حاصل ضرب اسکالر بردارها: نظریه و حل مسئله. استفاده از حاصل ضرب اسکالر و متقاطع پس حاصل ضرب اسکالر بردارها برابر است با

تعریف 1

حاصل ضرب اسکالر بردارها عددی برابر با حاصلضرب داین این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها نامیده می شود.

نماد حاصل ضرب بردارهای a → و b → به شکل a → , b → است. بیایید به فرمول تبدیل کنیم:

a →، b → = a → b → cos a →، b → ^. a → و b → طول بردارها را نشان می دهد، a → , b → ^ زاویه بین بردارهای داده شده را نشان می دهد. اگر حداقل یک بردار صفر باشد، یعنی مقدار آن 0 باشد، نتیجه صفر خواهد بود، a → , b → = 0

وقتی یک بردار را در خودش ضرب می کنیم، مربع dyne آن را بدست می آوریم:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

تعریف 2

ضرب اسکالر یک بردار به خودی خود را مربع اسکالر می نامند.

بر اساس فرمول محاسبه می شود:

a →، b → = a → b → cos a →، b → ^.

نوشتن a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → n p a → b → = b → n p b → a → نشان می دهد که n p b → a → پیش بینی عددی a → بر روی b → , n p a است. → a → - طرح b → بر روی a → به ترتیب.

ما تعریف محصول را برای دو بردار فرموله می کنیم:

حاصل ضرب اسکالر دو بردار a → در b → حاصل ضرب طول بردار a → با برآمدگی b → در جهت a → یا حاصلضرب طول b → با برآمدگی a →، به ترتیب.

محصول نقطه در مختصات

محاسبه حاصل ضرب اسکالر را می توان از طریق مختصات بردارها در یک صفحه یا در فضا انجام داد.

حاصل ضرب اسکالر دو بردار در یک صفحه، در فضای سه بعدی، مجموع مختصات بردارهای داده شده a → و b → نامیده می شود.

هنگام محاسبه بر روی صفحه حاصل ضرب نقطه ای بردارهای داده شده a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) در سیستم دکارتی استفاده کنید:

a →، b → = a x b x + a y b y،

برای فضای سه بعدی، عبارت قابل استفاده است:

a →، b → = a x b x + a y b y + a z b z.

در واقع این سومین تعریف از محصول نقطه ای است.

بیایید ثابت کنیم.

اثبات 1

برای اثبات آن از a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y برای بردارهای a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) در سیستم دکارتی استفاده می کنیم.

بردارها باید به تعویق بیفتد

O A → = a → = a x , a y و O B → = b → = b x , b y .

سپس طول بردار A B → برابر با A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) خواهد بود.

یک مثلث O A B را در نظر بگیرید.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) بر اساس قضیه کسینوس درست است.

با شرط می توان دید که O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , بنابراین فرمول یافتن زاویه بین بردارها را متفاوت می نویسیم.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

سپس از تعریف اول چنین بر می آید که b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , بنابراین (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

با استفاده از فرمول برای محاسبه طول بردارها، به دست می آوریم:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

بیایید برابری ها را ثابت کنیم:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- به ترتیب برای بردارهای فضای سه بعدی.

حاصل ضرب اسکالر بردارهای دارای مختصات می گوید که مربع اسکالر یک بردار به ترتیب برابر است با مجموع مجذورات مختصات آن در فضا و در صفحه. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) و (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

محصول نقطه و خواص آن

ویژگی های محصول نقطه ای وجود دارد که برای →، b → و c → اعمال می شود:

1. جابجایی (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. توزیع (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → ، ج →) ;
3. خاصیت انجمنی (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - هر عددی.
4. مربع اسکالر همیشه بزرگتر از صفر است (a → , a →) ≥ 0 , جایی که (a → , a →) = 0 وقتی a → صفر است.

خواص با تعریف حاصلضرب نقطه ای در صفحه و با خواص جمع و ضرب اعداد حقیقی توضیح داده می شود.

ویژگی جابجایی (a → , b →) = (b → , a →) را ثابت کنید. از تعریف داریم که (a → , b →) = a y b y + a y b y و (b → , a →) = b x a x + b y a y .

با خاصیت جابجایی، برابری های a x · b x = b x · a x و a y · b y = b y · a y درست هستند، بنابراین a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

نتیجه می شود که (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

توزیع برای هر عددی معتبر است:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

و (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

از این رو ما داریم

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

محصول نقطه با مثال و راه حل

هر مشکلی از چنین طرحی با استفاده از خواص و فرمول های مربوط به محصول اسکالر حل می شود:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y یا (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

بیایید به چند نمونه از راه حل ها نگاه کنیم.

مثال 2

طول a → 3 است، طول b → 7 است. اگر زاویه 60 درجه باشد، حاصل ضرب نقطه ای را پیدا کنید.

راه حل

طبق شرط، ما همه داده ها را داریم، بنابراین با فرمول محاسبه می کنیم:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

پاسخ: (a → , b →) = 21 2 .

مثال 3

بردارهای a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . محصول اسکالر چیست؟

راه حل

در این مثال، فرمول محاسبه مختصات در نظر گرفته شده است، زیرا آنها در بیان مسئله مشخص شده اند:

(a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

پاسخ: (a →، b →) = - 9

مثال 4

حاصل ضرب درونی A B → و A C → را پیدا کنید. نقاط A (1، - 3)، B (5، 4)، C (1، 1) در صفحه مختصات داده شده است.

راه حل

برای شروع، مختصات بردارها محاسبه می شود، زیرا مختصات نقاط با شرط داده می شود:

A B → = (5 - 1، 4 - (- 3)) = (4، 7) A C → = (1 - 1، 1 - (-3)) = (0، 4)

با جایگزینی در فرمول با استفاده از مختصات، دریافت می کنیم:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

جواب: (A B → , A C →) = 28 .

مثال 5

با توجه به بردارهای a → = 7 m → + 3 n → و b → = 5 m → + 8 n → حاصل ضرب آنها را پیدا کنید. m → برابر با 3 و n → برابر با 2 واحد است، آنها عمود هستند.

راه حل

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . با اعمال خاصیت توزیعی، دریافت می کنیم:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

ضریب را خارج از علامت محصول می گیریم و به دست می آوریم:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

با خاصیت جابجایی، تبدیل می کنیم:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

در نتیجه، دریافت می کنیم:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

اکنون فرمول حاصل از اسکالر را با زاویه مشخص شده توسط شرط اعمال می کنیم:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 m → 2 + 71 m → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

پاسخ: (a →، b →) = 411

اگر پیش بینی عددی وجود داشته باشد.

