حاصلضرب بردارها برابر است با حاصلضرب طول بردارها و سینوس زاویه بین آنها، بنابراین، .

پاسخ:

مسائل نوع دوم مربوط به مختصات بردارها است که در آن حاصل ضرب متقاطع، طول آن یا چیز دیگری از طریق مختصات بردارهای داده شده جستجو می شود. و .

بسیاری از گزینه های مختلف در اینجا امکان پذیر است. به عنوان مثال، مختصات بردارها را نمی توان مشخص کرد، بلکه بسط آنها در بردارهای مختصات فرم است. و یا بردارها و می توان با مختصات نقطه شروع و پایان آنها مشخص کرد.

بیایید نمونه های معمولی را در نظر بگیریم.

مثال.

دو بردار در یک سیستم مختصات مستطیلی داده شده است ... محصول متقاطع آنها را پیدا کنید.

راه حل.

طبق تعریف دوم، حاصل ضرب متقاطع دو بردار در مختصات به صورت زیر نوشته می شود:

اگر ضرب ضربدر بر حسب تعیین کننده نوشته می شد، به همان نتیجه می رسیدیم

پاسخ:

مثال.

طول حاصلضرب برداری بردارها را بیابید و بردارهای واحد یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی کجا هستند.

راه حل.

ابتدا مختصات حاصلضرب برداری را پیدا می کنیم در یک سیستم مختصات مستطیلی داده شده

از آنجایی که بردارها و مختصات دارند و بر این اساس (در صورت لزوم به مقاله مختصات یک بردار در سیستم مختصات مستطیلی مراجعه کنید)، پس با تعریف دوم حاصلضرب متقاطع داریم

یعنی محصول متقاطع دارای مختصات در یک سیستم مختصات معین است.

طول حاصلضرب بردار را به صورت جذر مجموع مجذورات مختصات آن می‌یابیم (این فرمول را برای طول یک بردار در بخش یافتن طول یک بردار به دست آوردیم):

پاسخ:

مثال.

مختصات سه نقطه در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیل شکل داده شده است. برداري را پيدا كنيد كه عمود بر هم باشد.

راه حل.

بردارها و دارای مختصات و به ترتیب (به مقاله یافتن مختصات یک بردار از طریق مختصات نقاط مراجعه کنید). اگر حاصل ضرب برداری بردارها را پیدا کنیم و طبق تعریف آن بردار عمود بر k و k باشد، یعنی حل مسئله ما است. پیداش کن

پاسخ:

- یکی از بردارهای عمود بر.

در وظایف نوع سوم، مهارت استفاده از خواص حاصلضرب بردارها مورد آزمایش قرار می گیرد. پس از اعمال خواص، فرمول های مربوطه اعمال می شود.

مثال.

بردارها و عمود بر هم هستند و طول آنها به ترتیب 3 و 4 است. طول محصول متقاطع را پیدا کنید .

راه حل.

با خاصیت توزیع پذیری یک محصول برداری، می توانیم بنویسیم

به دلیل خاصیت ترکیب، ضرایب عددی را خارج از علامت حاصلضرب های برداری در آخرین عبارت خارج می کنیم:

محصولات برداری و برابر با صفر هستند، زیرا و ، سپس .

از آنجایی که محصول متقاطع ضد جابجایی است، پس.

بنابراین با استفاده از ویژگی های حاصلضرب بردار به برابری رسیدیم .

بر اساس شرط بردارها و عمود بر هم هستند، یعنی زاویه بین آنها برابر است. یعنی ما تمام داده ها را برای یافتن طول مورد نیاز داریم

پاسخ:

معنای هندسی محصول برداری.

طبق تعریف، طول حاصلضرب برداری بردارها است ... و از یک درس هندسه دبیرستان می دانیم که مساحت یک مثلث نصف حاصلضرب طول دو ضلع مثلث با سینوس زاویه بین آنهاست. در نتیجه، اگر از یک نقطه کنار گذاشته شوند، طول حاصلضرب بردار برابر با دو برابر مساحت یک مثلث با بردارها و اضلاع است. به عبارت دیگر، طول حاصلضرب برداری بردارها برابر است با مساحت متوازی الاضلاع با اضلاع و زاویه بین آنها برابر است. این معنای هندسی یک محصول برداری است.

در این درس، دو عمل برداری دیگر را بررسی خواهیم کرد: حاصلضرب برداری بردارهاو حاصلضرب مخلوط بردارها (فورا پیوند دهید، چه کسی به آن نیاز دارد)... اشکالی ندارد، گاهی پیش می آید که برای خوشبختی کامل، علاوه بر حاصل ضرب نقطه ای بردارها، بیشتر و بیشتر طول می کشد. اعتیاد ناقل چنین است. ممکن است این تصور ایجاد شود که ما در حال ورود به جنگل هندسه تحلیلی هستیم. این درست نیست. در این بخش از ریاضیات عالی، معمولا هیزم کافی وجود ندارد، به جز اینکه برای Buratino به اندازه کافی وجود دارد. در واقع، مواد بسیار رایج و ساده است - به سختی پیچیده تر از همان حاصلضرب عددی، حتی وظایف معمولی کمتری وجود خواهد داشت. نکته اصلی در هندسه تحلیلی، همانطور که بسیاری متقاعد شده اند یا قبلاً متقاعد شده اند، اشتباه نکردن در محاسبات است. به عنوان یک طلسم تکرار کنید و خوشحال خواهید شد =)

اگر بردارها در جایی دور می درخشند، مثل رعد و برق در افق، مهم نیست، با درس شروع کنید. وکتور برای آدمکبرای بازیابی یا بازیابی دانش اولیه از بردارها. خوانندگان آماده تر می توانند به طور انتخابی با اطلاعات آشنا شوند، من سعی کردم کامل ترین مجموعه نمونه هایی را که اغلب در کارهای عملی یافت می شود جمع آوری کنم.