مثال 6

حاصل ضرب داخلی a → و b → را پیدا کنید. بردار a → دارای مختصات a → = (9 , 3 , - 3) , طرح ریزی b → دارای مختصات (- 3 , - 1 , 1) است.

راه حل

بر اساس شرط، بردارهای a → و طرح b → خلاف جهت هستند، زیرا a → = - 1 3 n p a → b → → → بنابراین طرح b → مربوط به طول n p a → b → → و با "-" است. امضاء کردن:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11،

با جایگزینی در فرمول، عبارت زیر را دریافت می کنیم:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

پاسخ: (a →، b →) = - 33 .

مشکلات مربوط به یک محصول اسکالر شناخته شده، که در آن لازم است طول یک بردار یا یک طرح عددی پیدا شود.

مثال 7

مقدار λ برای یک محصول اسکالر معین a → \u003d (1, 0, λ + 1) و b → \u003d (λ, 1, λ) برابر با 1- خواهد بود.

راه حل

از فرمول می توان دریافت که باید مجموع حاصل از مختصات را پیدا کرد:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

در داده شده (a → , b →) = - 1 داریم.

برای پیدا کردن λ، معادله را محاسبه می کنیم:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , از این رو λ = - 1 .

پاسخ: λ = - 1 .

معنای فیزیکی محصول اسکالر

مکانیک کاربرد محصول نقطه ای را در نظر می گیرد.

هنگام کار A با نیروی ثابت F → جسم متحرک از نقطه M به N، می توانید حاصل ضرب طول بردارهای F → و M N → را با کسینوس زاویه بین آنها پیدا کنید، به این معنی که کار برابر است. به حاصل ضرب بردارهای نیرو و جابجایی:

A = (F → ، M N →) .

مثال 8

جابجایی یک نقطه مادی به اندازه 3 متر تحت تأثیر نیرویی برابر با 5 Nton با زاویه 45 درجه نسبت به محور هدایت می شود. پیدا کردن یک .

راه حل

از آنجایی که کار حاصلضرب بردار نیرو و جابجایی است، پس بر اساس شرط F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 درجه، A = (F → , S → دریافت می کنیم. ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 درجه) = 15 2 2 .

پاسخ: A = 15 2 2 .

مثال 9

نقطه مادی که از M (2، - 1، - 3) به N (5، 3 λ - 2، 4) حرکت می کند، تحت نیروی F → = (3، 1، 2)، کار برابر با 13 J را انجام داد. طول حرکت

راه حل

برای مختصات داده شده بردار M N → M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) داریم.

با فرمول یافتن کار با بردارهای F → = (3 , 1 , 2) و M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) A = (F ⇒ , M N →) = 3 3 + 1 (3) بدست می آوریم. λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

با شرط، داده می شود که A \u003d 13 J، که به معنای 22 + 3 λ \u003d 13 است. این به معنی λ = - 3 است، بنابراین M N → = (3، 3 λ - 1، 7) = (3، - 10، 7).

برای یافتن طول سفر M N → فرمول را اعمال می کنیم و مقادیر را جایگزین می کنیم:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

جواب: 158.

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

حاصل ضرب برداری و نقطه محاسبه زاویه بین بردارها را آسان می کند. اجازه دهید دو بردار $\overline(a)$ و $\overline(b)$ داده شوند، زاویه جهت بین آنها برابر با $\varphi$ است. بیایید مقادیر $x = (\overline(a)،\overline(b))$ و $y = [\overline(a)،\overline(b)]$ را محاسبه کنیم. سپس $x=r\cos\varphi$، $y=r\sin\varphi$، که در آن $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ و $\varphi$ مورد نظر است. زاویه، یعنی نقطه $(x, y)$ دارای زاویه قطبی برابر با $\varphi$ است و از این رو $\varphi$ را می توان به صورت atan2(y, x) یافت.

مساحت یک مثلث

از آنجایی که حاصل ضرب برداری شامل حاصل ضرب دو طول بردار و کسینوس زاویه بین آنهاست، می توان از حاصل ضرب برداری برای محاسبه مساحت مثلث ABC استفاده کرد:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB)،\overline(AC)]| $.

نقطه متعلق به یک خط

اجازه دهید یک نقطه $P$ و یک خط $AB$ (که با دو نقطه $A$ و $B$ داده می شود) داده شود. باید بررسی شود که آیا یک نقطه متعلق به خط $AB$ است یا خیر.

یک نقطه به خط $AB$ تعلق دارد اگر و فقط اگر بردارهای $AP$ و $AB$ هم خط باشند، یعنی اگر $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $ باشد.

تعلق نقطه به پرتو

اجازه دهید یک نقطه $P$ و یک پرتو $AB$ (با دو نقطه - ابتدای پرتو $A$ و یک نقطه روی پرتو $B$) داده شود. باید بررسی شود که آیا نقطه متعلق به پرتو $AB$ است یا خیر.

یک شرط اضافی باید به این شرط اضافه شود که نقطه $P$ متعلق به خط $AB$ باشد - بردارهای $AP$ و $AB$ هم جهت هستند، یعنی هم خط هستند و حاصل ضرب اسکالر آنها غیر منفی است. یعنی $(\overline(AB)، \overline(AP ))\ge $0.

نقطه متعلق به یک بخش

اجازه دهید یک نقطه $P$ و یک بخش $AB$ داده شود. باید بررسی شود که آیا نقطه متعلق به بخش $AB$ است یا خیر.

در این حالت، نقطه باید به هر دو ray $AB$ و ray $BA$ تعلق داشته باشد، بنابراین شرایط زیر باید بررسی شود:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$،

$(\overline(AB)، \overline(AP))\ge 0$،

$(\overline(BA)، \overline(BP))\ge 0$.

فاصله از نقطه به خط

اجازه دهید یک نقطه $P$ و یک خط $AB$ (که با دو نقطه $A$ و $B$ داده می شود) داده شود. باید فاصله از نقطه خط مستقیم $AB$ را پیدا کرد.

مثلث ABP را در نظر بگیرید. از یک طرف، مساحت آن $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$ است.

از طرف دیگر، مساحت آن $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ است، که در آن $h$ ارتفاع از $P$ است، یعنی فاصله از $P$ تا $ AB $. از آنجا $h=|[\overline(AB)،\overline(AP)]|/|AB|$.

فاصله از نقطه به پرتو

اجازه دهید یک نقطه $P$ و یک پرتو $AB$ (با دو نقطه - ابتدای پرتو $A$ و یک نقطه روی پرتو $B$) داده شود. باید فاصله نقطه تا پرتو را پیدا کرد، یعنی طول کوتاهترین قطعه از نقطه $P$ تا هر نقطه از پرتو.

این فاصله برابر با طول $AP$ یا فاصله از نقطه $P$ تا خط $AB$ است. با توجه به موقعیت نسبی تیر و نقطه می توان به راحتی تعیین کرد که کدام یک از موارد اتفاق می افتد. اگر زاویه PAB تند باشد، یعنی $(\overline(AB)،\overline(AP)) > 0$، پاسخ فاصله از نقطه $P$ تا خط $AB$ است، در غیر این صورت پاسخ طول است. از بخش $AB$.

فاصله از نقطه به خط

اجازه دهید یک نقطه $P$ و یک بخش $AB$ داده شود. لازم است فاصله $P$ تا بخش $AB$ را پیدا کنید.

اگر قاعده عمود از $P$ به خط $AB$ کاهش یابد، بر روی بخش $AB$ قرار می گیرد که با شرایط قابل بررسی است.

$(\overline(AP)، \overline(AB))\ge 0$،

$(\overline(BP)، \overline(BA))\ge 0$،

سپس پاسخ فاصله نقطه $P$ تا خط $AB$ است. در غیر این صورت، فاصله برابر با $\min(AP, BP)$ خواهد بود.

حاصل ضرب نقطه ای بردارها

ما همچنان با بردارها سروکار داریم. در درس اول وکتور برای آدمکما مفهوم بردار، عملیات با بردارها، مختصات بردار و ساده ترین مسائل را با بردارها در نظر گرفته ایم. اگر برای اولین بار از یک موتور جستجو به این صفحه آمدید، خواندن مقاله مقدماتی بالا را به شدت توصیه می کنم، زیرا برای جذب مطالب، باید در عبارات و نمادهایی که استفاده می کنم راهنمایی شوید، دانش اولیه بردارها را داشته باشید. و بتواند مسائل ابتدایی را حل کند. این درس ادامه منطقی موضوع است و در آن وظایف معمولی را که از حاصل ضرب اسکالر بردارها استفاده می کنند را با جزئیات تجزیه و تحلیل خواهم کرد. این یک کار بسیار مهم است.. سعی کنید مثال ها را نادیده نگیرید، آنها با یک امتیاز مفید همراه هستند - تمرین به شما کمک می کند تا مطالب پوشش داده شده را ادغام کنید و "دست خود را در حل مشکلات رایج هندسه تحلیلی بگیرید".

جمع بردارها، ضرب بردار در عدد…. ساده لوحانه است اگر فکر کنیم که ریاضیدانان چیز دیگری نیافته اند. علاوه بر اقداماتی که قبلاً در نظر گرفته شده است، تعدادی عملیات دیگر با بردارها وجود دارد که عبارتند از: حاصل ضرب نقطه ای بردارها, حاصل ضرب بردارهاو حاصلضرب مخلوط بردارها. حاصل ضرب اسکالر بردارها از مدرسه برای ما آشناست، دو محصول دیگر به طور سنتی مربوط به درس ریاضیات عالی هستند. موضوعات ساده هستند، الگوریتم حل بسیاری از مسائل کلیشه ای و قابل درک است. تنها چیزی. مقدار مناسبی از اطلاعات وجود دارد، بنابراین نامطلوب است که سعی کنید همه چیز را و به طور همزمان حل کنید. این به ویژه در مورد آدمک ها صادق است، باور کنید نویسنده مطلقاً نمی خواهد از ریاضیات شبیه چیکاتیلو باشد. خوب، البته نه از ریاضیات =) دانش آموزان آماده تر می توانند به طور انتخابی از مواد استفاده کنند، به یک معنا، دانش گم شده را "کسب" کنند، برای شما من یک کنت دراکولای بی ضرر خواهم بود =)

در نهایت، بیایید در را کمی باز کنیم و نگاهی بیندازیم که وقتی دو بردار به هم می رسند چه اتفاقی می افتد….

تعریف حاصل ضرب اسکالر بردارها.
ویژگی های محصول اسکالر وظایف معمولی

مفهوم محصول نقطه ای

اول در مورد زاویه بین بردارها. من فکر می‌کنم همه به طور شهودی می‌دانند که زاویه بین بردارها چقدر است، اما در هر صورت، کمی بیشتر. بردارهای آزاد غیر صفر و را در نظر بگیرید. اگر این بردارها را از یک نقطه دلخواه به تعویق بیندازیم، تصویری به دست می‌آید که بسیاری قبلاً به صورت ذهنی ارائه کرده‌اند:

اعتراف می کنم، در اینجا من وضعیت را فقط در سطح درک توصیف کردم. اگر به تعریف دقیق زاویه بین بردارها نیاز دارید، لطفاً به کتاب درسی مراجعه کنید، اما برای کارهای عملی، ما در اصل به آن نیاز نداریم. همچنین در اینجا و بیشتر، من گاهی اوقات بردارهای صفر را به دلیل اهمیت عملی کم آنها نادیده می گیرم. من به طور خاص برای بازدیدکنندگان پیشرفته سایت رزرو کردم که می توانند مرا به خاطر ناقص بودن نظری برخی از اظهارات زیر سرزنش کنند.

در ادبیات، نماد زاویه اغلب حذف می شود و به سادگی نوشته می شود.

تعریف:حاصل ضرب اسکالر دو بردار عددی است برابر حاصلضرب طول این بردارها و کسینوس زاویه بین آنها:

حالا این یک تعریف کاملاً دقیق است.

ما روی اطلاعات ضروری تمرکز می کنیم:

تعیین:محصول اسکالر با یا به سادگی نشان داده می شود.

نتیجه عملیات NUMBER است: یک بردار را در یک بردار ضرب کنید تا به عددی برسید. در واقع، اگر طول بردارها اعداد باشد، کسینوس زاویه یک عدد است، پس حاصلضرب آنها نیز یک عدد خواهد بود.

فقط چند مثال گرم کردن:

مثال 1

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم . در این مورد:

پاسخ:

مقادیر کسینوس را می توان در پیدا کرد جدول مثلثاتی. من چاپ آن را توصیه می کنم - تقریباً در تمام بخش های برج مورد نیاز است و بارها مورد نیاز خواهد بود.

صرفاً از نظر ریاضی، حاصل ضرب اسکالر بدون بعد است، یعنی نتیجه در این مورد فقط یک عدد است و بس. از نقطه نظر مسائل فیزیک، محصول اسکالر همیشه معنای فیزیکی خاصی دارد، یعنی پس از نتیجه، یک یا آن واحد فیزیکی باید نشان داده شود. مثال متعارف محاسبه کار یک نیرو را می توان در هر کتاب درسی یافت (فرمول دقیقاً حاصل ضرب نقطه ای است). کار یک نیرو با ژول اندازه گیری می شود، بنابراین، به عنوان مثال، پاسخ کاملاً خاص نوشته می شود.