چگونه فوراً شما را راضی کنیم؟ وقتی کوچک بودم، می‌دانستم چگونه با دو یا حتی سه توپ شعبده بازی کنم. به طرز ماهرانه ای معلوم شد. اکنون دیگر نیازی به دستکاری نخواهید داشت، زیرا ما در نظر خواهیم گرفت فقط بردارهای فضاییو بردارهای صفحه ای با دو مختصات کنار گذاشته می شوند. چرا؟ اینگونه است که این کنش ها متولد شدند - بردار و حاصلضرب مخلوط بردارها تعریف می شوند و در فضای سه بعدی کار می کنند. در حال حاضر آسان تر است!

این عملیات، به همان شیوه ای که در محصول نقطه ای، شامل می شود دو بردار... بگذار این حروف فنا ناپذیر باشند.

خود عمل نشان داده شده استبه روش زیر: . گزینه های دیگری نیز وجود دارد، اما من عادت دارم که حاصل ضرب برداری بردارها را به این صورت، در پرانتز با یک ضربدر نشان دهم.

و بلافاصله سوال: اگر در حاصل ضرب نقطه ای بردارهادو بردار درگیر هستند و در اینجا نیز دو بردار ضرب می شوند تفاوت در چیست? تفاوت آشکار، اول از همه، در نتیجه است:

حاصل حاصل ضرب نقطه ای بردارها NUMBER است:

حاصلضرب برداری بردارها منجر به بردار می شود: یعنی بردارها را ضرب می کنیم و دوباره بردار می گیریم. باشگاه تعطیل شده در واقع، از این رو نام عملیات. در ادبیات آموزشی مختلف، نام گذاری ها نیز می تواند متفاوت باشد، من از حرف استفاده خواهم کرد.

تعریف محصول متقاطع

ابتدا یک تعریف با یک تصویر وجود دارد، سپس نظرات.

تعریف: بر اساس محصول برداری غیر خطیبردارها، به این ترتیب گرفته شده استبه نام VECTOR، طولکه به صورت عددی برابر مساحت متوازی الاضلاع استبر اساس این بردارها ساخته شده است. بردار متعامد به بردارها، و به گونه ای هدایت می شود که اساس جهت گیری درست داشته باشد:

ما تعریف را با استخوان تجزیه و تحلیل می کنیم، چیزهای جالب زیادی وجود دارد!

بنابراین، می توان به نکات اساسی زیر اشاره کرد:

1) بردارهای اصلی که با فلش های قرمز مشخص شده اند، طبق تعریف خطی نیست... مناسب است که کمی بعد مورد بردارهای خطی را در نظر بگیریم.

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیبی کاملاً تعریف شده: – "A" در "bh" ضرب می شود، و نه "bh" به "a". حاصل ضرب برداری VECTOR است که با رنگ آبی مشخص شده است. اگر بردارها به ترتیب معکوس ضرب شوند، بردار برابر طول و مخالف جهت (رنگ زرشکی) به دست می آید. یعنی برابری درست است .

3) حال با معنای هندسی حاصلضرب بردار آشنا می شویم. این نکته بسیار مهمی است! LENGTH بردار آبی (و بنابراین، بردار زرشکی) از نظر عددی برابر با AREA متوازی الاضلاع ساخته شده روی بردارها است. در شکل، این متوازی الاضلاع با رنگ مشکی رنگ آمیزی شده است.

توجه داشته باشید : رسم شماتیک است و البته طول اسمی ضربدر برابر مساحت متوازی الاضلاع نیست.

یکی از فرمول های هندسی را به یاد می آوریم: مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب اضلاع مجاور با سینوس زاویه بین آنها.... بنابراین، بر اساس موارد فوق، فرمول محاسبه LENGTH حاصلضرب بردار معتبر است:

تاکید می کنم که در فرمول ما در مورد طول بردار صحبت می کنیم و نه در مورد خود بردار. نکته عملی چیست؟ و معنی این است که در مسائل هندسه تحلیلی، مساحت متوازی الاضلاع اغلب از طریق مفهوم حاصلضرب بردار پیدا می شود:

بیایید فرمول مهم دوم را بدست آوریم. مورب متوازی الاضلاع (خط نقطه چین قرمز) آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند. بنابراین، مساحت یک مثلث ساخته شده بر روی بردارها (سایه زنی قرمز) را می توان با فرمول پیدا کرد:

4) یک واقعیت به همان اندازه مهم این است که بردار متعامد بر بردارها است، یعنی، ... البته بردار جهت مخالف (فلش زرشکی) نیز با بردارهای اصلی متعامد است.

5) بردار به گونه ای جهت داده شده است که اساساین دارد درستگرایش. در درس در مورد انتقال به یک پایه جدیدمن با جزئیات کافی در مورد آن صحبت کردم جهت هواپیماو اکنون متوجه خواهیم شد که جهت فضا چیست. من روی انگشتان شما توضیح خواهم داد دست راست... ذهنی ترکیب کنید انگشت اشارهبا وکتور و انگشت وسطبا وکتور انگشت حلقه و صورتیآن را در کف دست خود فشار دهید. در نتیجه شست- محصول متقاطع به بالا نگاه می کند. این مبنای راست گرا است (در شکل آن است). حالا بردارها را تغییر دهید ( انگشت اشاره و وسط) در مکان هایی، در نتیجه، انگشت شست باز می شود و محصول متقاطع از قبل به پایین نگاه می کند. این نیز یک مبنای حق مدار است. شاید برای شما سوالی پیش بیاید که اساس جهت گیری چپ چیست؟ "تخصیص" به همان انگشتان دست چپبردارها، و پایه سمت چپ و جهت چپ فضا را بدست آورید (در این حالت انگشت شست در جهت بردار پایینی قرار می گیرد)... به بیان تصویری، این پایه ها فضا را در جهات مختلف «پیچان» یا جهت می دهند. و این مفهوم را نباید به عنوان چیزی دور از ذهن یا انتزاعی در نظر گرفت - به عنوان مثال، جهت گیری فضا توسط معمولی ترین آینه تغییر می کند، و اگر شما "شیء منعکس شده را از شیشه بیرون بکشید"، در حالت کلی ترکیب آن با "اصلی" امکان پذیر نخواهد بود. به هر حال، سه انگشت خود را به آینه بیاورید و انعکاس را تجزیه و تحلیل کنید ;-)

... چقدر خوبه که الان میدونی راست و چپ گرامبانی، زیرا اظهارات برخی از اساتید در مورد تغییر جهت دهی وحشتناک است =)

ضرب ضربدر بردارهای خطی

این تعریف به تفصیل مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است، باید دریابیم که وقتی بردارها هم خط هستند چه اتفاقی می افتد. اگر بردارها خطی باشند، می توان آنها را روی یک خط مستقیم قرار داد و متوازی الاضلاع ما نیز به یک خط مستقیم "تا می شود". حوزه از جمله، همانطور که ریاضیدانان می گویند، منحطمتوازی الاضلاع صفر است از فرمول نیز به همین صورت است - سینوس صفر یا 180 درجه برابر با صفر است، به این معنی که مساحت صفر است.

بنابراین، اگر، پس و ... توجه داشته باشید که ضرب ضربدری خود برابر با بردار صفر است، اما در عمل اغلب از این موضوع صرف نظر می شود و می نویسند که آن نیز صفر است.

یک مورد خاص، حاصل ضرب برداری یک بردار به خودی خود است:

با استفاده از محصول متقاطع، می توانید همخطی بردارهای سه بعدی را بررسی کنید و ما همچنین این مشکل را در میان موارد دیگر تجزیه و تحلیل خواهیم کرد.

برای حل مثال های عملی، ممکن است نیاز داشته باشید جدول مثلثاتیبرای پیدا کردن مقادیر سینوسی از آن.

خوب، بیایید آتش روشن کنیم:

مثال 1

الف) طول حاصل ضرب برداری بردارها را بیابید اگر

ب) مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها را بیابید اگر

راه حل: نه، این اشتباه تایپی نیست، من عمداً داده های اولیه را در بندهای شرط یکسان کردم. زیرا طراحی راه حل ها متفاوت خواهد بود!

الف) به شرط، مستلزم یافتن است طولبردار (محصول بردار). طبق فرمول مربوطه:

پاسخ:

از آنجایی که سؤال در مورد طول پرسیده شد، پس در پاسخ، ابعاد - واحدها را نشان می دهیم.

ب) به شرط، لازمه یافتن است مربعمتوازی الاضلاع که بر روی بردارها ساخته شده است. مساحت این متوازی الاضلاع از نظر عددی برابر است با طول حاصلضرب بردار:

پاسخ:

لطفاً توجه داشته باشید که پاسخ مربوط به محصول برداری اصلاً مطرح نیست، از ما سؤال شد مساحت شکلبه ترتیب، بعد واحد مربع است.

ما همیشه به آنچه برای یافتن شرط لازم است نگاه می کنیم، و بر این اساس، فرمول بندی می کنیم روشنپاسخ. ممکن است به معنای واقعی کلمه به نظر برسد، اما در میان معلمان به اندازه کافی لفظ گرا وجود دارد و وظیفه با شانس خوب برای تجدید نظر برمی گردد. اگرچه این یک نق زدن خاص نیست - اگر پاسخ نادرست باشد ، این تصور را ایجاد می کند که شخص چیزهای ساده را نمی فهمد و / یا ماهیت کار را درک نمی کند. این لحظه باید همیشه تحت کنترل باشد و هر مشکلی در ریاضیات عالی و دروس دیگر حل شود.

حرف بزرگ "en" کجا رفت؟ در اصل، می توان آن را به راه حل اضافه کرد، اما برای کوتاه کردن ضبط، من این کار را نکردم. امیدوارم همه آن را درک کرده باشند و به همین معنا باشد.

مثال محبوب برای راه حلی که خودتان انجام دهید:

مثال 2

مساحت مثلثی که بر روی بردارها ساخته شده است را پیدا کنید اگر

فرمول یافتن مساحت یک مثلث از طریق ضربدری در نظرات تعریف شده است. راه حل و پاسخ در پایان درس.

در عمل، این کار واقعاً بسیار رایج است، مثلث ها به طور کلی می توانند شما را عذاب دهند.

برای حل مشکلات دیگر نیاز داریم:

ویژگی های محصول برداری

ما قبلاً برخی از خواص محصول متقاطع را در نظر گرفته ایم، با این حال، آنها را در این لیست قرار می دهم.

برای بردارهای دلخواه و یک عدد دلخواه، ویژگی های زیر معتبر هستند:

1) در سایر منابع اطلاعاتی، این مورد معمولاً در خواص برجسته نمی شود، اما از نظر عملی بسیار مهم است. پس بگذارید باشد.

2) - ملک نیز در بالا مورد بحث قرار گرفته است، گاهی اوقات به آن می گویند ضد جابجایی... به عبارت دیگر، ترتیب بردارها مهم است.