مثال 2

پیدا کنید اگر ، و زاویه بین بردارها است.

این یک مثال برای تصمیم گیری شخصی است، پاسخ در پایان درس است.

زاویه بین بردارها و مقدار محصول نقطه ای

در مثال 1، حاصلضرب اسکالر مثبت و در مثال 2 منفی شد. اجازه دهید دریابیم که علامت حاصلضرب اسکالر به چه چیزی بستگی دارد. بیایید به فرمول خود نگاه کنیم: . طول بردارهای غیر صفر همیشه مثبت هستند: بنابراین علامت فقط به مقدار کسینوس بستگی دارد.

توجه داشته باشید: برای درک بهتر اطلاعات زیر، بهتر است نمودار کسینوس موجود در دفترچه راهنما را مطالعه کنید نمودارها و ویژگی های تابع. ببینید کسینوس چگونه روی قطعه رفتار می کند.

همانطور که قبلا ذکر شد، زاویه بین بردارها می تواند در داخل متفاوت باشد ، و موارد زیر ممکن است:

1) اگر گوشهبین بردارها تند: (از 0 تا 90 درجه)، سپس ، و محصول نقطه ای مثبت خواهد بود کارگردانی مشترک، سپس زاویه بین آنها صفر در نظر گرفته می شود و حاصل ضرب اسکالر نیز مثبت خواهد بود. از آنجایی که فرمول ساده شده است: .

2) اگر گوشهبین بردارها احمق: (از 90 تا 180 درجه)، سپس و به همین ترتیب، محصول نقطه ای منفی است: . مورد خاص: اگر بردارها برعکس هدایت شده است، سپس زاویه بین آنها در نظر گرفته می شود مستقر شده است: (180 درجه). حاصل ضرب اسکالر نیز منفی است، زیرا

عبارات مخالف نیز صادق است:

1) اگر، زاویه بین این بردارها تند است. از طرف دیگر، بردارها هم جهت هستند.

2) اگر، زاویه بین این بردارها منفرد است. از طرف دیگر، بردارها برعکس جهت داده می شوند.

اما مورد سوم جالب توجه است:

3) اگر گوشهبین بردارها سر راست: (90 درجه) سپس و محصول نقطه ای صفر است: . عکس آن نیز صادق است: اگر، پس. بیانیه فشرده به صورت زیر فرموله می شود: حاصل ضرب اسکالر دو بردار صفر است اگر و فقط اگر بردارهای داده شده متعامد باشند.. نماد ریاضی کوتاه:

! توجه داشته باشید : تکرار مبانی منطق ریاضی: نماد پیامد منطقی دو طرفه معمولاً "اگر و فقط آن وقت"، "اگر و فقط اگر" خوانده می شود. همانطور که می بینید، فلش ها در هر دو جهت هدایت می شوند - "از این به دنبال این است، و بالعکس - از این به دنبال این است." به هر حال، تفاوت آن با نماد فالو یک طرفه چیست؟ ادعاهای نماد فقط آنکه «از هذا به دنبال این است» و نه این که عکس آن صادق باشد. به عنوان مثال: ، اما هر حیوانی پلنگ نیست، بنابراین نماد را نمی توان در این مورد استفاده کرد. در همان زمان، به جای نماد می تواناز نماد یک طرفه استفاده کنید به عنوان مثال، هنگام حل مسئله، متوجه شدیم که بردارها متعامد هستند: - چنین رکوردی صحیح و حتی مناسب تر از آن خواهد بود .

مورد سوم اهمیت عملی زیادی دارد.، زیرا به شما امکان می دهد بررسی کنید که آیا بردارها متعامد هستند یا خیر. این مشکل را در بخش دوم درس حل خواهیم کرد.

ویژگی های محصول نقطه ای

اجازه دهید به وضعیت زمانی که دو بردار کارگردانی مشترک. در این حالت، زاویه بین آنها صفر است، و فرمول حاصل ضرب اسکالر به شکل: .

اگر بردار در خودش ضرب شود چه اتفاقی می افتد؟ واضح است که بردار با خودش هدایت می شود، بنابراین از فرمول ساده شده فوق استفاده می کنیم:

شماره تماس گرفته می شود مربع اسکالربردار و به صورت .

به این ترتیب، مربع اسکالر یک بردار برابر است با مربع طول بردار داده شده:

از این برابری می توانید فرمولی برای محاسبه طول یک بردار بدست آورید:

در حالی که مبهم به نظر می رسد، اما وظایف درس همه چیز را در جای خود قرار می دهد. برای حل مشکلات نیز نیاز داریم ویژگی های محصول نقطه ای.

برای بردارهای دلخواه و هر عددی، ویژگی های زیر درست است:

1) - جابجایی یا جایگزینیقانون محصول اسکالر

2) - توزیع یا توزیعیقانون محصول اسکالر به عبارت ساده، می توانید پرانتز را باز کنید.

3) - ترکیب یا انجمنیقانون محصول اسکالر ثابت را می توان از محصول اسکالر خارج کرد.

اغلب، همه انواع ویژگی ها (که نیاز به اثبات دارند!) توسط دانش آموزان به عنوان زباله های غیر ضروری تلقی می شوند، که فقط باید بلافاصله پس از امتحان به خاطر بسپارند و با خیال راحت فراموش شوند. به نظر می رسد آنچه در اینجا مهم است ، همه از کلاس اول می دانند که محصول از تغییر عوامل تغییر نمی کند:. باید به شما هشدار دهم، در ریاضیات عالی با چنین رویکردی به راحتی می توان همه چیز را به هم ریخت. بنابراین، برای مثال، ویژگی جابجایی برای آن معتبر نیست ماتریس های جبری. درست نیست برای حاصل ضرب بردارها. بنابراین، حداقل بهتر است در هر ویژگی که در درس ریاضیات عالی با آن مواجه می شوید، به دقت بپردازید تا بفهمید چه کاری می توان انجام داد و چه کاری را نمی توان انجام داد.

مثال 3

.

راه حل:ابتدا بیایید وضعیت را با بردار روشن کنیم. کل این در بارهی چیست؟ مجموع بردارها و یک بردار کاملاً مشخص است که با نشان داده می شود. تفسیر هندسی اعمال با بردارها را می توان در مقاله یافت وکتور برای آدمک. همان جعفری با بردار مجموع بردارها و .

بنابراین، با توجه به شرایط، باید محصول اسکالر را پیدا کرد. در تئوری، شما باید فرمول کار را اعمال کنید ، اما مشکل اینجاست که طول بردارها و زاویه بین آنها را نمی دانیم. اما در شرط، پارامترهای مشابهی برای بردارها داده شده است، بنابراین ما به روش دیگر خواهیم رفت:

(1) ما عبارات بردارها را جایگزین می کنیم.