3) - ترکیب یا انجمنیقوانین یک محصول برداری ثابت ها به طور یکپارچه خارج از محصول برداری حذف می شوند. راستی اونجا چیکار باید بکنن؟

4) - توزیع یا توزیعیقوانین یک محصول برداری در مورد گسترش براکت ها نیز مشکلی وجود ندارد.

به عنوان نمونه، یک مثال کوتاه را در نظر بگیرید:

مثال 3

پیدا کنید اگر

راه حل:با توجه به شرایط، دوباره لازم است که طول محصول متقاطع را پیدا کنید. بیایید تصویر کوچک خود را بنویسیم:

(1) با توجه به قوانین انجمنی، ثابت ها را به خارج از تقسیم حاصلضرب بردار منتقل می کنیم.

(2) ثابت را از ماژول خارج می کنیم، در حالی که ماژول علامت منفی را می خورد. طول نمی تواند منفی باشد.

(3) آنچه در ادامه می آید روشن است.

پاسخ:

وقت آن است که کمی چوب روی آتش بگذارید:

مثال 4

مساحت مثلثی را که بر روی بردارها ساخته شده است محاسبه کنید اگر

راه حل: مساحت مثلث با فرمول بدست می آید ... نکته مهم این است که بردارهای "tse" و "de" خود به عنوان مجموع بردارها نشان داده می شوند. الگوریتم در اینجا استاندارد است و تا حدودی یادآور مثال های 3 و 4 درس است. حاصل ضرب نقطه ای بردارها... برای وضوح، اجازه دهید راه حل را به سه مرحله تقسیم کنیم:

1) در مرحله اول، حاصلضرب بردار را بر حسب حاصلضرب بردار بیان می کنیم، در واقع، بردار را بر حسب بردار بیان کنید... هنوز یک کلمه در مورد طول!

(1) عبارات برداری را جایگزین کنید.

(2) با استفاده از قوانین توزیعی، براکت ها را بر اساس قاعده ضرب چندجمله ای ها گسترش می دهیم.

(3) با استفاده از قوانین انجمنی، همه ثابت ها را به خارج از محصولات برداری منتقل می کنیم. با کمی تجربه می توان اقدامات 2 و 3 را به طور همزمان انجام داد.

(4) جمله اول و آخر به دلیل خاصیت خوشایند برابر با صفر (بردار صفر) است. در عبارت دوم، از خاصیت ضد جابجایی حاصلضرب بردار استفاده می کنیم:

(5) ما اصطلاحات مشابهی را ارائه می کنیم.

در نتیجه، بردار بر حسب بردار بیان شد، که برای دستیابی به آن چیزی بود که لازم بود:

2) در مرحله دوم، طول محصول برداری مورد نیاز خود را پیدا می کنیم. این عمل شبیه مثال 3 است:

3) مساحت مثلث مورد نیاز را پیدا کنید:

مراحل 2-3 تصمیمات را می توان در یک خط کامل کرد.

پاسخ:

مشکل در نظر گرفته شده در مقالات آزمایشی بسیار رایج است، در اینجا یک مثال برای یک راه حل مستقل آورده شده است:

مثال 5

پیدا کنید اگر

یک راه حل و پاسخ کوتاه در پایان آموزش. بیایید ببینیم هنگام مطالعه نمونه های قبلی چقدر مراقب بودید ;-)

حاصل ضرب برداری بردارها در مختصات

به صورت متعارف ارائه شده است، با فرمول بیان می شود:

فرمول واقعاً ساده است: در خط بالای تعیین کننده، بردارهای مختصات را می نویسیم، در خط دوم و سوم، مختصات بردارها را "قرار می دهیم" و می گذاریم. به ترتیب دقیق- ابتدا مختصات بردار "ve"، سپس مختصات بردار "double-ve". اگر بردارها باید به ترتیب متفاوتی ضرب شوند، خطوط باید عوض شوند:

مثال 10

بررسی کنید که آیا بردارهای فضای زیر هم خط هستند:
آ)
ب)

راه حل: بررسی بر اساس یکی از عبارات این درس است: اگر بردارها هم خط باشند، حاصل ضرب آنها برابر با صفر (بردار صفر) است: .

الف) محصول متقاطع را پیدا کنید:

بنابراین، بردارها خطی نیستند.

ب) محصول متقاطع را پیدا کنید:

پاسخ: الف) خطی نیست، ب)

در اینجا، شاید، تمام اطلاعات اولیه در مورد حاصل ضرب برداری بردارها وجود دارد.

این بخش خیلی بزرگ نخواهد بود، زیرا وظایف زیادی وجود ندارد که در آن از محصول مخلوط بردارها استفاده شود. در واقع، همه چیز بر اساس تعریف، معنای هندسی و چند فرمول کار است.

حاصلضرب مخلوط بردارها حاصل ضرب سه بردار است:

بنابراین آنها با یک قطار کوچک صف می کشند و منتظر هستند، آنها نمی توانند صبر کنند تا بفهمند.

ابتدا، دوباره تعریف و تصویر:

تعریف: کار مختلط غیر همسطحبردارها، به این ترتیب گرفته شده استنامیده میشود حجم یک متوازی الاضلاع، بر اساس بردارهای داده شده ساخته شده است، اگر پایه درست باشد با علامت "+" و اگر پایه سمت چپ باشد علامت "-" ارائه می شود.

بیایید نقاشی را کامل کنیم. خطوطی که برای ما نامرئی هستند با یک خط نقطه رسم می شوند:

بیایید به تعریف بپردازیم:

2) بردارها گرفته می شوند به ترتیب خاصی، یعنی جایگشت بردارها در محصول، همانطور که ممکن است حدس بزنید، بدون عواقب نمی گذرد.