(2) براکت ها را طبق قاعده ضرب چندجمله ای ها باز می کنیم، یک پیچ کننده زبان مبتذل در مقاله یافت می شود. اعداد مختلطیا ادغام یک تابع کسری - گویا. من خودم را تکرار نمی کنم =) به هر حال، خاصیت توزیعی محصول اسکالر به ما اجازه می دهد تا براکت ها را باز کنیم. ما حق داریم.

(3) در اولین و آخرین ترم ها، مربع های اسکالر بردارها را به صورت فشرده می نویسیم: . در ترم دوم از قابلیت جابجایی حاصل ضرب اسکالر استفاده می کنیم: .

(4) در اینجا اصطلاحات مشابه وجود دارد: .

(5) در ترم اول از فرمول مربع اسکالر استفاده می کنیم که چندی پیش ذکر شد. در ترم آخر به ترتیب همین کار می کند: . عبارت دوم طبق فرمول استاندارد گسترش می یابد .

(6) این شرایط را جایگزین کنید ، و محاسبات نهایی را با دقت انجام دهید.

پاسخ:

مقدار منفی حاصلضرب نقطه بیانگر این واقعیت است که زاویه بین بردارها منفرد است.

این کار معمولی است، در اینجا یک مثال برای یک راه حل مستقل آورده شده است:

مثال 4

حاصل ضرب اسکالر بردارها و را در صورتی که معلوم باشد بیابید .

اکنون یک کار رایج دیگر، فقط برای فرمول جدید طول برداری. نام‌گذاری‌ها در اینجا کمی همپوشانی دارند، بنابراین برای وضوح، آن را با حرف دیگری بازنویسی می‌کنم:

مثال 5

طول بردار if را پیدا کنید .

راه حلبه شرح زیر خواهد بود:

(1) ما عبارت برداری را ارائه می کنیم.

(2) ما از فرمول طول استفاده می کنیم: در حالی که یک عبارت صحیح به عنوان بردار "ve" داریم.

(3) از فرمول مدرسه برای مجذور مجموع استفاده می کنیم. به نحوه کنجکاوی آن در اینجا توجه کنید: - در واقع این مربع تفاوت است و در واقع همینطور است. کسانی که مایلند می‌توانند بردارها را در مکان‌هایی بازآرایی کنند: - تا بازآرایی عبارت‌ها همین اتفاق افتاد.

(4) آنچه در ادامه می آید از قبل با دو مشکل قبلی آشناست.

پاسخ:

از آنجایی که ما در مورد طول صحبت می کنیم، فراموش نکنید که بعد - "واحدها" را مشخص کنید.

مثال 6

طول بردار if را پیدا کنید .

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس.

ما همچنان به حذف چیزهای مفید از محصول اسکالر ادامه می دهیم. بیایید دوباره به فرمول خود نگاه کنیم . با قانون تناسب، طول بردارها را به مخرج سمت چپ بازنشانی می کنیم:

بیایید قطعات را با هم عوض کنیم:

منظور از این فرمول چیست؟ اگر طول دو بردار و حاصل ضرب اسکالر آنها مشخص باشد، می توان کسینوس زاویه بین این بردارها و در نتیجه خود زاویه را محاسبه کرد.

آیا حاصل ضرب اسکالر یک عدد است؟ عدد. آیا طول های برداری اعداد هستند؟ شماره. پس کسری نیز یک عدد است. و اگر کسینوس زاویه معلوم باشد: ، سپس با استفاده از تابع معکوس می توان به راحتی خود زاویه را پیدا کرد: .

مثال 7

زاویه بین بردارها و را پیدا کنید، اگر معلوم باشد که .

راه حل:ما از فرمول استفاده می کنیم:

در مرحله نهایی محاسبات، از تکنیکی استفاده شد - حذف غیرمنطقی بودن در مخرج. برای از بین بردن غیر منطقی، صورت و مخرج را ضرب کردم.

بنابراین اگر ، سپس:

مقادیر توابع مثلثاتی معکوس را می توان با استفاده از جدول مثلثاتی. اگرچه این به ندرت اتفاق می افتد. در مسائل هندسه تحلیلی، برخی از خرس های دست و پا چلفتی بیشتر ظاهر می شوند، و مقدار زاویه را باید تقریباً با استفاده از یک ماشین حساب پیدا کرد. در واقع این تصویر را بارها و بارها خواهیم دید.

پاسخ:

باز هم فراموش نکنید که بعد را مشخص کنید - رادیان و درجه. شخصاً برای «حذف همه سؤالات» عمدی، ترجیح می دهم هر دو را نشان دهم (مگر اینکه، البته، طبق شرط، لازم باشد که پاسخ را فقط بر حسب رادیان یا فقط در درجه ارائه شود).

اکنون می توانید به تنهایی با یک کار دشوارتر کنار بیایید:

مثال 7*

طول بردارها و زاویه بین آنها داده شده است. زاویه بین بردارها را پیدا کنید .

این کار آنقدر سخت نیست که چند طرفه باشد.
بیایید الگوریتم حل را تحلیل کنیم:

1) با توجه به شرایط، باید زاویه بین بردارها و را پیدا کرد، بنابراین باید از فرمول استفاده کنید. .

2) محصول اسکالر را پیدا می کنیم (به مثال های شماره 3 و 4 مراجعه کنید).

3) طول بردار و طول بردار را بیابید (به مثال های شماره 5 و 6 مراجعه کنید).

4) پایان راه حل مطابق با مثال شماره 7 است - ما عدد را می دانیم، به این معنی که پیدا کردن خود زاویه آسان است:

راه حل کوتاه و پاسخ در پایان درس.

بخش دوم درس به همان نقطه نقطه اختصاص دارد. مختصات. حتی ساده تر از قسمت اول خواهد بود.

حاصل ضرب نقطه ای بردارها،
توسط مختصات به صورت متعارف ارائه شده است

پاسخ:

ناگفته نماند که برخورد با مختصات بسیار خوشایندتر است.

مثال 14

حاصل ضرب اسکالر بردارها را بیابید و اگر

این یک مثال برای خودتان است. در اینجا می توانید از تداعی عملیات استفاده کنید، یعنی حساب نکنید، اما بلافاصله سه برابر را از حاصل ضرب اسکالر خارج کنید و در آخر ضرب کنید. راه حل و پاسخ در پایان درس.

در پایان پاراگراف، یک مثال تحریک آمیز از محاسبه طول یک بردار:

مثال 15

طول بردارها را پیدا کنید ، اگر

راه حل:مجدداً روش بخش قبل خود را نشان می دهد: اما راه دیگری وجود دارد:

بیایید بردار را پیدا کنیم:

و طول آن طبق فرمول بی اهمیت :

محصول اسکالر اصلاً به اینجا مربوط نیست!

در هنگام محاسبه طول یک بردار چقدر بی فایده است:
متوقف کردن. چرا از ویژگی طول آشکار یک بردار استفاده نمی کنید؟ در مورد طول یک بردار چه می توان گفت؟ این بردار 5 برابر بیشتر از بردار است. جهت مخالف است، اما مهم نیست، زیرا ما در مورد طول صحبت می کنیم. بدیهی است که طول بردار برابر با حاصلضرب است مدولاعداد در طول بردار:
- علامت ماژول منهای احتمالی عدد را "می خورد".

به این ترتیب:

پاسخ:

فرمول کسینوس زاویه بین بردارهایی که با مختصات داده می شوند

اکنون اطلاعات کاملی برای بیان فرمول مشتق شده قبلی برای کسینوس زاویه بین بردارها بر حسب مختصات بردارها داریم:

کسینوس زاویه بین بردارهای صفحهو بر اساس ارتونورمال داده شده است با فرمول بیان می شود:
.

کسینوس زاویه بین بردارهای فضایی، که بر اساس متعارف ارائه شده است، با فرمول بیان می شود:

مثال 16

سه رأس مثلث داده شده است. (زاویه رأس) را پیدا کنید.

راه حل:طبق شرایط، نقاشی مورد نیاز نیست، اما هنوز:

زاویه مورد نیاز با یک قوس سبز مشخص شده است. ما بلافاصله تعیین زاویه مدرسه را به یاد می آوریم: - توجه ویژه به وسطحرف - این راس زاویه ای است که ما نیاز داریم. برای اختصار، می توان آن را به سادگی نوشت.

از رسم کاملاً واضح است که زاویه مثلث با زاویه بین بردارها منطبق است و به عبارت دیگر: .

یادگیری نحوه انجام تحلیل انجام شده به صورت ذهنی مطلوب است.

بیایید بردارها را پیدا کنیم:

بیایید حاصل ضرب اسکالر را محاسبه کنیم:

و طول بردارها:

کسینوس یک زاویه:

این ترتیب کار است که من به آدمک ها توصیه می کنم. خوانندگان پیشرفته تر می توانند محاسبات را "در یک خط" بنویسند:

در اینجا مثالی از مقدار کسینوس "بد" آورده شده است. مقدار حاصل نهایی نیست، بنابراین خلاص شدن از غیرمنطقی بودن در مخرج، فایده ای ندارد.

بیایید زاویه را پیدا کنیم:

اگر به نقاشی نگاه کنید، نتیجه کاملاً قابل قبول است. برای بررسی زاویه نیز می توان با نقاله اندازه گیری کرد. به پوشش مانیتور آسیب ندهید =)

پاسخ:

در پاسخ، این را فراموش نکنید از زاویه مثلث پرسید(و نه در مورد زاویه بین بردارها)، فراموش نکنید که پاسخ دقیق: و مقدار تقریبی زاویه را نشان دهید: با ماشین حساب پیدا شد

کسانی که از این فرآیند لذت برده‌اند، می‌توانند زوایا را محاسبه کنند و از صحت برابری متعارف اطمینان حاصل کنند

مثال 17

یک مثلث در فضا با مختصات رئوس آن داده می شود. زاویه بین اضلاع و

این یک مثال برای خودتان است. حل کامل و پاسخ در پایان درس

بخش پایانی کوچکی به پیش‌بینی‌ها اختصاص داده می‌شود که در آن محصول اسکالر نیز «دخیل» است:

طرح ریزی یک بردار بر روی یک بردار. طرح برداری برداری بر روی محورهای مختصات.
بردار کسینوس جهت

بردارها و :

ما بردار را روی بردار قرار می دهیم، برای این کار ابتدا و انتهای بردار را حذف می کنیم عمود بردر هر بردار (خطوط نقطه چین سبز). تصور کنید که پرتوهای نور به صورت عمود بر یک بردار می افتند. سپس قطعه (خط قرمز) "سایه" بردار خواهد بود. در این حالت، طرح یک بردار بر روی یک بردار طول قطعه است. یعنی فرافکنی یک عدد است.

این NUMBER به صورت زیر نشان داده می شود: "بردار بزرگ" یک بردار را نشان می دهد کهپروژه، "بردار زیرمجموعه کوچک" بردار را نشان می دهد درکه پیش بینی می شود.

خود مدخل به این صورت می‌خواند: «طرح‌نمایی بردار «a» بر بردار «be»».

اگر بردار "be" "خیلی کوتاه" باشد چه اتفاقی می افتد؟ یک خط مستقیم حاوی بردار "be" رسم می کنیم. و بردار "a" قبلاً پیش بینی می شود به جهت بردار "be"، به سادگی - روی یک خط مستقیم حاوی بردار "be". همان اتفاق خواهد افتاد اگر بردار "a" در پادشاهی سی ام کنار گذاشته شود - همچنان به راحتی بر روی خط حاوی بردار "be" نمایش داده می شود.

اگر زاویهبین بردارها تند(مانند تصویر)، سپس

اگر بردارها متعامد، سپس (برآمدگی نقطه ای است که ابعاد آن صفر فرض می شود).

اگر زاویهبین بردارها احمق(در شکل، فلش بردار را به صورت ذهنی مرتب کنید)، سپس (به همان طول، اما با علامت منفی گرفته شده است).

این بردارها را از یک نقطه کنار بگذارید:

بدیهی است که هنگام حرکت یک بردار، طرح ریزی آن تغییر نمی کند

سخنرانی: مختصات برداری حاصل ضرب نقطه ای بردارها; زاویه بین بردارها

مختصات برداری

بنابراین، همانطور که قبلا ذکر شد، یک بردار یک قطعه جهت دار است که شروع و پایان خاص خود را دارد. اگر ابتدا و انتها با چند نقطه نشان داده شوند، آنگاه مختصات خود را در صفحه یا در فضا دارند.

اگر هر نقطه مختصات خود را داشته باشد، می توانیم مختصات کل بردار را بدست آوریم.

فرض کنید بردارهایی داریم که ابتدا و انتهای بردار دارای نام ها و مختصات زیر است: A(A x ; Ay) و B(B x ; By)

برای بدست آوردن مختصات این بردار باید مختصات شروع مربوطه را از مختصات انتهای بردار کم کرد:

برای تعیین مختصات یک بردار در فضا از فرمول زیر استفاده کنید:

حاصل ضرب نقطه ای بردارها

دو راه برای تعریف مفهوم محصول نقطه ای وجود دارد:

• روش هندسی به گفته وی، حاصل ضرب اسکالر برابر است با حاصل ضرب مقادیر این ماژول ها و کسینوس زاویه بین آنها.