3) قبل از اظهار نظر در مورد معنای هندسی، یک واقعیت آشکار را متذکر می شوم: حاصلضرب مخلوط بردارها یک عدد است: در ادبیات آموزشی، طراحی ممکن است تا حدودی متفاوت باشد، من برای نشان دادن یک کار ترکیبی از طریق و نتیجه محاسبات با حرف "pe" استفاده می شود.

الف- مقدماتی محصول مخلوط حجم یک موازی استبر روی بردارها ساخته شده است (شکل با بردارهای قرمز و خطوط سیاه ترسیم شده است). یعنی عدد برابر با حجم این متوازی الاضلاع است.

توجه داشته باشید : نقاشی شماتیک است.

4) بیایید دوباره با مفهوم پایه و جهت یابی فضایی خود را خسته نکنیم. منظور از قسمت پایانی این است که می توان یک علامت منفی به حجم اضافه کرد. به عبارت ساده، یک اثر ترکیبی می تواند منفی باشد:.

فرمول محاسبه حجم یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارها مستقیماً از تعریف پیروی می کند.

قبل از ارائه مفهوم حاصلضرب بردار، اجازه دهید به سؤال جهت گیری یک سه گانه مرتب شده از بردارهای a →، b →، c → در فضای سه بعدی بپردازیم.

برای شروع بردارهای a →، b →، c → از یک نقطه را کنار می گذاریم. جهت سه گانه a →، b →، c → بسته به جهت خود بردار c می تواند راست یا چپ باشد. از جهتی که کوتاه ترین چرخش از بردار a → به b → از انتهای بردار c → صورت می گیرد، شکل سه گانه a →، b →، c → مشخص می شود.

اگر کوتاه ترین چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت باشد، سه گانه بردارهای a →، b →، c → نامیده می شود. درستاگر در جهت عقربه های ساعت - ترک کرد.

سپس دو بردار غیر خطی a → و b → را بگیرید. سپس بردارهای A B → = a → و A C → = b → را از نقطه A به تعویق بیندازیم. ما یک بردار A D → = c → می سازیم که به طور همزمان بر هر دو A B → و A C → عمود است. بنابراین، هنگام ساختن خود بردار A D → = c → می‌توانیم دو کار انجام دهیم، یا یک جهت یا مخالف به آن بدهیم (به شکل نگاه کنید).

سه گانه مرتب شده بردار a →، b →، c → می تواند، همانطور که متوجه شدیم، بسته به جهت بردار، راست یا چپ باشد.

با توجه به مطالب فوق می توان تعریف محصول متقاطع را معرفی کرد. این تعریف برای دو بردار تعریف شده در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی ارائه شده است.

تعریف 1

حاصل ضرب برداری دو بردار a → و b → ما چنین بردار را در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی می نامیم که:

اگر بردارهای a → و b → هم خط باشند، صفر خواهد بود.
بر هر دو بردار a → و بردار b → عمود خواهد بود. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
طول آن با فرمول تعیین می شود: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
سه گانه بردارهای a →، b →، c → جهت گیری یکسانی با سیستم مختصات داده شده دارد.

حاصلضرب برداری بردارهای a → و b → نماد زیر است: a → × b →.

مختصات محصول برداری

از آنجایی که هر بردار مختصات خاصی در سیستم مختصات دارد، می توانید تعریف دوم ضربدر را وارد کنید که به شما امکان می دهد مختصات آن را با مختصات داده شده بردارها پیدا کنید.

تعریف 2

در یک سیستم مختصات مستطیلی از فضای سه بعدی حاصلضرب بردار دو بردار a → = (a x؛ a y؛ a z) و b → = (b x؛ b y؛ b z) بردار c → = a → × b → = (ay bz - az توسط) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax توسط - ay bx) k →، جایی که i →، j →، k → بردارهای مختصاتی هستند.

حاصلضرب برداری را می توان به عنوان تعیین کننده یک ماتریس مربع از مرتبه سوم نشان داد، که در آن ردیف اول بردارهای بردار واحد i →، j →، k → است، ردیف دوم شامل مختصات بردار a →، و سومی شامل مختصات بردار b → در یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص است، این تعیین کننده ماتریس به این صورت است: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

با گسترش این تعیین کننده بر روی عناصر ردیف اول، برابری را به دست می آوریم: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az توسط) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

ویژگی های محصول برداری

مشخص است که حاصلضرب برداری در مختصات به عنوان تعیین کننده ماتریس c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z نمایش داده می شود، سپس بر اساس خواص تعیین کننده ماتریسموارد زیر را نمایش می دهد ویژگی های محصول برداری:

ضد جابجایی a → × b → = - b → × a →;
توزیع a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → یا a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
ارتباط λ a → × b → = λ a → × b → یا a → × (λ b →) = λ a → × b →، که در آن λ یک عدد واقعی دلخواه است.

اثبات این خصوصیات کار سختی نیست.

به عنوان مثال، می توانیم خاصیت ضد جابجایی یک محصول برداری را اثبات کنیم.

اثبات ضد جابجایی

طبق تعریف، a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z و b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. و اگر دو ردیف از ماتریس دوباره مرتب شوند، مقدار تعیین کننده ماتریس باید به عکس تغییر کند، بنابراین a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →، که ضد جابجایی حاصلضرب بردار را ثابت می کند.

محصول برداری - مثال ها و راه حل ها

در بیشتر موارد، سه نوع کار وجود دارد.

در مسائل نوع اول معمولا طول دو بردار و زاویه بین آنها آورده می شود، اما باید طول ضربدر را پیدا کنید. در این مورد از فرمول زیر c → = a → b → sin ∠ a →, b → استفاده کنید.