• معنی جبری از دیدگاه جبر، حاصل ضرب اسکالر دو بردار مقدار معینی است که از مجموع حاصلضرب بردارهای مربوطه حاصل می شود.

اگر بردارها در فضا داده شوند، باید از فرمول مشابه استفاده کنید:

خواص:

• اگر دو بردار یکسان را به صورت اسکالر ضرب کنید، حاصل ضرب اسکالر آنها غیر منفی خواهد بود:

• اگر حاصل ضرب اسکالر دو بردار یکسان برابر با صفر باشد، این بردارها صفر در نظر گرفته می شوند:

• اگر بردار معینی در خودش ضرب شود، حاصل ضرب اسکالر برابر با مجذور مدول آن خواهد بود:

• حاصلضرب اسکالر خاصیت ارتباطی دارد، یعنی حاصلضرب اسکالر از جایگشت بردارها تغییر نمی کند:

• حاصل ضرب اسکالر بردارهای غیر صفر تنها در صورتی می تواند صفر باشد که بردارها بر یکدیگر عمود باشند:

• برای حاصل ضرب اسکالر بردارها، قانون جابجایی در مورد ضرب یکی از بردارها در عدد معتبر است:

• با حاصل ضرب نقطه ای، می توانید از خاصیت توزیعی ضرب نیز استفاده کنید:

زاویه بین بردارها

همچنین وظایفی برای یک راه حل مستقل وجود خواهد داشت که می توانید پاسخ آنها را مشاهده کنید.

اگر در مسئله، هم طول بردارها و هم زاویه بین آنها "روی یک بشقاب نقره ای" ارائه شود، شرایط مسئله و راه حل آن به این صورت است:

مثال 1بردارها داده شده است. حاصل ضرب اسکالر بردارها را در صورتی پیدا کنید که طول و زاویه بین آنها با مقادیر زیر نمایش داده شود:

تعریف دیگری نیز معتبر است که کاملاً معادل تعریف 1 است.

تعریف 2. حاصل ضرب اسکالر بردارها عددی (اسکالر) برابر حاصلضرب طول یکی از این بردارها و طرح بردار دیگر بر روی محوری است که توسط اولین بردار تعیین می شود. فرمول طبق تعریف 2:

بعد از نکته نظری مهم بعدی با استفاده از این فرمول مشکل را حل خواهیم کرد.

تعریف حاصل ضرب اسکالر بردارها بر حسب مختصات

اگر بردارهای ضرب شده با مختصات آنها داده شوند، همین عدد را می توان به دست آورد.

تعریف 3.حاصل ضرب نقطه ای بردارها عددی است برابر با مجموع حاصلضرب های زوجی مختصات مربوطه آنها.

روی سطح

اگر دو بردار و در صفحه با دو آنها تعریف شوند مختصات کارتزین

پس حاصل ضرب نقطه ای این بردارها برابر است با مجموع حاصلضرب های زوجی مختصات مربوطه آنها:

.

مثال 2مقدار عددی طرح بردار را بر روی محور موازی بردار بیابید.

راه حل. حاصل ضرب اسکالر بردارها را با جمع کردن حاصل ضربات زوجی مختصات آنها می یابیم:

حال باید حاصل ضرب اسکالر حاصل را با حاصلضرب طول بردار و برآمدگی بردار بر روی محوری موازی با بردار (طبق فرمول) برابر کنیم.

طول بردار را به صورت جذر مجذور مجذور مختصات آن می یابیم:

.

یک معادله بنویس و حلش کن:

پاسخ. مقدار عددی مورد نظر منهای 8 است.

در فضای

اگر دو بردار و در فضا با سه مختصات مستطیلی دکارتی آنها تعریف شوند

,

پس حاصل ضرب اسکالر این بردارها نیز برابر است با مجموع حاصلضربهای زوجی مختصات مربوطه آنها، فقط در حال حاضر سه مختصات وجود دارد:

.

وظیفه یافتن حاصلضرب اسکالر به روش در نظر گرفته شده پس از تجزیه و تحلیل خواص حاصلضرب اسکالر است. زیرا در کار باید مشخص شود که بردارهای ضرب شده چه زاویه ای را تشکیل می دهند.

ویژگی های حاصلضرب نقطه ای بردارها

ویژگی های جبری

1. (دارایی جابجایی: مقدار حاصلضرب اسکالر آنها با تغییر مکان بردارهای ضرب شده تغییر نمی کند).

2. (ویژگی انجمنی با توجه به یک عامل عددی: حاصل ضرب اسکالر یک بردار در یک عامل و بردار دیگر برابر است با حاصل ضرب اسکالر این بردارها در همان ضریب).

3. (ویژگی توزیعی با توجه به مجموع بردارها: حاصل ضرب اسکالر مجموع دو بردار توسط بردار سوم برابر است با مجموع حاصلضربهای بردار اول توسط بردار سوم و بردار دوم توسط بردار سوم).

4. (مربع اسکالر بردار بزرگتر از صفراگر یک بردار غیر صفر است، و اگر یک بردار صفر است.

خواص هندسی

در تعاریف عملیات مورد مطالعه قبلاً به مفهوم زاویه بین دو بردار پرداخته ایم. وقت آن است که این مفهوم را روشن کنیم.

در شکل بالا دو بردار قابل مشاهده است که به یک شروع مشترک آورده شده اند. و اولین چیزی که باید به آن توجه کنید: دو زاویه بین این بردارها وجود دارد - φ 1 و φ 2 . کدام یک از این زوایا در تعاریف و ویژگی های حاصلضرب اسکالر بردارها دیده می شود؟ مجموع زوایای در نظر گرفته شده 2 است π و بنابراین کسینوس های این زوایا مساوی هستند. تعریف حاصلضرب نقطه فقط کسینوس زاویه را شامل می شود نه مقدار بیان آن. اما در املاک تنها یک گوشه در نظر گرفته شده است. و این یکی از دو زاویه است که تجاوز نمی کند π یعنی 180 درجه این زاویه در شکل به صورت نشان داده شده است φ 1 .

1. دو بردار نامیده می شود متعامد و زاویه بین این بردارها یک راست است (90 درجه یا π /2) اگر حاصل ضرب اسکالر این بردارها صفر است :

.

متعامد بودن در جبر برداری، عمود بردار بودن دو بردار است.