مثال 1

طول حاصلضرب برداری بردارهای a → و b → را در صورتی که a → = 3، b → = 5، ∠ a →، b → = π 4 می دانید، بیابید.

راه حل

با تعیین طول حاصل ضرب برداری بردارهای a → و b → این مشکل را حل می کنیم: a → × b → = a → b → sin ∠ a →، b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

پاسخ: 15 2 2 .

مسائل نوع دوم با مختصات بردارها، در آنها ضرب ضربدر، طول آن و غیره ارتباط دارند. از طریق مختصات شناخته شده بردارهای داده شده جستجو می شوند a → = (a x; a y; a z) و b → = (b x؛ b y؛ b z) .

برای این نوع کارها می توانید گزینه های زیادی را برای کارها حل کنید. برای مثال، مختصات بردارهای a → و b → را نمی توان ارائه داد، بلکه بسط آنها را در بردارهای مختصات شکل می توان داد. b → = b x i → + b y j → + b z k → و c → = a → × b → = (ay bz - az توسط) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →، یا بردارهای a → و b → را می توان مشخص کرد. با مختصات نقطه شروع و پایان آنها.

به مثال های زیر توجه کنید.

مثال 2

در یک سیستم مختصات مستطیلی، دو بردار a → = (2؛ 1؛ - 3)، b → = (0؛ - 1؛ 1) داده می شود. محصول متقاطع آنها را پیدا کنید.

راه حل

با تعریف دوم، حاصل ضرب برداری دو بردار را در مختصات داده شده پیدا می کنیم: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

اگر حاصلضرب برداری را از طریق تعیین کننده ماتریس بنویسیم، جواب این مثال به این صورت است: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

پاسخ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

مثال 3

طول حاصلضرب برداری بردارهای i → - j → و i → + j → + k → را بیابید که i →، j →، k → بردارهای واحد یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی هستند.

راه حل

ابتدا مختصات حاصلضرب بردار داده شده i → - j → × i → + j → + k → در سیستم مختصات مستطیلی داده شده را پیدا می کنیم.

مشخص است که بردارهای i → - j → و i → + j → + k → به ترتیب دارای مختصات (1؛ - 1؛ 0) و (1؛ 1؛ 1) هستند. اجازه دهید طول حاصلضرب برداری را با استفاده از تعیین کننده ماتریس پیدا کنیم، سپس i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i داریم. → - j → + 2 k → ...

بنابراین، حاصلضرب برداری i → - j → × i → + j → + k → دارای مختصات (- 1؛ - 1؛ 2) در سیستم مختصات داده شده است.

طول حاصلضرب برداری را با فرمول پیدا می کنیم (به بخش یافتن طول یک بردار مراجعه کنید): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

پاسخ: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

مثال 4

در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی، مختصات سه نقطه A (1، 0، 1)، B (0، 2، 3)، C (1، 4، 2) آورده شده است. چند بردار عمود بر A B → و A C → همزمان پیدا کنید.

راه حل

بردارهای A B → و A C → به ترتیب دارای مختصات زیر هستند (- 1؛ 2؛ 2) و (0؛ 4؛ 1). پس از یافتن حاصلضرب برداری بردارهای A B → و A C →، بدیهی است که بردار بردار عمود بر هر دو A B → و A C → است، یعنی راه حلی برای مسئله ما است. بیایید آن را A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → پیدا کنیم.

پاسخ: - 6 i → + j → - 4 k →. - یکی از بردارهای عمود بر.

مسائل نوع سوم بر استفاده از خواص حاصلضرب برداری بردارها متمرکز است. پس از اعمال آن، راه حلی برای مشکل داده شده به دست خواهیم آورد.

مثال 5

بردارهای a → و b → عمود هستند و طول آنها به ترتیب 3 و 4 است. طول حاصلضرب برداری 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

راه حل

با خاصیت توزیع یک محصول برداری، می توانیم 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = بنویسیم. 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

با خاصیت تداعی، ضرایب عددی را به خارج از علامت محصولات برداری در آخرین عبارت منتقل می کنیم: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

محصولات برداری a → × a → و b → × b → 0 هستند زیرا a → × a → = a → a → sin 0 = 0 و b → × b → = b → b → sin 0 = 0 و سپس 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

ضد جابجایی حاصلضرب برداری به معنی - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → است. ...

با استفاده از ویژگی های حاصلضرب بردار، برابری 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b → به دست می آوریم.

بر اساس فرضیه، بردارهای a → و b → عمود هستند، یعنی زاویه بین آنها π 2 است. اکنون تنها جایگزینی مقادیر یافت شده در فرمول های مربوطه باقی مانده است: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · گناه (a →، b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

پاسخ: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

طول حاصل ضرب بردار بردارها با ترتیب برابر با a → × b → = a → b → sin ∠ a →، b → است. از آنجایی که قبلاً (از دوره مدرسه) مشخص شده است که مساحت یک مثلث برابر با نصف حاصلضرب طول دو ضلع آن در سینوس زاویه بین این ضلع است. بنابراین، طول حاصلضرب بردار برابر است با مساحت متوازی الاضلاع - مثلث دو برابر شده، یعنی حاصل ضرب اضلاع به شکل بردارهای a → و b →، که از یک نقطه کنار گذاشته شده، توسط سینوس زاویه بین آنها گناه ∠ a →، b →.

این معنای هندسی محصول برداری است.

معنای فیزیکی یک محصول برداری

در مکانیک، یکی از شاخه های فیزیک، به لطف حاصلضرب برداری، می توانید لحظه نیرو را نسبت به نقطه ای از فضا تعیین کنید.