2. دو بردار غیر صفر تشکیل می دهند گوشه ی تیز (از 0 تا 90 درجه یا همان چیزی کمتر است π محصول نقطه مثبت است .

3. دو بردار غیر صفر تشکیل می دهند زاویه مبهم (از 90 تا 180 درجه، یا همان چیزی است - بیشتر π /2) اگر و فقط اگر محصول نقطه ای منفی است .

مثال 3بردارها به صورت مختصات داده می شوند:

.

حاصل ضرب نقطه تمام جفت بردارهای داده شده را محاسبه کنید. این جفت بردارها چه زاویه ای (حاد، راست، مبهم) تشکیل می دهند؟

راه حل. ما با جمع کردن محصولات مختصات مربوطه محاسبه خواهیم کرد.

ما یک عدد منفی گرفتیم، بنابراین بردارها یک زاویه منفرد تشکیل می دهند.

ما یک عدد مثبت گرفتیم، بنابراین بردارها یک زاویه تند تشکیل می دهند.

ما صفر گرفتیم، بنابراین بردارها یک زاویه قائمه تشکیل می دهند.

ما یک عدد مثبت گرفتیم، بنابراین بردارها یک زاویه تند تشکیل می دهند.

.

ما یک عدد مثبت گرفتیم، بنابراین بردارها یک زاویه تند تشکیل می دهند.

برای خودآزمایی می توانید استفاده کنید ماشین حساب آنلاین حاصل ضرب نقطه بردارها و کسینوس زاویه بین آنها .

مثال 4با توجه به طول دو بردار و زاویه بین آنها:

.

تعیین کنید که بردارها و بردارها در چه مقداری متعامد (عمود) هستند.

راه حل. بردارها را طبق قاعده ضرب چند جمله ای ضرب می کنیم:

حالا بیایید هر جمله را محاسبه کنیم:

.

بیایید یک معادله بسازیم (برابری حاصلضرب به صفر)، عبارات مشابه را به دست آوریم و معادله را حل کنیم:

پاسخ: ما به ارزش رسیدیم λ = 1.8، که در آن بردارها متعامد هستند.

مثال 5ثابت کنید که بردار متعامد (عمود بردار).

راه حل. برای بررسی متعامد بودن، بردارها و به صورت چند جمله ای را ضرب می کنیم و به جای آن عبارت داده شده در شرط مسئله را جایگزین می کنیم:

.

برای انجام این کار، باید هر جمله (جمله) چند جمله‌ای اول را در هر جمله دوم ضرب کنید و محصولات حاصل را اضافه کنید:

.

در نتیجه کسر ناشی از کاهش می یابد. نتیجه زیر بدست می آید:

نتیجه‌گیری: در نتیجه ضرب به صفر رسیدیم، بنابراین تعمد (عمود) بردارها ثابت می‌شود.

خودتان مشکل را حل کنید و سپس راه حل را ببینید

مثال 6با توجه به طول بردارها و، و زاویه بین این بردارها است π /چهار . تعیین کنید با چه ارزشی μ بردارها و بر هم عمود هستند.

برای خودآزمایی می توانید استفاده کنید ماشین حساب آنلاین حاصل ضرب نقطه بردارها و کسینوس زاویه بین آنها .

نمایش ماتریسی حاصل ضرب اسکالر بردارها و حاصل ضرب بردارهای n بعدی

گاهی اوقات، برای وضوح، سودمند است که دو بردار ضرب شده را در قالب ماتریس نشان دهیم. سپس بردار اول به عنوان یک ماتریس ردیف و دومی - به عنوان یک ماتریس ستونی نشان داده می شود:

سپس حاصل ضرب اسکالر بردارها خواهد بود حاصل ضرب این ماتریس ها :

نتیجه همان است که با روشی که قبلاً در نظر گرفتیم به دست آمده است. ما یک عدد واحد به دست آوردیم و حاصل ضرب ماتریس-ردیف توسط ماتریس-ستون نیز یک عدد واحد است.

در فرم ماتریسی، نمایش حاصلضرب بردارهای n بعدی انتزاعی راحت است. بنابراین، حاصل ضرب دو بردار چهار بعدی حاصلضرب یک ماتریس ردیف با چهار عنصر توسط یک ماتریس ستونی با چهار عنصر، حاصل ضرب دو بردار پنج بعدی حاصلضرب یک ماتریس ردیف با پنج عنصر خواهد بود. یک ماتریس ستونی نیز با پنج عنصر و غیره.

مثال 7محصولات نقطه ای جفت بردارها را بیابید

,

با استفاده از نمایش ماتریسی

راه حل. اولین جفت بردار. ما بردار اول را به عنوان یک ماتریس ردیف و دومی را به عنوان یک ماتریس ستونی نشان می دهیم. حاصل ضرب اسکالر این بردارها را حاصل ضرب ماتریس ردیف توسط ماتریس ستون می‌یابیم:

به طور مشابه، جفت دوم را نشان می دهیم و پیدا می کنیم:

همانطور که می بینید، نتایج مشابه همان جفت های مثال 2 است.

زاویه بین دو بردار

استخراج فرمول کسینوس زاویه بین دو بردار بسیار زیبا و مختصر است.

برای بیان حاصل ضرب نقطه ای بردارها

(1)

در فرم مختصات، ابتدا حاصل ضرب اسکالر اورت ها را پیدا می کنیم. حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش طبق تعریف زیر است:

آنچه در فرمول بالا نوشته شده به این معنی است: حاصل ضرب اسکالر یک بردار با خودش برابر است با مجذور طول آن. کسینوس صفر برابر با یک است، بنابراین مجذور هر عمود برابر با یک خواهد بود:

از آنجایی که بردارها

به صورت جفتی عمود بر هم هستند، سپس حاصل ضربات جفتی اورت ها برابر با صفر خواهد بود:

حالا بیایید ضرب چند جمله ای های برداری را انجام دهیم:

در سمت راست برابری مقادیر حاصلضرب اسکالر مربوط به اورت ها را جایگزین می کنیم:

فرمول کسینوس زاویه بین دو بردار را بدست می آوریم:

مثال 8با توجه به سه امتیاز آ(1;1;1), ب(2;2;1), سی(2;1;2).

یک زاویه پیدا کنید.

راه حل. مختصات بردارها را پیدا می کنیم:

,

.

با استفاده از فرمول کسینوس یک زاویه به دست می آید:

در نتیجه، .

برای خودآزمایی می توانید استفاده کنید ماشین حساب آنلاین حاصل ضرب نقطه بردارها و کسینوس زاویه بین آنها .

مثال 9دو بردار داده می شود

مجموع، اختلاف، طول، حاصل ضرب نقطه و زاویه بین آنها را بیابید.

2-تفاوت