تعریف 3

منظور از لحظه نیروی F → اعمال شده به نقطه B، نسبت به نقطه A، حاصل ضرب برداری زیر A B → × F → است.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید

محصول ترکیبی از سه بردار و خواص آن

کار مختلطبه سه بردار عددی مساوی می گویند. نشان داده شده است ... در اینجا دو بردار اول به صورت بردار ضرب می شوند و سپس بردار حاصل به صورت اسکالر در بردار سوم ضرب می شود. بدیهی است که چنین محصولی یک عدد مشخص است.

خواص محصول مخلوط را در نظر بگیرید.

معنی هندسیکار مختلط حاصلضرب مخلوط 3 بردار، تا یک علامت، برابر است با حجم یک متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی این بردارها، مانند لبه ها، یعنی. ...
بنابراین، و .

اثبات... بردارها را از مبدأ مشترک کنار بگذارید و یک متوازی الاضلاع روی آنها بسازید. بیایید به آن اشاره کنیم و توجه کنیم. با تعریف محصول نقطه ای

با فرض آن و نشان دادن با ساعتارتفاع متوازی الاضلاع را پیدا می کنیم.

بنابراین، برای

اگر، پس و. از این رو، .

با ترکیب هر دوی این موارد، یا می گیریم.

به ویژه، از اثبات این خاصیت چنین برمی‌آید که اگر سه گانه بردارها درست باشد، حاصلضرب مخلوط است و اگر باقی بماند، پس.
برای هر بردار، برابری
اثبات این خاصیت از خاصیت 1 به دست می آید. در واقع، نشان دادن آن آسان است. علاوه بر این، علائم "+" و "-" به طور همزمان گرفته می شوند، زیرا زوایای بین بردارها و و و هر دو تند یا مبت هستند.
با جابجایی هر دو عامل، محصول مخلوط علامت تغییر می کند.
در واقع، اگر یک اثر ترکیبی را در نظر بگیریم، مثلاً یا
محصول مخلوط اگر و فقط اگر یکی از عوامل صفر باشد یا بردارها همسطح باشند.
اثبات.

بنابراین شرط لازم و کافی برای همسطح بودن 3 بردار، برابری صفر حاصلضرب مخلوط آنهاست. علاوه بر این، نتیجه می شود که سه بردار اساس را در فضا تشکیل می دهند، اگر.

اگر بردارها به صورت مختصات داده شوند، می توان نشان داد که حاصلضرب مخلوط آنها با فرمول:

.

یعنی حاصلضرب مخلوط برابر با تعیین کننده مرتبه سوم است که در آن خط اول شامل مختصات بردار اول، خط دوم شامل مختصات بردار دوم و خط سوم شامل بردار سوم است.

مثال ها.

هندسه تحلیلی در فضا

معادله F (x، y، z)= 0 در فضا تعریف می کند Oxyzمقداری سطح، یعنی مکان نقاطی که مختصات آنها x، y، zاین معادله را برآورده کند. به این معادله معادله سطح و x، y، z- مختصات فعلی

با این حال، اغلب سطح با یک معادله مشخص نمی شود، بلکه به عنوان مجموعه ای از نقاط در فضا است که دارای یک یا ویژگی دیگر است. در این حالت باید معادله سطح را بر اساس ویژگی های هندسی آن پیدا کرد.

سطح.

بردار صفحه معمولی.

معادله یک هواپیما که از یک نقطه داده شده عبور می کند

یک صفحه دلخواه σ را در فضا در نظر بگیرید. موقعیت آن با تعیین یک بردار عمود بر این صفحه و یک نقطه ثابت تعیین می شود M 0(x 0, y 0, z 0) خوابیده در هواپیما σ.

بردار عمود بر صفحه σ نامیده می شود طبیعیبردار این هواپیما بگذارید بردار مختصاتی داشته باشد.

اجازه دهید معادله صفحه ای را که از یک نقطه مشخص می گذرد استخراج کنیم M 0و داشتن بردار معمولی. برای این کار، یک نقطه دلخواه در صفحه σ بگیرید M (x، y، z)و یک بردار در نظر بگیرید.

برای هر نقطه مÎ σ بردار است.بنابراین حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است. این برابری شرطی است که نقطه مÎ σ. برای تمام نقاط این هواپیما معتبر است و به محض نقطه نقض می شود مخارج از هواپیما σ خواهد بود.

اگر با بردار شعاع نقطه نشان دهیم م، بردار شعاع نقطه است M 0، سپس معادله را می توان به شکل نیز نوشت

این معادله نامیده می شود بردارمعادله هواپیما بیایید آن را به صورت مختصات بنویسیم. از آن به بعد

بنابراین، معادله هواپیمای عبور از این نقطه را به دست آوردیم. بنابراین، برای تشکیل معادله هواپیما، باید مختصات بردار معمولی و مختصات نقطه ای که روی هواپیما قرار دارد را بدانید.

توجه داشته باشید که معادله هواپیما با توجه به مختصات فعلی معادله درجه 1 است. x، yو z.

مثال ها.

معادله عمومی هواپیما

می توان نشان داد که هر معادله درجه یک با توجه به مختصات دکارتی x، y، zمعادله یک صفحه معین است. این معادله به صورت زیر نوشته می شود:

Axe + By + Cz + D=0

و تماس گرفت معادله کلیهواپیما و مختصات الف، ب، جدر اینجا مختصات بردار نرمال هواپیما آمده است.

موارد خاص معادله عمومی را در نظر بگیرید. اجازه دهید دریابیم که اگر یک یا چند ضریب معادله ناپدید شوند، هواپیما نسبت به سیستم مختصات چگونه قرار می گیرد.

A طول خط بریده شده توسط صفحه روی محور است گاو نر... به همین ترتیب، می توان آن را نشان داد بو ج- طول قطعات بریده شده توسط هواپیمای مورد نظر روی محورها اوهو اوز.

استفاده از معادله صفحه در قطعات خط برای ساختن صفحات راحت است.

7.1. تعریف محصول متقاطع

سه بردار غیرهمسطح a، b و c که به ترتیب نشان داده شده گرفته شده اند، یک سه گانه راست را تشکیل می دهند اگر از انتهای بردار سوم c، کوتاه ترین چرخش از بردار اول a به بردار دوم b در خلاف جهت عقربه های ساعت دیده شود. سمت چپ، اگر در جهت عقربه های ساعت باشد (شکل 16 را ببینید).

حاصلضرب بردار a توسط بردار b بردار c است که:

1. عمود بر بردارهای a و b یعنی c ^ a و c ^ ب

2. دارای طول عددی برابر با مساحت متوازی الاضلاع ساخته شده بر روی بردارهای a وبهمانطور که در طرفین (نگاه کنید به شکل 17)، یعنی.

3. بردارهای a، b و c یک سه گانه سمت راست را تشکیل می دهند.

حاصل ضرب متقاطع a x b یا [a, b] نشان داده می شود. تعریف یک محصول برداری مستقیماً بر روابط زیر بین بردارهای i دلالت دارد: jو ک(شکل 18 را ببینید):

i x j = k، j x k = i، k x i = j.
مثلاً این را ثابت کنیم i хj = k.

1) k ^ i، k ^ j;

2) | k | = 1، اما | من x j| = | i | | ج | گناه (90 درجه) = 1;

3) بردارهای i، j و کیک سه قلو دست راست تشکیل دهید (شکل 16 را ببینید).

7.2. ویژگی های محصول برداری

1. هنگامی که عوامل بازآرایی می شوند، محصول برداری علامت را تغییر می دهد. a xb = (b xa) (شکل 19 را ببینید).

بردارهای a xb و b هم خط هستند، مدولهای یکسانی دارند (مساحت متوازی الاضلاع بدون تغییر باقی می ماند)، اما جهت مخالف (سه برابر a، b، a xb و a، b، b x a با جهت مخالف). به این معنا که یک xb = -(b xa).

2. حاصلضرب برداری دارای خاصیت ترکیبی نسبت به ضریب اسکالر است، یعنی l (а хb) = (l а) х b = а х (l b).

بگذارید l> 0 باشد. بردار l (a xb) بر بردارهای a و b عمود است. بردار ( لتبر بهمچنین بر بردارهای a و عمود است ب(بردارهای a لو در همان هواپیما دراز بکشید). از این رو بردارها ل(axb) و ( لتبر بخطی بدیهی است که جهت آنها منطبق است. طول یکسانی داشته باشد:

از همین رو ل(a хb) = لیک xb می توان به طور مشابه برای ل<0.

3. دو بردار غیر صفر a و بخطی اگر و فقط اگر حاصل ضرب آنها برابر با بردار صفر باشد، یعنی a || b<=>xb = 0.

به طور خاص، i * i = j * j = k * k = 0.

4. محصول برداری دارای خاصیت توزیع است:

(الف + ب) xc = یک xc + ب xc

ما آن را بدون مدرک می پذیریم.

7.3. بیان محصول متقاطع بر حسب مختصات

از جدول حاصل ضرب بردار i استفاده خواهیم کرد، jو ک:

اگر جهت کوتاهترین مسیر از بردار اول به بردار دوم با جهت فلش منطبق باشد، حاصلضرب برابر بردار سوم است، اگر نه، بردار سوم با علامت منفی گرفته می شود.

بگذارید دو بردار a = a x i + a y داده شود j+ a z کو b = b x من+ b y j+ b z ک... بیایید حاصل ضرب این بردارها را پیدا کنیم و آنها را به صورت چند جمله ای ضرب کنیم (با توجه به ویژگی های حاصل ضرب):

فرمول حاصل را می توان حتی کوتاهتر نوشت:

از آنجایی که سمت راست برابری (7.1) با بسط تعیین کننده مرتبه سوم از نظر عناصر ردیف اول مطابقت دارد. برابری (7.2) به راحتی قابل یادآوری است.

7.4. برخی از کاربردهای کار برداری

ایجاد بردارهای خطی

پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع و مثلث

با توجه به تعریف حاصلضرب برداری بردارها آو ب | یک xb | =| یک | * | b | sin g، یعنی S جفت = | a x b |. و بنابراین، D S = 1/2 | a x b |.

تعیین لحظه نیروی نسبت به یک نقطه

بگذارید نیرویی در نقطه A اعمال شود F = ABرهایش کن O- نقطه ای در فضا (شکل 20 را ببینید).

از علم فیزیک معلوم است که لحظه نیرو اف نسبت به نقطه Oبردار نامیده می شود م،که از نقطه عبور می کند Oو:

1) عمود بر صفحه ای که از نقاط عبور می کند O, A, B;

2) عددی برابر حاصل ضرب نیرو در هر شانه است

3) یک سه گانه راست با بردارهای OA و AB تشکیل می دهد.

بنابراین، M = OA x F.

یافتن سرعت خطی چرخش

سرعت vنقطه M یک جسم صلب که با سرعت زاویه ای می چرخد wحول یک محور ثابت، با فرمول اویلر v = w хr تعیین می شود، جایی که r = ОМ، جایی که О نقطه ثابت محور است (شکل 21 را ببینید).